Египетская фракция

Папирус Ахмеса

Египетский фракция представляет собой конечную сумму отдельных единичных фракций , таких как

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {16}}.}$

То есть каждая дробь в выражении имеет числитель, равный 1, и знаменатель, который является положительным целым числом , и все знаменатели отличаются друг от друга. Значение выражения этого типа - положительное рациональное число. а/б; например, египетская фракция выше суммирует43 год/48. Каждое положительное рациональное число может быть представлено египетской дробью. Суммы этого типа и аналогичные суммы, в том числе2/3 и 3/4как слагаемые , использовались в качестве серьезного обозначения рациональных чисел древними египтянами и продолжали использоваться другими цивилизациями до средневековья. В современных математических обозначениях египетские дроби были заменены вульгарными дробями и десятичными обозначениями. Однако египетские дроби продолжают оставаться объектом изучения в современной теории чисел и развлекательной математике , а также в современных исторических исследованиях древней математики .

Мотивирующие приложения [ править ]

Помимо исторического использования, египетские дроби имеют некоторые практические преимущества перед другими представлениями дробных чисел. Например, египетские дроби могут помочь в разделении ряда предметов на равные доли. ^[1] Например, если кто-то хочет разделить 5 пицц поровну между 8 посетителями, египетская фракция

${\ displaystyle {\ frac {5} {8}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {8}}}$

означает, что каждый посетитель получает половину пиццы плюс еще одну восьмую пиццы, например, разделив 4 пиццы на 8 половинок, а оставшуюся пиццу на 8 восьмых.

Точно так же, хотя можно разделить 13 пицц между 12 посетителями, дав каждому посетителю по одной пицце и разделив оставшуюся пиццу на 12 частей (возможно, уничтожив ее), можно отметить, что

${\ displaystyle {\ frac {13} {12}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}}}$

и разделить 6 пицц на половинки, 4 на трети и оставшиеся 3 на четвертинки, а затем дать каждому посетителю половину, одну треть и одну четверть.

Ранняя история [ править ]

Обозначение египетской дроби было разработано в Среднем царстве Египта . Пяти ранние тексты , в которых египетские фракции появляются послужившими египетская кожа Рулон Математической , Московский математический папирус , то Рейснер папирус , то Kahun папирус и Akhmim Деревянного Tablet . Более поздний текст, Математический папирус Райнда , представил улучшенные способы записи египетских дробей. Папирус Райнда был написан Ахмесом и датируется вторым промежуточным периодом ; он включает в себя таблицу разложения египетских дробей для рациональных чисел2/п, а также 84 задачи со словом . Решения каждой проблемы были записаны в стенографической записи, а окончательные ответы на все 84 задачи были выражены в египетской системе счисления дробей.2/птаблицы, подобные той, что на папирусе Райнда, также встречаются в некоторых других текстах. Однако, как показывает Папирус Кахуна, в своих вычислениях писцы также использовали вульгарные дроби .

Обозначение [ править ]

Чтобы записать единицы измерения, используемые в их египетском обозначении дробей, иероглифом, египтяне поместили иероглиф

( э-э , «[один] среди» или, возможно, повторно , рот) над числом, чтобы представить обратную величину этого числа. Точно так же в иератическом сценарии они чертили линию над буквой, представляющей число. Например:

${\displaystyle ={\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{10}}}$

У египтян были специальные символы для 1/2, 2/3, и 3/4 которые использовались для уменьшения размера чисел больше, чем 1/2когда такие числа были преобразованы в египетский ряд дробей. Оставшееся число после вычитания одной из этих специальных дробей было записано как сумма различных единичных дробей в соответствии с обычным египетским обозначением дробей.

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle ={\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {3}{4}}}$

Египтяне также использовали альтернативную нотацию, измененную по сравнению с Древним царством, для обозначения специального набора дробей формы 1/2 ^к(для k = 1, 2, ..., 6) и суммы этих чисел, которые обязательно являются двоичными рациональными числами . Их назвали «фракциями Глаза Гора» после теории (ныне опровергнутой) ^{[2] о} том, что они были основаны на частях символа Глаза Гора . Они использовались в Среднем царстве в сочетании с более поздним обозначением египетских дробей для подразделения хеката , основной древнеегипетской меры объема для зерна, хлеба и других небольших количеств объема, как описано в деревянной табличке Ахмима . Если какой-либо остаток оставался после выражения количества в долях геката в Оке Гора, остаток записывался с использованием обычного египетского обозначения дроби как кратного числаro , единица, равная1/320 хеката.

