Математический папирус Райнда

Математический папирус Райнда
Британский музей , Лондон
Фрагмент папируса Райнда
Дата	Второй промежуточный период Египта
Место происхождения	Фивы
Язык (и)	Египетский ( иератический )
Размер	Первая секция ( BM 10057 ): · Длина: 295,5 см (116,3 дюйма) · Ширина: 32 см (13 дюймов ) Вторая секция ( BM 10058 ): · Длина: 199,5 см (78,5 дюйма ) · Ширина: 32 см (13 дюймов )

Папирус Ахмес ( РМП , обозначаемый также папирус Британского музея 10057 и 10058 РВМ) является одним из наиболее известных примеров древнеегипетской математики . Он назван в честь Александра Генри Райнда , шотландского антиквара, который купил папирус в 1858 году в Луксоре, Египет ; очевидно, он был найден во время незаконных раскопок в Рамессеуме или рядом с ним . Он датируется примерно 1550 годом до нашей эры. ^[1] Британский музей, где сейчас хранится большая часть папируса, приобрел его в 1865 году вместе с Египетским математическим кожаным свитком , также принадлежащим Генри Райнду;^[2] есть несколько небольших фрагментов, хранящихся в Бруклинском музее в Нью-Йорке ^[3]^[4], а центральная часть 18 см отсутствует. Это один из двух известных Математических папирусов наряду с Московским Математическим Папирусом . Папирус Райнда больше Московского математического папируса, а последний старше.^[3]

Папирус Ахмес датируется второй промежуточный период в Египте . Он был скопирован писцом Ахмесом ( то есть Яхмосом; Ахмес - это более старая транскрипция, которую предпочитают историки математики) из ныне утерянного текста времен правления короля Аменемхата III ( 12-я династия ). Написанная иератическим письмом, эта египетская рукописьимеет высоту 33 см (13 дюймов) и состоит из нескольких частей, общая длина которых составляет более 5 м (16 футов). Папирус начали транслитерировать и математически переводить в конце 19 века. Аспект математического перевода остается неполным по нескольким причинам. Документ датирован 33 годом правления гиксосского царя Апофиса и также содержит отдельную более позднюю историческую заметку на оборотной стороне, вероятно, относящуюся к периоду («11 год») его преемника Хамуди . ^[5]

В первых абзацах папируса Ахмес представляет папирус как дающий «Точный расчет для исследования вещей и познание всех вещей, тайн ... всех секретов». Он продолжает:

Эта книга была скопирована в 33-й год царствования, 4-й месяц Ахета , под властью царя Верхнего и Нижнего Египта Авсерра, получившего жизнь, с древней копии, сделанной во времена царя Верхнего и Нижнего Египта Нимаатре. Писец Яхмос пишет эту копию. ^[2]

Было опубликовано несколько книг и статей о Математическом папирусе Райнда, и некоторые из них выделяются среди других. ^[3] Папирус Райнда был опубликован Питом в 1923 году и содержит обсуждение текста, которое следовало за набросками Книг I, II и III Гриффита. ^[6] Чейс опубликовал сборник в 1927–29 годах, который включал фотографии текста. ^[7] Более свежий обзор папируса Райнда был опубликован в 1987 году Робинсом и Шутом.

Книга I - Арифметика и алгебра [ править ]

Первая часть папируса Райнда состоит из справочных таблиц и собрания из 21 арифметических и 20 алгебраических задач. Проблемы начинаются с простых дробных выражений, за которыми следуют задачи завершения ( sekem ) и более сложные линейные уравнения ( проблемы aha ). ^[3]

Первую часть папируса занимает стол 2 / n . Доли 2 / n для нечетных n в диапазоне от 3 до 101 выражаются как суммы долей единиц . Например, . Разложение 2 / n на единичные дроби никогда не превышает 4 членов, как, например, в . ${\ Displaystyle 2/15 = 1/10 + 1/30}$ ${\ displaystyle 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606}$

За этой таблицей следует гораздо меньшая крошечная таблица дробных выражений для чисел от 1 до 9, разделенных на 10. Например, деление 7 на 10 записывается как:

7 разделить на 10 дает 2/3 + 1/30

После этих двух таблиц папирус записывает в целом 91 задачу, которая была обозначена современниками как задачи (или числа) 1–87, включая четыре других элемента, которые были обозначены как задачи 7B, 59B, 61B и 82B. Задачи 1–7, 7B и 8–40 относятся к арифметике и элементарной алгебре.

В задачах 1–6 вычисляется деление определенного количества буханок хлеба на 10 человек и записывается результат в единицах дроби. В задачах 7–20 показано, как умножить выражения 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 и 1 + 2/3 + 1/3 = 2 на разные дроби. Задачи 21–23 - это задачи на завершение, которые в современных обозначениях представляют собой просто задачи на вычитание. Проблемы 24–34 - это проблемы типа «ага»; это линейные уравнения . Задача 32, например, соответствует (в современных обозначениях) решению x + 1/3 x + 1/4 x = 2 относительно x. Задачи 35–38 связаны с разделением геката, древнеегипетской единицы объема. Начиная с этого момента, различные единицы измерения становятся гораздо более важными на протяжении всего остального папируса, и, действительно, главное соображение на протяжении всего остального папируса - эторазмерный анализ . В задачах 39 и 40 вычисляется деление хлеба и используются арифметические прогрессии . ^[2]

Книга II - Геометрия [ править ]

Фрагмент папируса Райнда

Вторая часть папируса Райнда, представляющая собой задачи 41–59, 59B и 60, состоит из задач геометрии . Пит назвал эти проблемы «проблемами измерения». ^[3]

Тома [ править ]

В задачах 41–46 показано, как найти объем как цилиндрических, так и прямоугольных зернохранилищ. В задаче 41 Ахмес вычисляет объем цилиндрического зернохранилища. Учитывая диаметр d и высоту h, объем V определяется по формуле:

{\ displaystyle V = \ left [\ right (1-1 / 9 \ left) d \ right] ^ {2} h}

В современных математических обозначениях (и при использовании d = 2r) это дает . Дробный член 256/81 приближает значение π как 3,1605 ..., ошибку менее одного процента. ${\ displaystyle V = (8/9) ^ {2} d ^ {2} h = (256/81) r ^ {2} h}$

Задача 47 представляет собой таблицу с дробными равенствами, которые представляют десять ситуаций, когда количество физического объема «100 четверных гекатов» делится на каждое из кратных десяти, от десяти до ста. Коэффициенты выражаются в долях глаза Гора , иногда также с использованием гораздо меньшей единицы объема, известной как «четверное ро». Четверной heqat и четверной ro - это единицы объема, полученные из более простых heqat и ro, так что эти четыре единицы объема удовлетворяют следующим соотношениям: 1 четверной heqat = 4 heqat = 1280 ro = 320 четверных ro. Таким образом,

100/10 четырехкратный гекат = 10 четырехкратный гекат

100/20 четырехкратный гекат = 5 четырехкратный гекат

100/30 четверной heqat = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64) четверной heqat + (1 + 2/3) четверной ro

100/40 четырехкратный гекат = (2 + 1/2) четырехкратный гекат

100/50 четырехкратный гекат = 2 четырехкратный гекат

100/60 четверной heqat = (1 + 1/2 + 1/8 + 1/32) четверной heqat + (3 + 1/3) четверной ro

100/70 четверной heqat = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64) четверной heqat + (2 + 1/14 + 1/21 + 1/42) четверной ro

100/80 четырехкратный гекат = (1 + 1/4) четырехкратный гекат

100/90 четверной heqat = (1 + 1/16 + 1/32 + 1/64) четверной heqat + (1/2 + 1/18) четверной ro

100/100 четырехкратный heqat = 1 четырехкратный heqat ^[2]

Области [ править ]

Задачи 48–55 показывают, как вычислить ассортимент областей . Задача 48 примечательна тем, что в ней кратко вычисляется площадь круга путем аппроксимации π . В частности, задача 48 явно усиливает соглашение (используемое во всем разделе геометрии), что «площадь круга равна площади его описывающего квадрата в соотношении 64/81». Точно так же папирус приближает π как 256/81, как уже отмечалось выше при объяснении проблемы 41.

Другие задачи показывают, как найти площадь прямоугольников, треугольников и трапеций.