Методы расчета [ править ]

Современные историки математики изучили папирус Райнда и другие древние источники в попытке открыть методы, которые египтяне использовали для вычисления с египетскими дробями. В частности, исследования в этой области были сосредоточены на понимании таблиц разложений для чисел вида2/пв папирусе Райнда. Хотя эти расширения обычно можно описать как алгебраические тождества, методы, используемые египтянами, могут не соответствовать непосредственно этим тождествам. Кроме того, расширения в таблице не соответствуют ни одной идентичности; скорее, разные идентификаторы соответствуют разложениям для простых и составных знаменателей, и более одной идентичности соответствуют числам каждого типа:

• Для малых нечетных простых знаменателей p разложение

${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{\,{\frac {p+1}{2}}\,}}+{\frac {1}{p{\frac {p+1}{2}}}}}$

было использовано.

• Для больших простых знаменателей расширение формы

${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{A}}+{\frac {2A-p}{Ap}}}$

был использован, где A - число с множеством делителей (например, практическое число ) междуп/2и п . Оставшийся срок2 А - п/Ap был расширен путем представления числа 2 А - п/Apкак сумму делителей A и образующую дробьd/Apдля каждого такого делителя d в этой сумме. ^[3] Например, расширение Ахмеса1/24 + 1/111 + 1/296 для 2/37подходит для этого шаблона с A = 24 и2 А - п/Ap= 11 = 3 + 8 , так как1/24 + 1/111 + 1/296 знак равно 1/24 + 3/24 × 37 + 8/24 × 37. Для данного p может быть много разных расширений этого типа ; однако, как заметил К.С. Браун, расширение, выбранное египтянами, часто приводило к тому, что наибольший знаменатель был как можно меньше среди всех расширений, соответствующих этой схеме.

• Для составных знаменателей, разложенных на множители p × q , можно разложить2/pq используя личность

${\displaystyle {\frac {2}{pq}}={\frac {1}{aq}}+{\frac {1}{apq}}\quad {\text{where }}a={\frac {p+1}{2}}}$

Например, применение этого метода для pq = 21 дает p = 3 , q = 7 и a =3 + 1/2= 2 , производя разложение2/21 год знак равно 1/14 + 1/42из папируса Райнда. Некоторые авторы предпочли написать это расширение как2/А × А/pq, где A = p + 1 ; ^[4] заменив второй член этого продукта нап/pq + 1/pq, применение закона распределения к продукту и упрощение приводит к выражению, эквивалентному описанному здесь первому разложению. Этот метод, по-видимому, использовался для многих составных чисел в папирусе Райнда ^[5], но есть исключения, особенно2/35 год, 2/91, и 2/95. ^[6]

• Можно также расширить 2/pq как 1/пр + 1/qr, где r =р + д/2. Например, Ахмес расширяет2/35 год знак равно 1/30 + 1/42, где p = 5 , q = 7 , r =5 + 7/2= 6 . Более поздние писцы использовали более общую форму этого расширения:

${\displaystyle {\frac {n}{pq}}={\frac {1}{pr}}+{\frac {1}{qr}}\quad {\text{where }}r={\frac {p+q}{n}}}$

который работает, когда p + q кратно n . ^[7]

• Для некоторых других составных знаменателей разложение для 2/pq имеет форму разложения для 2/qгде каждый знаменатель умножен на p . Например, 95 = 5 × 19 и2/19 знак равно 1/12 + 1/76 + 1/114(как это можно найти с помощью метода для простых чисел с A = 12 ), поэтому2/95 знак равно 1/5 × 12 + 1/5 × 76 + 1/5 × 114 знак равно 1/60 + 1/380 + 1/570. ^[7] Это выражение можно упростить следующим образом:1/380 + 1/570 знак равно 1/228, но в папирусе Райнда используется неупрощенная форма.
• Последнее (простое) расширение папируса Райнда, 2/101, не подходит ни к одной из этих форм, но вместо этого использует расширение

${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{6p}}}$

который может применяться независимо от значения p . То есть,2/101 знак равно 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. Связанное с этим расширение также использовалось в египетской математической кожаной обложке для нескольких случаев.