Пирамиды [ править ]

Последние шесть задач связаны со склонами пирамид . Seked проблема сообщает: ^[8]

Если пирамида имеет высоту 250 локтей, а длина стороны ее основания 360 локтей, то какой у нее секед ? "

Решение проблемы дается как отношение половины стороны основания пирамиды к ее высоте или отношение подъема к высоте ее грани. Другими словами, найденная величина для seked - это котангенс угла к основанию пирамиды и ее грани. ^[8]

Книга III - Разное [ править ]

Третья часть папируса Райнда состоит из остатка из 91 задачи, а именно 61, 61B, 62–82, 82B, 83–84 и «чисел» 85–87, которые не являются математическими по своей природе. Этот последний раздел содержит более сложные таблицы данных (которые часто включают фракции глаза Гора), несколько пефсупроблемы, которые являются элементарными алгебраическими проблемами, касающимися приготовления пищи, и даже забавной задачей (79), которая наводит на размышления о геометрических прогрессиях, геометрических рядах и некоторых более поздних задачах и загадках истории. В задаче 79 прямо говорится: «семь домов, 49 кошек, 343 мыши, 2401 колосья полбы, 16807 гекатов». В частности, проблема 79 касается ситуации, в которой в 7 домах содержится по семь кошек, и все они едят по семь мышей, каждая из которых съела бы семь колосьев, каждая из которых произвела бы семь мер зерна. Таким образом, третья часть папируса Райнда представляет собой своего рода сборник, основанный на том, что уже было представлено. Задача 61 связана с умножением дробей. Задача 61B, тем временем, дает общее выражение для вычисления 2/3 от 1 / n, где n нечетно.В современных обозначениях приведенная формула имеет вид

{\ displaystyle {\ frac {2} {3n}} = {\ frac {1} {2n}} + {\ frac {1} {6n}}}

Методика, приведенная в 61B, тесно связана с выводом таблицы 2 / n.

Задачи 62–68 - общие задачи алгебраического характера. Проблемы 69–78 в той или иной форме являются проблемами pefsu . Они включают вычисления относительно крепости хлеба и пива по отношению к определенному сырью, используемому в их производстве. ^[2]

Задача 79 суммирует пять членов в геометрической прогрессии . Его язык сильно напоминает более современную загадку и детский стишок « Как я шел в Сент-Айвс ». ^{[3] В} задачах 80 и 81 вычисляются доли глаза Гора хину (или хекаты). Последние четыре математических задания, задачи 82, 82B и 83–84, вычисляют количество корма, необходимое для различных животных, таких как домашняя птица и волы. ^[2] Однако эти проблемы, особенно 84, страдают повсеместной неоднозначностью, путаницей и простой неточностью.

Последние три элемента на папирусе Ринда обозначены как «числа» 85–87, в отличие от «проблем», и они широко разбросаны по обратной стороне папируса или оборотной стороне. Это, соответственно, небольшая фраза, заканчивающая документ (и имеющая несколько возможностей для перевода, указанных ниже), кусок бумаги, не имеющий отношения к основной части документа, используемый для его скрепления (но содержащий слова и египетские дроби которые к настоящему времени знакомы читателю документа), и небольшую историческую заметку, которая, как полагают, была написана через некоторое время после завершения написания основной части папируса. Считается, что эта записка описывает события во время " гиксосов". господство », период внешнего прерывания в древнеегипетском обществе, который тесно связан с его вторым промежуточным периодом. С этими нематематическими, но исторически и филологически интригующими опечатками сочинение папируса подходит к концу.

Согласование единиц [ править ]

Большая часть материала Папируса Райнда связана с древнеегипетскими единицами измерения и особенно анализом размеров, используемым для преобразования между ними. Соответствие единиц измерения, используемых в папирусе, приведено на изображении.

Единицы измерения, используемые в папирусе Райнда.

Содержание [ править ]

Эта таблица суммирует содержание Папируса Райнда с помощью лаконичного современного пересказа. Он основан на двухтомной экспозиции папируса, опубликованной Арнольдом Баффумом Чейсом в 1927 и 1929 годах ^[7]. В общем, папирус состоит из четырех разделов: титульного листа, таблицы 2 / n, крошечной «таблицы 1–9 / 10» и 91 задачи или «чисел». Последние пронумерованы от 1 до 87 и включают четыре математических элемента, которые современники обозначили как задачи 7B, 59B, 61B и 82B. Числа 85–87, тем временем, не являются математическими элементами, составляющими часть тела документа, а представляют собой соответственно: небольшую фразу, заканчивающую документ, кусок «макулатуры», используемый для скрепления документа (уже содержащий несвязанное письмо), и историческое примечание, которое, как считается, описывает период времени вскоре после завершения тела папируса. Эти три последних пункта написаны на разных участках оборотной стороны папируса.(оборотная сторона), вдали от математического содержания. Поэтому Чейс различает их, называя их числами, а не задачами , как и другие 88 пронумерованных пунктов.