Более позднее использование [ править ]

Египетская дробь обозначения по- прежнему используется в греческих времен и в средние века, ^[8] , несмотря на жалобы , как уже Птолемей «s Almagest о неуклюжести нотации по сравнению с альтернативами , такими как вавилонский база-60 нотации . Важный текст средневековой математики, Liber Abaci (1202 г.) Леонардо Пизанского (более известного как Фибоначчи), дает некоторое представление об использовании египетских дробей в средние века и вводит темы, которые продолжают оставаться важными в современной математике. изучение этих серий.

Основным предметом Liber Abaci являются вычисления с использованием десятичных и вульгарных дробей, которые в конечном итоге заменили египетские дроби. Сам Фибоначчи использовал сложную систему обозначений для дробей, включающую комбинацию смешанной системы счисления счисления с суммами дробей. Во многих вычислениях в книге Фибоначчи используются числа, представленные как египетские дроби, а в одном разделе этой книги ^[9] приводится список методов преобразования вульгарных дробей в египетские дроби. Если число еще не является дробной единицей, первый метод в этом списке - попытаться разбить числитель на сумму делителей знаменателя; это возможно, если знаменатель является практическим числом , иLiber Abaci включает таблицы расширений этого типа для практических номеров 6, 8, 12, 20, 24, 60 и 100.

Следующие несколько методов включают алгебраические тождества, такие как

${\displaystyle {\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}}$

Например, Фибоначчи представляет собой дробь 8/11 разделив числитель на сумму двух чисел, каждое из которых делит единицу плюс знаменатель: 8/11 знак равно 6/11 + 2/11. Фибоначчи применяет приведенное выше алгебраическое тождество к каждой из этих двух частей, производя разложение8/11 знак равно 1/2 + 1/22 + 1/6 + 1/66. Фибоначчи описывает аналогичные методы для знаменателей, которые на два или три меньше числа с множеством множителей.

В том редком случае, когда все эти методы терпят неудачу, Фибоначчи предлагает «жадный» алгоритм для вычисления египетских дробей, в котором многократно выбирается единичная дробь с наименьшим знаменателем, который не больше, чем оставшаяся дробь для расширения: то есть, в более современных обозначениях заменим дробьИкс/y расширением

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {1}{\,\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil \,}}+{\frac {(-y)\,{\bmod {\,}}x}{y\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil }}}$

где ⌈ ⌉ представляет функцию потолка ; поскольку (- y ) mod x < x , этот метод дает конечное разложение.

Фибоначчи предлагает переключиться на другой метод после первого такого расширения, но он также приводит примеры, в которых это жадное расширение повторялось до тех пор, пока не было построено полное расширение египетской дроби: 4/13 знак равно 1/4 + 1/18 + 1/468 и 17/29 знак равно 1/2 + 1/12 + 1/348.

По сравнению с древнеегипетскими расширениями или более современными методами, этот метод может давать достаточно длинные расширения с большими знаменателями, и сам Фибоначчи отметил неудобство расширений, полученных этим методом. Например, жадный метод расширяет

${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+{\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225}}}$

в то время как другие методы приводят к более короткому расширению

${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}}$

Последовательность Сильвестра 2, 3, 7, 43, 1807, ... можно рассматривать как порожденную бесконечным жадным расширением этого типа для числа 1, где на каждом шаге мы выбираем знаменатель ⌊y/Икс⌋ + 1 вместо ⌈y/Икс⌉ , а иногда жадный алгоритм Фибоначчи приписывают Джеймсу Джозефу Сильвестру .

После описания жадного алгоритма Фибоначчи предлагает еще один метод, расширяющий дробь. а/бпутем поиска числа c, имеющего много делителей, сб/2< c < b , заменяяа/б по ac/до н.э, и разложив ac как сумму делителей bc , аналогично методу, предложенному Хульчем и Брюинзом для объяснения некоторых расширений в папирусе Райнда.

Современная теория чисел [ править ]

Хотя египетские дроби больше не используются в большинстве практических приложений математики, современные теоретики чисел продолжают изучать множество различных проблем, связанных с ними. К ним относятся проблемы ограничения длины или максимального знаменателя в представлениях египетской дроби, нахождение расширений определенных специальных форм или знаменателей, в которых все знаменатели имеют какой-то особый тип, прекращение различных методов расширения египетских дробей и демонстрация того, что расширения существуют для любых достаточно плотный набор достаточно гладких чисел .

• Одна из самых ранних публикаций Пола Эрдеша доказала, что гармоническая прогрессия не может сформировать египетское дробное представление целого числа . Причина в том, что обязательно хотя бы один знаменатель прогрессии будет делиться на простое число, которое не делит никакой другой знаменатель. ^[10] Последняя публикация Эрдеша, спустя почти 20 лет после его смерти, доказывает, что каждое целое число имеет представление, в котором все знаменатели являются произведениями трех простых чисел. ^[11]
• Гипотеза Эрдеша – Грэма в комбинаторной теории чисел утверждает, что если целые числа больше 1 разбиты на конечное число подмножеств, то одно из подмножеств имеет конечное подмножество самого себя, обратные суммы которого равны единице. То есть для любого r > 0 и любой r- раскраски целых чисел, больших единицы, существует конечное монохроматическое подмножество S этих целых чисел такое, что

${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1}$

Гипотеза была доказана в 2003 году Эрнестом С. Крут, III .

• Проблема Знама и первичные псевдосовершенные числа тесно связаны с существованием египетских дробей формы

${\displaystyle \sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1}$

Например, первичное псевдосовершенное число 1806 является произведением простых чисел 2, 3, 7 и 43 и дает египетскую дробь 1 =1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 год + 1/1806 г..

• Египетские дроби обычно определяются как требующие, чтобы все знаменатели были различными, но это требование может быть ослаблено, чтобы разрешить повторение знаменателей. Однако эта упрощенная форма египетских дробей не позволяет представить любое число с использованием меньшего количества дробей, так как любое расширение с повторяющимися дробями может быть преобразовано в египетскую дробь равной или меньшей длины путем повторного применения замены

${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {2}{k+1}}+{\frac {2}{k(k+1)}}}$

если k нечетное, или просто заменив1/k + 1/k по 2/kесли k четно. Этот результат был впервые доказан Такенучи (1921) .

• Грэм и Джеветт ^[12] доказали, что аналогично можно преобразовать разложения с повторяющимися знаменателями в (более длинные) египетские дроби с помощью замены

${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k(k+1)}}.}$

Этот метод может привести к длинным разложениям с большими знаменателями, такими как

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{930}}+{\frac {1}{931}}+{\frac {1}{992}}+{\frac {1}{1806}}+{\frac {1}{865\,830}}}$

Боттс (1967) первоначально использовал эту технику замены, чтобы показать, что любое рациональное число имеет представления египетской дроби с произвольно большими минимальными знаменателями.

• Любая фракция Икс/yимеет представление египетской дроби, в котором максимальный знаменатель ограничен ^[13]

${\displaystyle O\left(y\log y\left(\log \log y\right)^{4}\left(\log \log \log y\right)^{2}\right)}$

и представление с не более чем

${\displaystyle O\left({\sqrt {\log y}}\right)}$

термины. ^[14] Количество терминов иногда должно быть по крайней мере пропорционально log log y ; например, это верно для дробей в последовательности1/2, 2/3, 6/7, 42/43 год, 1806 г./1807 г., ... знаменатели которых образуют последовательность Сильвестра . Было высказано предположение, что всегда достаточно O (log log y ) терминов. ^[15] Также можно найти представления, в которых как максимальный знаменатель, так и количество членов малы. ^[16]

• Грэм (1964) охарактеризовал числа, которые могут быть представлены египетскими дробями, в которых все знаменатели являются n- й степенью. В частности, рациональное число q может быть представлено как египетская дробь с квадратными знаменателями тогда и только тогда, когда q лежит в одном из двух полуоткрытых интервалов

${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)}$

• Martin (1999) показал , что любое рациональное число имеет очень плотные разложения, используя постоянную долю знаменателей вплоть до N для любого достаточно большого N .
• Расширение Энгеля , иногда называемое египетским продуктом , представляет собой форму расширения египетской дроби, в которой каждый знаменатель кратен предыдущему:

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots }$

Кроме того, требуется, чтобы последовательность множителей a _i не убывала. Каждое рациональное число имеет конечное расширение Энгеля, в то время как иррациональные числа имеют бесконечное расширение Энгеля.