Номера разделов или проблем	Постановка проблемы или описание	Решение или Описание	Заметки
Титульная страница	Ахмес идентифицирует себя и свои исторические обстоятельства.	«Точный расчет. Вход в познание всего сущего и всех непонятных тайн. Эта книга была скопирована в 33 году, в четвертый месяц сезона наводнения, под властью царя Верхнего и Нижнего Египта». -пользователь-Ре ', наделенный жизнью, подобный древним писаниям, сделанным во времена царя Верхнего и Нижнего Египта Не-ма'эт-Ре'. Это писец Ахмес копирует это письмо ».	Из титульного листа ясно, что Ахмес идентифицирует как свой собственный период, так и период более старого текста или текстов, из которых он, как предполагается, скопировал, тем самым создавая Папирус Райнда. Папирус имеет материал, написанный на обеих сторонах, то есть на лицевой и оборотной сторонах папируса . Подробности смотрите на картинке.
2 / п Стол	Выразите каждое из частных от 2/3 до 2/101 (где знаменатель всегда нечетный) как египетские дроби .	См. Статью с таблицей «Математический папирус 2 / n Райнда» для получения краткого обзора и решений этого раздела.	На протяжении всего папируса большинство решений даны как частные египетские дробные представления данного действительного числа. Однако, поскольку каждое положительное рациональное число имеет бесконечное множество представлений в виде египетской дроби, эти решения не уникальны. Также имейте в виду, что дробь 2/3 является единственным исключением, используемым в дополнение к целым числам, которое Ахмес использует вместе со всеми (положительными) рациональными дробями единиц для выражения египетских дробей. Можно сказать, что таблица 2 / n частично следует алгоритму (см. Задачу 61B) для выражения 2 / n как египетской дроби из 2 членов, когда n составное. Однако этот молодой алгоритм во многих ситуациях отбрасывается, когда n простое. Таким образом, метод решения таблицы 2 / n также предполагает начало теории чисел , а не простоарифметика .
1–9 / 10 Таблица	Запишите частные от 1/10 до 9/10 как египетские дроби.	${\ displaystyle {\ frac {1} {10}} = {\ frac {1} {10}} \; \; \ ;; \; \; \; {\ frac {2} {10}} = {\ frac {1} {5}} \; \; \ ;; \; \; \; {\ frac {3} {10}} = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} { 10}}}$ ${\frac {4}{10}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {6}{10}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}$ ${\frac {7}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {8}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {9}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}$
Задачи 1–6	1, 2, 6, 7, 8 и 9 буханок хлеба (соответственно в каждой задаче) делятся между 10 мужчинами. В каждом случае представьте долю хлеба каждого человека в виде египетской дроби.	${\frac {1}{10}}={\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}$ ${\frac {6}{10}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {7}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}$ ${\frac {8}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {9}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}$	Первые шесть задач папируса представляют собой простые повторения информации, уже записанной в таблице 1–9 / 10, теперь в контексте задач рассказа.
7, 7Б, 8–20	Позволять $S=1+1/2+1/4={\frac {7}{4}}$ а также $T=1+2/3+1/3=2$ . Затем для следующих умножений запишите произведение в виде египетской дроби.	$7:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;7B:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;8:{\frac {1}{4}}T={\frac {1}{2}}$ $9:{\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{14}}{\bigg )}S=1\;\;\;;\;\;\;10:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;11:{\frac {1}{7}}S={\frac {1}{4}}$ $12:{\frac {1}{14}}S={\frac {1}{8}}\;\;\;;\;\;\;13:{\bigg (}{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{112}}{\bigg )}S={\frac {1}{8}}\;\;\;;\;\;\;14:{\frac {1}{28}}S={\frac {1}{16}}$ $15:{\bigg (}{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{224}}{\bigg )}S={\frac {1}{16}}\;\;\;;\;\;\;16:{\frac {1}{2}}T=1\;\;\;;\;\;\;17:{\frac {1}{3}}T={\frac {2}{3}}$ $18:{\frac {1}{6}}T={\frac {1}{3}}\;\;\;;\;\;\;19:{\frac {1}{12}}T={\frac {1}{6}}\;\;\;;\;\;\;20:{\frac {1}{24}}T={\frac {1}{12}}$	В этих задачах постоянно используются одни и те же два множителя (обозначенные здесь как S и T). Также обратите внимание, что Ахмес эффективно записывает одну и ту же задачу трижды (7, 7B, 10), иногда приближаясь к одной и той же задаче с разными арифметическими вычислениями.
21–38	Для каждого из следующих линейных уравнений с переменной решите и выразите египетскую дробь. $x$ $x$ $x$	$21:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{15}}{\bigg )}+x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{15}}$ $22:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}{\bigg )}+x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ $23:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}{\bigg )}+x={\frac {2}{3}}\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{9}}+{\frac {1}{40}}$ $24:x+{\frac {1}{7}}x=19\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=16+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}$ $25:x+{\frac {1}{2}}x=16\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=10+{\frac {2}{3}}$ $26:x+{\frac {1}{4}}x=15\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=12$ $27:x+{\frac {1}{5}}x=21\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=17+{\frac {1}{2}}$ $28:{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}-{\frac {1}{3}}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=9$ $29:{\frac {1}{3}}{\Bigg (}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}+{\frac {1}{3}}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}{\Bigg )}=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=13+{\frac {1}{2}}$ $30:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}{\bigg )}x=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=13+{\frac {1}{23}}$ $31:x+{\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{7}}x=33\;\;\;\rightarrow$ $x=14+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{97}}+{\frac {1}{194}}+{\frac {1}{388}}+{\frac {1}{679}}+{\frac {1}{776}}$ $32:x+{\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{4}}x=2\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=1+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{114}}+{\frac {1}{228}}$ $33:x+{\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{7}}x=37\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=16+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{679}}+{\frac {1}{776}}$ $34:x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{4}}x=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=5+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}$ $35:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ $36:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{53}}+{\frac {1}{106}}+{\frac {1}{212}}$ $37:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{32}}$ $38:{\bigg (}3+{\frac {1}{7}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{66}}$	Обратите внимание, что проблема 31 имеет особенно обременительное решение. Хотя постановка задач 21–38 иногда может показаться сложной (особенно в прозе Ахмеса), каждая проблема в конечном итоге сводится к простому линейному уравнению. В некоторых случаях какой-либо блок был опущен, поскольку был излишним для решения этих проблем. Это задачи 35–38, в формулировках и «работе» которых впервые упоминаются единицы объема, известные как гекат и ро (где 1 гекат = 320 ro), которые будут занимать видное место в остальной части папируса. Однако на данный момент их буквальное упоминание и использование в 35–38 носит косметический характер.
39	100 буханок хлеба будут распределены между 10 мужчинами неравномерно. 50 хлебов будут разделены поровну между 4 мужчинами, так что каждый из этих 4 получит равную долю , в то время как остальные 50 хлебов будут разделены поровну между другими 6 мужчинами, так что каждый из этих 6 получит равную долю . Найдите разницу этих двух долей и выразите то же самое, что и египетская дробь. $y$ $x$ $y-x$	$y-x=4+{\frac {1}{6}}$	В задаче 39 папирус начинает рассматривать ситуации с более чем одной переменной.
40	100 хлебов должны быть разделены между пятью мужчинами. Пять долей хлеба мужчин должны быть в арифметической прогрессии , так что последовательные доли всегда отличаются фиксированной разницей, или . Кроме того, сумма трех наибольших акций должна быть в семь раз больше суммы двух наименьших акций. Найдите и запишите его в виде египетской дроби. $\Delta$ $\Delta$	$\Delta =9+{\frac {1}{6}}$	Задача 40 завершает арифметический / алгебраический раздел папируса, за которым следует раздел геометрии. После задачи 40 на папирусе есть даже большой участок пустого места, который визуально указывает на конец участка. Что касается самой проблемы 40, Ахмес находит свое решение, сначала рассматривая аналогичный случай, когда количество буханок составляет 60, а не 100. Затем он заявляет, что в этом случае разница составляет 5 1/2, а наименьшая доля равна одному, перечисляет остальные, а затем масштабирует свою работу до 100, чтобы получить результат. Хотя Ахмес не называет само решение в том виде, в каком оно было здесь, количество неявно становится ясным после того, как он повторно масштабирует свой первый шаг умножением 5/3 x 11/2, чтобы перечислить пять акций (что он и делает). .Следует отметить, что эта проблема может рассматриваться как имеющая четыре условия: а) сумма пяти акций равна 100, б) доли варьируются от наименьшей до наибольшей, в) последовательные акции имеют постоянную разницу и г) сумма трех более крупных акций. акций в семь раз больше суммы двух меньших акций. Начиная только с первых трех условий, можно использовать элементарную алгебру, а затем подумать, дает ли добавление четвертого условия непротиворечивый результат. Бывает, что после выполнения всех четырех условий решение становится уникальным. Таким образом, проблема представляет собой более сложный случай решения линейного уравнения, чем предыдущий, на граниc) последовательные акции имеют постоянную разницу и d) сумма трех больших акций равна семи разам суммы двух меньших акций. Начиная только с первых трех условий, можно использовать элементарную алгебру, а затем подумать, дает ли добавление четвертого условия непротиворечивый результат. Бывает, что после выполнения всех четырех условий решение становится уникальным. Таким образом, проблема представляет собой более сложный случай решения линейного уравнения, чем предыдущий, на граниc) последовательные акции имеют постоянную разницу и d) сумма трех больших акций равна семи разам суммы двух меньших акций. Начиная только с первых трех условий, можно использовать элементарную алгебру, а затем подумать, дает ли добавление четвертого условия непротиворечивый результат. Бывает, что после выполнения всех четырех условий решение становится уникальным. Таким образом, проблема представляет собой более сложный случай решения линейного уравнения, чем предыдущий, на граниТаким образом, проблема представляет собой более сложный случай решения линейного уравнения, чем предыдущий, на граниТаким образом, проблема представляет собой более сложный случай решения линейного уравнения, чем предыдущий, на гранилинейная алгебра .
41 год	Используйте формулу объема $V={\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}^{2}h$ $={\frac {64}{81}}d^{2}h$ для расчета объема цилиндрического зернохранилища диаметром 9 локтей и высотой 10 локтей. Дайте ответ в кубических локтях. Кроме того, учитывая следующие равенства между другими единицами объема, 1 кубический кубит = 3/2 кхар = 30 гекат = 15/2 четверных гекатов, также можно выразить ответ в терминах кхара и четверных гекатов.	$V=640\;\;\;cubit^{3}$ $=960\;\;\;khar$ $=4800\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	Эта задача открывает раздел геометрии папируса , а также дает его первый фактически неверный результат (хотя и с очень хорошим приближением , отличающимся менее чем на один процент). Другие древнеегипетские единицы объема, такие как четверной гекат и хар, позже сообщаются в этой задаче посредством преобразования единиц. Таким образом, проблема 41 также является первой проблемой, требующей серьезного рассмотрения размерного анализа . $\pi$
42	Повторно используйте формулу объема и информацию о единицах измерения, приведенную в 41, чтобы рассчитать объем цилиндрического силоса для зерна диаметром 10 локтей и высотой 10 локтей. Дайте ответ в единицах кубических локтей, харов и сотен четверных гекатов, где 400 гекатов = 100 четверных гекатов = 100 четырехкратных гекатов, все в египетских долях.	$V={\bigg (}790+{\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}+{\frac {1}{81}}{\bigg )}\;\;\;cubit^{3}$ $={\bigg (}1185+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{54}}{\bigg )}\;\;\;khar$ $={\bigg (}59+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{108}}{\bigg )}\;\;\;hundred\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	Задача 42 фактически повторяет 41, выполняя аналогичные преобразования единиц в конце. Однако, хотя проблема действительно начинается так, как указано, арифметика значительно сложнее, и некоторые из указанных последних дробных членов фактически не присутствуют в исходном документе. Однако контекста достаточно, чтобы заполнить пробелы, и поэтому Чейс взял лицензию на добавление определенных дробных терминов в свой математический перевод (повторенный здесь), которые приводят к внутренне непротиворечивому решению.
43 год	Используйте формулу объема $V={\frac {2}{3}}{\Bigg (}{\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}+{\frac {1}{3}}{\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}{\Bigg )}^{2}h$ $={\frac {2048}{2187}}d^{2}h$ для вычисления объема цилиндрического зернохранилища диаметром 9 локтей и высотой 6 локтей, непосредственно находя ответ в египетских дробных числах khar, а затем в египетских дробных выражениях четверных гекатов и четверных ro, где 1 четырехкратный гекат = 4 heqat = 1280 ro = 320 четверных ro.	$V={\bigg (}455+{\frac {1}{9}}{\bigg )}\;\;\;khar$ $={\bigg (}2275+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{36}}{\bigg )}\;\;\;quadruple\;\;\;ro$	Задача 43 представляет собой первую серьезную математическую ошибку в папирусе. Ахмес (или источник, из которого он, возможно, копировал) попытался сократить, чтобы выполнить как вычисление объема, так и преобразование единиц из кубических локтей в хар за один шаг, чтобы избежать необходимости использовать кубические локти в начальном результат. Однако эта попытка (которая потерпела неудачу из-за того, что запутала часть процесса, использованного в 41 и 42, с той, которая, вероятно, предназначалась для использования в 43, давая последовательные результаты другим методом) вместо этого привела к новой формуле объема, которая несовместима с (и хуже) приближение, используемое в 41 и 42.
44, 45	Один кубический локоть равен 15/2 четверных геката. Рассмотрим (44) зернохранилище кубической формы с длиной по 10 локтей по каждому краю. Выразите его объем в четырехкратном гекате. С другой стороны, (45) рассмотрим бункер для зерна кубической формы, объем которого составляет 7500 четверных гекатов, и выразим длину его края в локтях. $V$ $l$	$V=7500\;\;\;quadruple\;\;heqat$ $l=10\;\;\;cubit$	Проблема 45 является точным обращением проблемы 44, и поэтому они представлены здесь вместе.
46	Прямоугольный силос с призматическим зерном имеет объем 2500 четверных гектаров. Опишите его три измерения в локтях. $l_{1},l_{2},l_{3}$	$l_{1}=l_{2}=10\;\;\;cubit$ $l_{3}=3+{\frac {1}{3}}\;\;\;cubit$	Эта проблема, как указано, имеет бесконечно много решений, но делается простой выбор решения, тесно связанный с условиями 44 и 45.
47	Разделите физический объем 100 четверных гекатов на каждую из кратных 10, от 10 до 100. Выразите результаты в египетских дробных единицах четырехкратного геката и четверного геката и представьте результаты в таблице.	${\begin{bmatrix}{\frac {100}{10}}&q.\;heqat&=&10&q.\;heqat\\{\frac {100}{20}}&q.\;heqat&=&5&q.\;heqat\\{\frac {100}{30}}&q.\;heqat&=&(3+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}})&q.\;heqat\\&&+&(1+{\frac {2}{3}})&q.\;ro\\{\frac {100}{40}}&q.\;heqat&=&(2+{\frac {1}{2}})&q.\;heqat\\{\frac {100}{50}}&q.\;heqat&=&2&q.\;heqat\\{\frac {100}{60}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&q.\;heqat\\&&+&(3+{\frac {1}{3}})&q.\;ro\\{\frac {100}{70}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&q.\;heqat\\&&+&(2+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}})&q.\;ro\\{\frac {100}{80}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{4}})&q.\;heqat\\{\frac {100}{90}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&q.\;heqat\\&&+&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{18}})&q.\;ro\\{\frac {100}{100}}&q.\;heqat&=&1&q.\;heqat\\\end{bmatrix}}$	В задаче 47 Ахмес особенно настаивает на представлении более сложных последовательностей дробей как дробей глаза Гора , насколько это возможно. Сравните задачи 64 и 80 на предмет аналогичного предпочтения представления. Для экономии места слово «quadruple» было сокращено до «q». во всех случаях.
48	Сравните площадь круга диаметром 9 с площадью описывающего его квадрата, который также имеет длину стороны 9. Каково отношение площади круга к площади квадрата?	${\frac {64}{81}}$	Постановка и решение задачи 48 явно проясняют этот предпочтительный метод аппроксимации площади круга, который ранее использовался в задачах 41–43. Однако это ошибочно . Первоначальная постановка задачи 48 включает использование единицы площади, известной как сетат, которая вскоре получит дальнейший контекст в будущих задачах. На данный момент это косметический.
49	Один хет - это единица длины, равная 100 локтям. Кроме того, «полоса локтей» - это прямоугольная полоса измерения площади, составляющая 1 локоть на 100 локтей, или 100 квадратных локтей (или физическую величину равной площади). Рассмотрим прямоугольный участок земли размером 10 хет на 1 хет. Выразите его площадь в полосах локтей. $A$	$A=1000\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
50	Один квадратный хет - это единица площади, равная одному сетату. Рассмотрим круг диаметром 9 хет. Выразите его площадь через сетат. $A$	$A=64\;\;\;setat$	Задача 50 фактически является подкреплением правила 64/81 48 для площади круга, пронизывающего папирус.
51	Треугольный участок земли имеет основание 4 хет и высоту 10 хет. Найдите его площадь по сетат. $A$	$A=20\;\;\;setat$	Схема и решение 51 напоминают знакомую формулу для вычисления площади треугольника, и, согласно Чейсу, она перефразирована как таковая. Однако треугольная диаграмма папируса, предыдущие ошибки и проблемы с переводом представляют двусмысленность в отношении того, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным или действительно ли Ахмес действительно понимал условия, при которых заявленный ответ является правильным. В частности, неясно, имелось ли в виду размер 10 хет как высоту (и в этом случае проблема решается правильно, как указано) или «10 хет» просто относится к сторонетреугольника, и в этом случае фигура должна быть прямоугольным треугольником, чтобы ответ был фактически правильным и правильно обработанным, как это сделано. Эти проблемы и недоразумения сохраняются на протяжении 51–53, до такой степени, что Ахмес, кажется, теряет понимание того, что он делает, особенно в 53.
52	Участок земли трапециевидной формы имеет две базы: 6 хет и 4 хет. Его высота 20 хет. Найдите его площадь по сетат. $A$	$A=100\;\;\;setat$	Проблемы 52-й проблемы во многом схожи с проблемами 51-й. Метод решения знаком современникам, и все же обстоятельства, подобные ситуации в 51-й проблеме, заставляют усомниться в том, насколько хорошо Ахмес или его источник понимали, что они делают.
53	Равнобедренный треугольник (скажем, участок земли) имеет основание, равное 4 1/2 кхет, и высоту, равную 14 кхет. Два отрезка, параллельные основанию, дополнительно разделяют треугольник на три сектора: нижнюю трапецию, среднюю трапецию и верхний (аналогичный) меньший треугольник. Сегменты линии сокращают высоту треугольника в его средней точке (7) и далее на четверть (3 1/2) ближе к основанию, так что каждая трапеция имеет высоту 3 1/2 khet, а меньший аналогичный треугольник имеет высоту 7 хет. Найдите длины двух отрезков, где они являются соответственно более коротким и более длинным отрезками, и выразите их в египетских дробных числах кхет. Кроме того, найдите области $l_{1},l_{2}$ $A_{1},A_{2},A_{3}$ трех секторов, где они представляют собой большую трапецию, среднюю трапецию и малый треугольник соответственно, и выражают их в египетских дробных единицах полос сетата и локтей. Используйте тот факт, что 1 сетат = 100 локтей полос для преобразования единиц.	$l_{1}={\bigg (}2+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;khet$ $l_{2}={\bigg (}3+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;khet$ $A_{1}={\bigg (}13+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}3+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$ $A_{2}={\bigg (}9+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}9+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$ $A_{3}={\bigg (}7+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;setat$	Проблема 53, будучи более сложной, таит в себе многие из тех же проблем, что и 51 и 52 - двусмысленность перевода и несколько числовых ошибок. В частности, что касается большой нижней трапеции, Ахмес, кажется, застревает в поиске верхнего основания, и предлагает в оригинальной работе вычесть «одну десятую, равную 1 + 1/4 + 1/8 сетата плюс 10 локтей полос». прямоугольник (предположительно) 4 1/2 х 3 1/2 (хет). Однако даже ответ Ахмеса здесь несовместим с другой информацией о проблеме. К счастью , контекст 51 и 52, вместе с основанием, средней линией, и меньшей площадью треугольника (который естьзаданные как 4 + 1/2, 2 + 1/4 и 7 + 1/2 + 1/4 + 1/8 соответственно) позволяют интерпретировать проблему и ее решение, как это было сделано здесь. Данный пересказ, следовательно, представляет собой последовательное лучшее предположение относительно намерения проблемы, которое следует за Чейсом. Ахмес также снова обращается к «полосам локтей» в ходе вычислений для этой задачи, и поэтому мы повторяем их использование здесь. Следует упомянуть, что ни Ахмес, ни Чейс явно не указывают площадь средней трапеции в своих трактовках (Чейс предполагает, что с точки зрения Ахмеса это тривиально); поэтому была предоставлена свобода сообщить об этом способом, совместимым с тем, что до сих пор продвигал Чейс.
54	Имеется 10 земельных участков. На каждом графике сектор разделен таким образом, что сумма площадей этих 10 новых разделов составляет 7 точек. Каждая новая перегородка имеет одинаковую площадь. Найдите площадь любой из этих 10 новых перегородок и выразите ее в египетских долях сетата и локтей. $A$	$A={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}{\bigg )}\;\;\;setat$ $={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}7+{\frac {1}{2}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