• Аншель и Голдфельд (1991) изучают числа, которые имеют несколько различных представлений египетских дробей с одинаковым количеством членов и одним и тем же произведением знаменателей; например, один из примеров, которые они предоставляют, это

${\displaystyle {\frac {5}{12}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{20}}}$

В отличие от древних египтян, они позволяют повторять знаменатели в этих расширениях. Они применяют свои результаты для этой задачи к характеристике свободных произведений из абелевых групп небольшого количества числовых параметров: ранг коммутанта , числом слагаемых в свободном произведении, а произведение порядков сомножителей.

• Число различных n- членных египетских представлений дроби числа один ограничено сверху и снизу двойными экспоненциальными функциями от n . ^[17]

Открытые проблемы [ править ]

Некоторые заметные проблемы остаются нерешенными в отношении египетских дробей, несмотря на значительные усилия математиков.

• Гипотеза Эрдеша – Штрауса ^[15] касается длины кратчайшего разложения для дроби вида4/п. Делает расширение

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}}$

существуют для каждого n ? Известно, что это верно для всех n <10 ¹⁷ и для всех, кроме исчезающе малой части возможных значений n , но общая истинность гипотезы остается неизвестной.

• Неизвестно, существует ли нечетное жадное разложение для каждой дроби с нечетным знаменателем. Если жадный метод Фибоначчи модифицирован так, что он всегда выбирает наименьший возможный нечетный знаменатель, при каких условиях этот модифицированный алгоритм производит конечное расширение? Очевидным необходимым условием является то, что стартовая дробьИкс/yимеют нечетный знаменатель y , и предполагается, но неизвестно, что это также достаточное условие. Известно ^[18], что каждыйИкс/yс нечетным y имеет разложение на отдельные нечетные единичные дроби, построенные с использованием другого метода, чем жадный алгоритм.
• Можно использовать алгоритмы поиска методом перебора , чтобы найти представление египетской дроби данного числа с наименьшим возможным количеством членов ^[19] или минимизацией наибольшего знаменателя; однако такие алгоритмы могут быть весьма неэффективными. Существование алгоритмов с полиномиальным временем для этих задач или, в более общем смысле, вычислительная сложность таких задач, остается неизвестным.

Гай (2004) описывает эти проблемы более подробно и перечисляет множество дополнительных открытых проблем.

Другое приложение [ править ]

Египетские фракции дают решение загадки таймера горения веревки , в которой заданная продолжительность должна быть измерена путем зажигания неоднородных веревок, которые сгорают через заданное время, скажем, один час. Время, необходимое для полного сжигания веревки, прямо пропорционально количеству фронтов пламени, поддерживаемых на веревке. Любую рациональную долю одного часа можно рассчитать, найдя эквивалентное расширение египетской фракции и последовательно сжигая веревки с соответствующим количеством фронтов пламени для фракций. Обычное ограничение, заключающееся в том, что каждая фракция отличается, может быть ослаблено. ^[20]

Например, на время 40 минут (2/3 час), мы можем разложить 2/3 в 1/2 + 1/6. Сначала с обоих концов зажигается часовая веревка. Когда он перегорает1/2Через час зажигается еще одна веревка с обоих концов и любые две точки между ними, образуя три сегмента, каждый с обоими концами. Когда перегорает какой-либо сегмент, загорается любая точка в оставшемся сегменте, разделяя его на два сегмента, таким образом поддерживая в общей сложности шесть фронтов пламени. Теоретически все сегменты выгорают в1/6 час, что в сумме составляет 2/3 час по мере необходимости.

См. Также [ править ]

• Список сумм обратных величин

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Браун, Кевин, Дроби египетских единиц.
• Эпштейн, Давид , Египетские фракции.
• Кнотт, Рон, египетские дроби.
• Вайсштейн, Эрик В. , «Египетская фракция» , MathWorld
• Жиру, Андре, Египетские фракциии Зелени, Энрике, Алгоритмы для египетских дробей, The Wolfram Demonstrations Project , основанный на программах Дэвида Эппштейна .