55	Имеется 5 земельных участков. На каждом участке сектор разделен таким образом, что сумма площадей этих 5 новых разделов составляет 3 набора. Каждая новая перегородка имеет одинаковую площадь. Найдите площадь любой из этих 5 новых перегородок и выразите ее в египетских дробных единицах полос сетата и локтей. $A$	$A={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}{\bigg )}\;\;\;setat$ $={\frac {1}{2}}\;\;\;setat+10\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
56	1) Единица длины, известная как королевский локоть, означает (и использовалась на протяжении всего папируса), когда мы просто ссылаемся на локоть . Один королевский локоть, или один локоть, равен семи ладоням, а одна ладонь равна четырем пальцам. Другими словами, выполняются следующие равенства: 1 (королевский) локоть = 1 локоть = 7 ладоней = 28 пальцев. 2) Рассмотрим правильную квадратную пирамиду , основание которой, квадратная грань, компланарна плоскости (или, скажем, земле), так что любая из плоскостей, содержащих ее треугольные грани, имеет двугранный угол по отношению к плоскости земли ( то есть внутри пирамиды). Другими словами, это угол треугольных граней пирамиды относительно земли. Таким образом, секция такой пирамиды, имеющая высоту и длину края основания , определяется как такая физическая длина , что . Иными словами, секэд пирамиды можно интерпретировать как отношение длины пробега ее треугольных граней на единицу (локоть) подъема $\theta$ $\theta$ $a$ $b$ $S$ ${\frac {S}{1\;\;\;royal\;\;\;cubit}}=$ cot ⁡ θ {\displaystyle \cot {\theta }} . Или, для подходящего прямоугольного треугольника на внутренней стороне пирамиды, имеющего катеты и серединный перпендикуляр треугольной грани в качестве гипотенузы, тогда секед пирамиды удовлетворяет . Поэтому описаны аналогичные треугольники, и один из них можно масштабировать до другого. $a,{\frac {b}{2}}$ $S$ $\cot {\theta }={\frac {b}{2a}}={\frac {S}{1\;\;\;royal\;\;\;cubit}}$ 3) Пирамида имеет высоту 250 (королевских) локтей, а сторона ее основания имеет длину 360 (королевских) локтей. Найдите ее сэйд в египетских дробных (королевских) локтях, а также в ладонях. $S$	$S={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{50}}{\bigg )}\;\;\;cubit$ $={\bigg (}5+{\frac {1}{25}}{\bigg )}\;\;\;palm$	Задача 56 - первая из «проблем пирамиды» или проблем секед в папирусе Райнда, 56–59, 59B и 60, которые касаются понятия наклона грани пирамиды по отношению к плоской поверхности. В этой связи концепция секед предполагает раннее начало тригонометрии . Однако, в отличие от современной тригонометрии, обратите внимание, что секед находится относительно некоторой пирамиды и сам по себе является измерением физической длины., который может быть выражен в любых единицах физической длины. Однако по очевидным причинам мы (и папирус) ограничиваем свое внимание ситуациями, связанными с древнеегипетскими единицами. Мы также пояснили, что королевские локти используются на протяжении всего папируса, чтобы отличить их от «коротких» локтей, которые использовались где-то еще в Древнем Египте. Один «короткий» локоть равен шести ладоням.
57, 58	Ширина пирамиды 5 ладоней и 1 палец, а сторона ее основания 140 локтей. Найдите (57) его высоту в локтях. С другой стороны, (58) высота пирамиды составляет 93 + 1/3 локтя, а сторона ее основания - 140 локтей. Найдите его секед и выразите его в терминах ладоней и пальцев. $a$ $S$	$a={\bigg (}93+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;cubit$ $S=5\;\;\;palm+1\;\;\;finger$	Проблема 58 является точным обращением проблемы 57, и поэтому они представлены здесь вместе.
59, 59Б	Высота пирамиды (59) составляет 8 локтей, а длина основания - 12 локтей. Выразите его секед в терминах ладоней и пальцев. С другой стороны, (59B) секед пирамиды состоит из пяти ладоней и одного пальца, а сторона ее основания составляет 12 локтей. Выразите его высоту в локтях. $S$ $a$	$S=5\;\;\;palm+1\;\;\;finger$ $a=8\;\;\;cubit$	Задачи 59 и 59B рассматривают случай, аналогичный задачам 57 и 58, заканчивая знакомыми результатами. Здесь они представлены вместе как точные развороты друг друга.
60	Если «столб» (то есть конус) имеет высоту 30 локтей, а сторона его основания (или диаметр) имеет длину 15 локтей, найдите его секед и выразите его в локтях. $S$	$S={\frac {1}{4}}\;\;\;cubit$	Ахмес использует несколько иные слова, чтобы описать эту проблему, которые поддаются переводу. Однако общий контекст проблемы вместе с сопровождающей диаграммой (которая отличается от предыдущих диаграмм) приводит Чейса к выводу, что имеется в виду конус. Понятие секед легко обобщается на боковую поверхность конуса; поэтому он сообщает о проблеме в этих терминах. Задача 60 завершает геометрический раздел папируса. Кроме того, это последняя проблема на лицевом (переднюю сторону) документ; все последующее содержание этого резюме присутствует на оборотной стороне (обратной стороне) папируса. Таким образом, переход от 60 к 61 - это одновременно и тематический, и физический сдвиг в папирусе.
61	Произведение семнадцати умножений должно быть выражено египетскими дробями. Все должно быть представлено в виде таблицы.	${\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}&;&{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{18}}\\{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{18}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {1}{12}}+{\frac {1}{36}}\\{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}&;&{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{12}}&;&{\frac {1}{12}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{24}}\\{\frac {1}{9}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{18}}+{\frac {1}{54}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{9}}={\frac {1}{18}}+{\frac {1}{54}}\\{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {1}{20}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{14}}+{\frac {1}{42}}\\{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{14}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{22}}+{\frac {1}{66}}\\{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{33}}&;&{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{22}}\\{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{44}}&&\\\end{bmatrix}}$	Синтаксис исходного документа и его повторные умножения указывают на элементарное понимание того, что умножение является коммутативным .
61B	Приведите общую процедуру преобразования произведения 2/3 и обратной величины любого (положительного) нечетного числа 2n + 1 в египетскую дробь из двух членов, например, с натуральными p и q. Другими словами, найдите p и q через n. ${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2n+1}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}$	$p=2(2n+1)$ $q=6(2n+1)$	Задача 61B и метод декомпозиции, который она описывает (и предлагает), тесно связаны с вычислением таблицы Математического папируса Райнда 2 / n . В частности, можно сказать, что каждый случай в таблице 2 / n со знаменателем, кратным 3, следует примеру 61B. Утверждение и решение 61B также наводят на мысль об общности, которой нет у большинства остальных более конкретных проблем папируса. Таким образом, он представляет собой раннее предложение как алгебры, так и алгоритмов .
62	Мешок с тремя драгоценными металлами, золотом, серебром и свинцом, был куплен за 84 шаты, что является денежной единицей. Все три вещества имеют одинаковый вес, а дебен - это единица веса. 1 дебен золота стоит 12 ша'ти, 1 дебен серебра стоит 6 ша'ти, а 1 дебен свинца стоит 3 ша'ти. Найдите общий вес любого из трех металлов в сумке. $W$	$W=4\;\;\;deben$	Проблема 62 становится проблемой разделения, требующей небольшого анализа размеров. Его настройка с использованием стандартных весов упрощает задачу.
63	700 хлебов должны быть разделены между четырьмя неравными весовыми частями. Доли будут в соответствующих пропорциях . Найдите каждую акцию. ${\frac {2}{3}}:{\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{4}}$	$266+{\frac {2}{3}}$ $200$ $133+{\frac {1}{3}}$ $100$	-
64	Напомним, гекат - это единица измерения объема. Десять гекат ячменя должны быть распределены между десятью мужчинами в арифметической прогрессии, так чтобы у последовательных мужчин разница в 1/8 геката. Найдите десять акций и перечислите их в порядке убывания в египетских долях геката.	${\bigg (}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$	Задача 64 - это вариант 40, на этот раз с четным числом неизвестных. Для быстрой современной справки, за исключением египетских дробей, доли варьируются от 25/16 до 7/16, где числитель уменьшается на последовательные нечетные числа. Термины даны как фракции глаза Гора ; сравните задачи 47 и 80, чтобы узнать больше.
65	100 буханок хлеба неравномерно разделить между десятью мужчинами. Семеро мужчин получают единовременную долю, в то время как остальные трое мужчин, будучи лодочником, бригадиром и привратником, получают двойную долю. Выразите каждую из этих двух долей как египетские дроби.	$7+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{39}}$ $15+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{78}}$	-
66	Напомним, что хекат - это единица объема, и что один хекат равен 320 ro. 10 гек жира распределяются на одного человека в течение одного года (365 дней) в равных суточных нормах. Выразите надбавку как египетскую дробь в единицах heqat и ro. $a$	$a={\frac {1}{64}}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{2190}}{\bigg )}\;\;\;ro$	В задаче 66 в ее первоначальной форме явно указано, что один год равен 365 дням, и для расчетов неоднократно используется число 365. Таким образом, это первое историческое свидетельство древнеегипетского понимания года .
67	У пастыря было стадо животных, и он должен был отдать часть своего стада господину в качестве дани. Пастуху было сказано отдать две трети из одной трети своего первоначального стада в качестве дани. Пастух подарил 70 животных. Найдите размер первоначального стада пастуха.	$315$	-
68	Четыре надсмотрщика несут ответственность за четыре бригады из 12, 8, 6 и 4 человек соответственно. Каждый член экипажа работает с одинаковой скоростью, чтобы произвести единственный рабочий продукт: производство (скажем, сбор) зерна. Работая в течение некоторого промежутка времени, эти четыре бригады в совокупности произвели 100 единиц, или 100 четверных гекатов зерна, при этом продукты работы каждой бригады будут переданы надзирателю каждой бригады. Выразите результативность каждой бригады в четырехкратном гекате. $O_{12},O_{8},O_{6},O_{4}$	$O_{12}=40\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{8}=26+{\frac {2}{3}}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{6}=20\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{4}=13+{\frac {1}{3}}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	-
69	1) Рассмотрите возможность приготовления пищи и приготовления пищи. Предположим, что существует стандартизованный способ приготовления или производственный процесс, в котором будут использоваться единицы объема, в частности, гектары сырого пищевого материала (в частности, какого-то одного исходного пищевого материала), и производиться единицы какого-то одного готового пищевого продукта. Таким образом, pefsu (одного) готового пищевого продукта относительно (одного) сырого пищевого материала определяется как количество единиц готового пищевого продукта, полученного ровно из одного гектара пищевого сырья. Другими словами, . $P$ $p$ $P={\frac {p\;\;\;finished\;\;\;unit}{1\;\;\;heqat_{raw\;\;\;material}}}$ 2) 3 + 1/2 гектара муки дают 80 буханок хлеба. Найдите еду на буханку в heqats и ro и найдите pefsu этих хлебов по отношению к еде. Выразите их как египетские дроби. $m$ $P$	$m={\frac {1}{32}}\;\;\;heqat+4\;\;\;ro$ $P={\bigg (}22+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{21}}{\bigg )}{\frac {loaf}{heqat_{meal}}}$	Задача 69 начинается с проблем «pefsu», 69–78, в контексте приготовления пищи. Обратите внимание, что понятие pefsu предполагает некоторый стандартизированный производственный процесс без аварий, отходов и т. Д. И касается только отношения одного стандартизированного готового пищевого продукта к одному конкретному сырью. То есть pefsu не имеет непосредственного отношения к таким вопросам, как время производства или (в любом конкретном случае) отношение другого сырья или оборудования к производственному процессу и т. Д. Тем не менее, понятие pefsu является еще одним намеком на абстракцию. в папирусе, который может применяться к любым бинарным отношениям между пищевым продуктом (или готовым товаром, если на то пошло) и сырьем. Таким образом, концепции, связанные с pefsu, типичны для производства .
70	(7 + 1/2 + 1/4 + 1/8) гектаров муки получается 100 буханок хлеба. Найдите еду на буханку в heqats и ro и найдите pefsu этих хлебов по отношению к еде. Выразите их как египетские дроби. $m$ $P$	$m={\bigg (}{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\frac {1}{5}}\;\;\;ro$ $P={\bigg (}12+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{126}}{\bigg )}{\frac {loaf}{heqat_{meal}}}$	-
71	Из 1/2 гектара беши, сырья, получается ровно один полный дес-мер (стакан) пива. Предположим, что существует процесс производства стаканов разбавленного пива. Выливается 1/4 только что описанного стакана, а то, что только что вылито, улавливается и повторно используется позже. Этот стакан, который теперь заполнен на 3/4, затем снова разбавляется водой до полного объема, получая ровно один полный стакан разбавленного пива. Найдите pefsu этих стаканов для разбавленного пива относительно беши как египетской фракции. $P$	$P={\bigg (}2+{\frac {2}{3}}{\bigg )}{\frac {des-measure}{heqat_{besha}}}$	Обратите внимание, что в задаче 71 описаны промежуточные этапы производственного процесса, а также второй исходный материал - вода. Также обратите внимание, что они не имеют отношения к отношениям между готовой единицей и сырьем (в данном случае беша).
72	100 буханок хлеба «пефсу 10» равномерно заменить на буханки «пефсу 45». Найди . $x$ $x$	$x=450$	Теперь, когда концепция pefsu установлена, задачи 72–78 исследуют даже обмен разными кучами готовой пищи, имеющей разные pefsu. В общем, однако, они предполагают какое-то общее сырье . В частности, общее сырье, используемое во всех 72–78 годах, называется сырой мукой., которое даже связано с производством пива, так что пиво можно обменять на хлеб в последних проблемах. В исходном заявлении 74 также упоминается «ячмень Верхнего Египта», но для наших целей это косметическое средство. Таким образом, проблемы 72–78 говорят о следующем: в двух различных производственных процессах используются равные количества сырья для производства двух разных единиц готовой пищи, каждый из которых имеет разную pefsu. Выдается одна из двух единиц готовой еды. Найдите другого. Это может быть достигнуто путем деления обеих единиц (известных и неизвестных) на их соответствующие pefsu, при этом единицы готовой пищи исчезают при анализе размеров и учитывается только одно и то же сырье. Тогда можно легко найти x.72–78 поэтому действительно требуют, чтобы x был задан так, чтобы равные количества сырья использовались в двух различных производственных процессах.
73	100 буханок пефсу 10 равномерно заменить на буханки пефсу 15. Найти . $x$ $x$	$x=150$	-
74	1000 буханок пефсу 5 равномерно разделить на две кучки по 500 буханок каждая. Каждую кучу следует равномерно обменять на две другие кучки, одну из хлебов пефсу 10, а другую из хлебов пефсу 20. Найдите и . $x$ $y$ $x$ $y$	$x=1000$ $y=2000$	-
75	155 буханок пефсу 20 равномерно заменить на буханки пефсу 30. Найти . $x$ $x$	$x=232+{\frac {1}{2}}$	-
76	1000 буханок пефсу 10, одна куча, будут равномерно обменены на две другие кучи хлебов. В двух других кучах одинаковое количество хлебов, одна из которых пефсу 20, другая - 30. Найдите . $x$ $x$	$x=1200$	-
77	10 дес-мер пива пефсу 2 должны быть равномерно заменены на буханки хлеба пефсу 5. Найти . $x$ $x$	$x=25$	-
78	100 буханок пефсу 10 равномерно заменить на мерку пива пефсу 2. Найти . $x$ $x$	$x=20$	-
79	Инвентарь поместья состоит из 7 домов, 49 кошек, 343 мышей, 2401 полбы (разновидность пшеницы) и 16807 единиц геката (любого вещества - предположим, типа зерна). Составьте список предметов в инвентаре поместья в виде таблицы и укажите их общее количество.	${\begin{bmatrix}houses&7\\cats&49\\mice&343\\spelt&2401\\heqat&16807\\Total&19607\\\end{bmatrix}}$	Проблема 79 была представлена в самом буквальном понимании. Однако эта проблема является одной из самых интересных в папирусе, поскольку ее постановка и даже метод решения предполагают геометрическую прогрессию (то есть геометрические последовательности), элементарное понимание конечных серий , а также проблему Сент-Айвса - даже Чейс не может Помогите прервать собственное повествование, чтобы сравнить задачу 79 с детским стишком Сент-Айвса. Он также указывает, что подозрительно знакомый третий пример подобных проблем можно найти в « Liber Abaci» Фибоначчи.. Чейс предлагает интерпретацию, что 79 - это своего рода пример сбережений, когда определенное количество зерна экономится, если держать кошек под рукой, чтобы убить мышей, которые в противном случае съели бы полбу, используемую для производства зерна. В исходном документе термин 2401 записан как 2301 (очевидная ошибка), тогда как остальные термины даны правильно; поэтому здесь это исправлено. Более того, один из методов Ахмеса для решения суммы предлагает понимание конечных геометрических рядов . Ахмес выполняет прямую сумму, но он также представляет простое умножение, чтобы получить тот же ответ: «2801 x 7 = 19607». Чейс объясняет, что, поскольку первый член, количество домов (7) равно обычному коэффициенту умножения (7), то выполняется следующее (и может быть обобщено на любую аналогичную ситуацию): $\sum \limits _{k=1}^{n}7^{k}=7{\bigg (}1+\sum \limits _{k=1}^{n-1}7^{k}{\bigg )}$ То есть, когда первый член геометрической последовательности равен обычному отношению, частичные суммы геометрических последовательностей или конечный геометрический ряд могут быть сведены к умножениям, включающим конечный ряд, имеющий на один член меньше, что оказывается удобным в этом случае. . В этом случае Ахмес просто складывает первые четыре члена последовательности (7 + 49 + 343 + 2401 = 2800), чтобы получить частичную сумму, добавляет единицу (2801), а затем просто умножает на 7, чтобы получить правильный ответ.
80	Хину - это дополнительная единица объема, так что один хекат равен десяти хину. Рассмотрим ситуации, когда у человека есть доля хекатов в виде глаза Гора, и выразим их преобразование в хину в таблице.	${\begin{bmatrix}1&heqat&=&10&hinu\\{\frac {1}{2}}&heqat&=&5&hinu\\{\frac {1}{4}}&heqat&=&(2+{\frac {1}{2}})&hinu\\{\frac {1}{8}}&heqat&=&(1+{\frac {1}{4}})&hinu\\{\frac {1}{16}}&heqat&=&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}})&hinu\\{\frac {1}{32}}&heqat&=&({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}})&hinu\\{\frac {1}{64}}&heqat&=&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&hinu\\\end{bmatrix}}$	Сравните задачи 47 и 64 для получения другой табличной информации с повторяющимися фракциями глаза Гора.
81 год	Выполните «еще один счет хину». То есть выразить набор египетских фракций, многие члены которых также являются фракциями глаза Гора, в различных терминах хекатов, хину и ро.		Основной раздел задачи 81 - это гораздо большая таблица преобразования различных египетских дробей, которая расширяет идею задачи 80 - действительно, она представляет собой одну из самых больших табличных форм во всем папирусе. Первая часть задачи 81 является точным повторением таблицы в задаче 80 без первой строки, в которой говорится, что 1 heqat = 10 hinu; поэтому здесь он не повторяется. Вторая часть задачи 81 или ее «тело» - это большая таблица, которая здесь приведена. Внимательный читатель заметит две вещи: несколько строк повторяют идентичную информацию, и несколько форм (но не все), приведенные в обеих полях «heqat» по обе стороны таблицы, на самом деле идентичны. Чтобы объяснить, почему таблица выглядит именно так, стоит упомянуть два момента. Для одной вещи,Фактически Ахмес в точности повторяет определенные группы информации в разных частях таблицы, и, соответственно, они повторяются здесь. С другой стороны, Ахмес также начинает с определенных «левых» форм геката и допускает некоторые ошибки в своих ранних расчетах. Однако во многих случаях он исправляет эти ошибки позже при составлении таблицы, что дает стабильный результат. Поскольку настоящая информация является просто воссозданием перевода и интерпретации папируса Чейсом, и поскольку Чейс решил интерпретировать и исправлять ошибки Ахмеса, заменяя более позднюю правильную информацию в определенных более ранних строках, тем самым исправляя ошибки Ахмеса и, следовательно, повторяя информации в процессе перевода, этот способ интерпретации объясняет дублирование информации в определенных строках.Что касается дублирования информации в определенных столбцах (1/4 heqat = ... = 1/4 heqat и т. Д.), Это, по-видимому, было просто условностью, которую Ахмес заполнил, рассматривая некоторые важные дробные отношения глаза Гора из как точка зрения хину, так и хеката (и их обращения). Короче говоря, различные повторы информации являются результатом выбора, сделанного Ахмесом, его потенциальным исходным документом, и редакционного выбора Чейса, чтобы представить математически согласованный перевод более крупной таблицы в задаче 81.Короче говоря, различные повторы информации являются результатом выбора, сделанного Ахмесом, его потенциальным исходным документом, и редакционного выбора Чейса, чтобы представить математически согласованный перевод более крупной таблицы в задаче 81.Короче говоря, различные повторы информации являются результатом выбора, сделанного Ахмесом, его потенциальным исходным документом, и редакционного выбора Чейса, чтобы представить математически согласованный перевод более крупной таблицы в задаче 81.
82	Оцените дневную порцию корма для десяти гусей на откорме в прослойке из муки, превращенной в хлеб . Для этого выполните следующие вычисления, выражая количества в египетских дробных единицах в сотнях гекатов, хекатов и ro, если не указано иное: Начнем с утверждения, что «10 гусей на откорме съедают 2 + 1/2 геката за один день». Другими словами, дневная норма потребления (и начальное состояние) равна 2 + 1/2. Определите количество гекатов, которые съедают 10 гусей на откорме за 10 и 40 дней. Назовем эти величины и соответственно. $i$ $t$ $f$ Умножьте указанное выше последнее количество на 5/3, чтобы выразить количество «закваски» или количества , которое необходимо измельчить. $f$ $s$ Умножьте на 2/3, чтобы выразить количество «пшеницы» или , если требуется. $f$ $w$ Разделите на 10, чтобы получить «порцию пшеницы», или , из которой нужно вычесть . $w$ $p$ $f$ Найди . Это количество «зерна» (или, казалось бы, свежей муки), которое требуется для приготовления корма для гусей предположительно с интервалом в 40 дней (что, казалось бы, несколько противоречит исходной постановке задачи, ). Наконец, снова выразите в терминах сотен двойных гекатов, двойных гекатов и двойных гекатов , где 1 сотня двойных гекатов = 2 сотни гекатов = 100 двойных гекатов = 200 гекатов = 32000 двойных ro = 64000 ro. Назовите это окончательное количество . $f-p=g$ $g$ $g_{2}$	$t=25\;\;\;heqat$ $f=100\;\;\;heqat$ $s={\bigg (}1+{\frac {1}{2}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}16+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $w={\bigg (}{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}8+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $p={\bigg (}6+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $g={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}18+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $g_{2}={\bigg (}{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}21+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;ro$	Начиная с задачи 82, папирус становится все труднее интерпретировать (из-за ошибок и недостающей информации), вплоть до непонятности. Тем не менее, 82 все же можно понять. Проще говоря, похоже, существуют установленные правила или точные оценки для фракций, которые должны быть взяты из того или иного пищевого материала в процессе приготовления или производства. Ахмес 82 просто выражает некоторые из этих величин в том, что, в конце концов, объявлено в исходном документе как «оценка», несмотря на несколько противоречивый и запутанный язык. В дополнение к своей необычности, проблемы 82, 82B, 83 и 84 также примечательны тем, что они продолжают «пищевой» ход мыслей о недавних проблемах с pefsu, на этот раз рассматривая вопрос о том, как кормить животных, а не людей.И 82, и 82B используют единицу «сто гекатов» в отношении t и f; эти условности носят косметический характер и здесь не повторяются. Для решения этих последних задач (по Чейсу) также требуется лицензия на исправление числовых ошибок в исходном документе, чтобы попытаться представить связный пересказ.
82B	Оцените количество корма для других гусей. То есть рассмотрим ситуацию, которая идентична задаче 82, с единственным исключением, что начальное состояние или дневная норма потребления ровно вдвое меньше. То есть let = 1 + 1/4. Найдите , и особенно используя элементарную алгебру, чтобы пропустить промежуточные шаги. $i$ $t$ $f$ $g_{2}$	$t={\bigg (}12+{\frac {1}{2}}{\bigg )}\;\;\;heqat$ $f=50\;\;\;heqat$ $g_{2}={\bigg (}23+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;ro$	Задача 82B представлена параллельно с задачей 82 и быстро рассматривает идентичную ситуацию, когда соответствующие количества уменьшаются вдвое. В обоих случаях похоже, что настоящая цель Ахмеса - найти g_2. Теперь, когда у него есть «процедура», он может свободно пропускать обременительные шаги 82. Можно просто заметить, что деление на два проходит через всю работу задачи, так что g_2 также ровно вдвое меньше, чем в задаче 82. Чуть более тщательный подход, использующий элементарную алгебру, заключался бы в восстановлении отношений между величинами в 82, сделайте важное наблюдение, что g = 14/15 xf, а затем выполните преобразование единиц, чтобы преобразовать g в g_2.
83	Оцените корм для различных видов птиц. Это «проблема» с несколькими компонентами, которую можно интерпретировать как серию замечаний: Предположим, что четыре гуся сидят взаперти, и их общая суточная норма корма равна одному хину. Выразите суточную норму корма одного гуся в heqats и ro. $a_{1}$ Предположим, что суточный корм для гуся, «уходящего в пруд», равен 1/16 + 1/32 га + 2 ro. Выразите ту же суточную норму в хину. $a_{2}$ Предположим, что суточная норма корма на 10 гусей равна одному гекату. Найдите 10-дневное пособие и 30-дневное или месячное пособие для одной и той же группы животных в гекатах. $a_{10}$ $a_{30}$ Наконец, будет представлена таблица, в которой указаны суточные порции корма для откорма одного животного любого из указанных видов.	$a_{1}={\frac {1}{64}}\;\;\;heqat+3\;\;\;ro$ $a_{2}=1\;\;\;hinu$ $a_{10}=10\;\;\;heqat$ $a_{30}=30\;\;\;heqat$ ${\begin{bmatrix}goose&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\terp-goose&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\crane&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\set-duck&({\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&heqat&+&1&ro\\ser-goose&{\frac {1}{64}}&heqat&+&3&ro\\dove&&&&3&ro\\quail&&&&3&ro\\\end{bmatrix}}$	Поскольку различные элементы задачи 83 связаны с преобразованием единиц между хекатами, ро и хину в духе 80 и 81, естественно задаться вопросом, во что превратились элементы таблицы при преобразовании в хину. Доля гуся, терп-гуся и журавля равна 5/3 хину, доля сет-уток равна 1/2 хину, доля сергусей равна 1/4 хину (ср. первый пункт в задаче), а доля, разделяемая голубем и перепелом, равна 1/16 + 1/32 хину. Присутствие различных фракций глаз Гора знакомо по остальной части папируса, и таблица, кажется, учитывает оценки корма для птиц, от самых больших до самых маленьких. Части «5/3 хину» в верхней части таблицы, особенно их коэффициент 5/3, напоминают один из методов нахождения s в задаче 82.В задаче 83 упоминается «нижнеегипетское зерно», или ячмень, и в одном месте также используется единица «сто гекат»; они являются косметическими и не включены в настоящее заявление.
84	Оцените корм для стойла для быков.	${\begin{bmatrix}&Loaves&Common\;food\\4\;fine\;oxen&24\;heqat&2\;heqat\\2\;fine\;oxen&22\;heqat&6\;heqat\\3\;cattle&20\;heqat&2\;heqat\\1\;ox&20\;heqat&\\Total&86\;heqat&10\;heqat\\in\;spelt&9\;heqat&(7+{\frac {1}{2}})\;heqat\\10\;days&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\;c.\;heqat&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\;c.\;heqat\\&+15\;heqat&\\one\;month&200\;heqat&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\;c.\;heqat\\&&+15\;heqat\\double\;heqat&{\frac {1}{2}}\;c.\;heqat&{\frac {1}{4}}\;c.\;heqat\\&+(11+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}})\;heqat&+5\;heqat\\&+3\;ro&\\\end{bmatrix}}$	84 - последняя задача или число, составляющее математическое содержание папируса Райнда. Что касается самого 84, Чейс вторит Питу: «Можно только согласиться с Питом в том, что« с этой проблемой папирус достигает предела непонятности и неточности »» (Chace, V.2, Problem 84). Здесь экземпляры единицы «сто гекат» были выражены «с. Гекат» для экономии места. Упомянутые три «крупного рогатого скота» описаны как «обычный» крупный рогатый скот, чтобы отличить их от других животных, а два заголовка, касающиеся хлеба и «общей пищи», относятся к гекатам. «Прекрасные быки» в начале таблицы описываются как верхнеегипетские быки, фраза также удалена из соображений экономии места. Задача 84, кажется, предлагает процедуру для оценки различных пищевых материалов и припасов в тех же терминах, что и предыдущие три задачи, но сохранившаяся информация глубоко запутана. Тем не менее, есть намеки на последовательность. Кажется, что задача начинается как обычная задача-рассказ, описывающая конюшню с десятью животными четырех разных типов. Кажется, что четыре типа животных потребляют корм или «хлебцы» с разной скоростью, и что есть соответствующие количества «общей» пищи. Эти два столбца информации правильно суммированы в строке «Итого», однако за ними следуют два элемента «по буквам», имеющие сомнительное отношение к вышеизложенному. Каждый из этих двух написанных элементов действительно умножается на десять, чтобы получить две записи в строке «10 дней» после учета преобразований единиц.Однако элементы строки «один месяц», похоже, не соответствуют двум предыдущим. Наконец, информация в «двойных гекатах» (читайте «сотня двойных гекатов», «двойных гекатов» и «двойных гекатов» для этих элементов) завершает проблему, как и 82 и 82B. Два элемента в последней строке примерно, но не в точности, находятся в той же пропорции друг к другу, что и два элемента в строке «один месяц».один месяц "строка.один месяц "строка.
Число 85	Написана небольшая группа иероглифических знаков курсивом, которые, как предполагает Чейс, могут представлять писца, «пробующего перо». Похоже, это фраза или предложение, и предлагается два перевода. 1) «Убейте паразитов, мышей, свежие сорняки, многочисленных пауков. Молитесь богу Ра о тепле, ветре и паводке». 2) Интерпретируйте это странное дело, которое писец написал ... согласно тому, что он знал ».		Остальные пункты 85, 86 и 87, являющиеся различными ошибками, не носящими математического характера, поэтому называются Чейсом «числами», а не задачами. Они также расположены на участках папируса, которые находятся далеко от основной части письма, которое только что закончилось задачей 84. Например, номер 85 находится на некотором расстоянии от задачи 84 на оборотной стороне, но не слишком далеко. . Таким образом, его размещение на папирусе предполагает своего рода кодировку, и в этом случае последний перевод, который Чейс описывает как пример интерпретации «загадочного письма» древнеегипетских документов, кажется наиболее подходящим для его контекста в документе.
Число 86	Номер 86, похоже, взят из какой-то учетной записи или меморандума и перечисляет ассортимент товаров и количество, используя слова, знакомые из контекста остальной части самого папируса. [Исходный текст представляет собой серию строк письма, которые поэтому пронумерованы ниже.]	«1 ... жить вечно. Список еды в Хебенти ... 2 ... его брат стюард Камосе ... 3 ... его года, серебра, по 50 штук дважды в год ... 4 ... скот 2, в серебре 3 штуки в год ... 5 ... один дважды; то есть 1/6 и 1/6. Теперь что касается одного ... 6 ... 12 хину; то есть серебро, 1/4 штуки; один... 7 ... (золото или серебро) 5 штук, их цена; рыба, 120, дважды ... 8 ... годичный, ячмень, в четырехкратном гекате, 1/2 + 1/4 от 100 гекат 15 гекат; пишется, 100 гекат ... гекат ... 9 ... ячмень, в четырехкратном гекате, 1/2 + 1/4 от 100 гекат 15 гекат; полбы, 1 + 1/2 + 1/4 раз 100 гекат 17 га ... 10 ... 146 + 1/2; ячмень, 1 + 1/2 + 1/4 умножить на 100 га 10 га; полба, 300 гекат ... гекат ... 11 ... 1/2, принесли вино, 1 жопа (груз?) ... 12 ... серебро 1/2 штуки; ... 4; то есть в серебре ... 13 ... 1 + 1/4; жир, 36 хину; то есть в серебре ... 14 ... 1 + 1/2 + 1/4 умножить на 100 heqat 21 heqat; полба, четырехкратный гекат, 400 гекат 10 гекат ... 15-18 (Эти строки повторяют строку 14.) "	Чейс указывает, что число 86 было наклеено на крайнюю левую сторону оборотной стороны (напротив более поздних геометрических задач на лицевой стороне), чтобы укрепить папирус. Таким образом, число 86 можно интерпретировать как клочок «макулатуры».
Число 87	Номер 87 - это краткое изложение определенных событий. Чейс указывает (по общему признанию, теперь датированный и, возможно, измененный) научный консенсус, что 87 было добавлено к папирусу вскоре после завершения его математического содержания. Далее он указывает, что описанные в нем события «имели место в период господства гиксосов».	«11 год, второй месяц сбора урожая. Вступили в Гелиополис. В первый месяц сезона наводнения, 23-й день, командующий (?) Армии (?) Атаковал (?) Зару. На 25-й день было слышно, что вошел Зару. 11 год, первый месяц сезона паводков, третий день. Рождение Сета; Благодаря величию этого бога его голос был услышан. Рождение Исиды, небеса пролились дождем ».	Номер 87 расположен ближе к середине оборотной стороны, окруженный большим пустым неиспользуемым пространством.

См. Также [ править ]

Список древнеегипетских папирусов
Ахмес
Ахмим деревянная табличка
Древнеегипетские единицы измерения
Когда я собирался в Сент-Айвс
Берлинский папирус 6619
Арнольд Баффум Чейс
Египетская фракция
Рулет из египетской математической кожи
Глаз Гора
История математики
Математические папирусы Лахуна
Московский математический папирус
Александр Генри Райнд
Математический папирус Райнда 2 / п таблица
Секед

Библиография [ править ]

Чейс, Арнольд Баффам ; и другие. (1927). Математический папирус Райнда . 1 . Оберлин, Огайо : Математическая ассоциация Америки - через Интернет-архив .
Чейс, Арнольд Баффам; и другие. (1929). Математический папирус Райнда . 2 . Оберлин, Огайо: Математическая ассоциация Америки - через Интернет-архив .
Жиллингс, Ричард Дж. (1972). Математика во времена фараонов (переиздание в Дувре). MIT Press. ISBN 0-486-24315-X.
Робинс, Гей; Шут, Чарльз (1987). Математический папирус Райнда: древнеегипетский текст . Лондон: Публикации Британского музея. ISBN 0-7141-0944-4.

Ссылки [ править ]

^ "Математический папирус Райнда" . britishmuseum.org . Проверено 18 сентября 2017 .
^ Б с д е е Clagett, Маршалл (1999). Древнеегипетская наука, Справочник . Воспоминания Американского философского общества. Том третий: Древнеегипетская математика. Американское философское общество. ISBN 978-0-87169-232-0. |volume= has extra text (help)
^ Б с д е е Spalinger, Энтони (1990). «Математический папирус Райнда как исторический документ». Studien zur Altägyptischen Kultur . Helmut Buske Verlag. 17 : 295–337. JSTOR 25150159 .
^ "Коллекции: Египетское, Классическое, Древнее Ближневосточное Искусство: Фрагменты Математического Папируса Ринда" . Бруклинский музей . Проверено 1 ноября 2012 года .
^ ср. Шнайдер, Томас (2006). «Относительная хронология Среднего царства и периода гиксосов (Dyns. 12–17)». В Хорнунге, Эрик; Краусс, Рольф; Уорбертон, Дэвид (ред.). Древнеегипетская хронология . Справочник востоковедения. Брилл. стр. 194 -195.
^ Пит, Томас Эрик (1923). Математический папирус Райнда, Британский музей 10057 и 10058 . Лондон: University Press of Liverpool limited и Hodder & Stoughton limited.
^ a b Чейс, Арнольд Баффум (1979) [1927–29]. Математический папирус Райнда: вольный перевод и комментарии с избранными фотографиями, переводами, транслитерациями и дословными переводами . Классика в математическом образовании. 8. 2 тома (Рестон: Национальный совет учителей математики, перепечатанная ред.). Оберлин: Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-87353-133-7.
^ a b Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения . Издательство Принстонского университета . п. 20 . ISBN 0-691-09541-8.

Внешние ссылки [ править ]

Аллен, Дон. Апрель 2001. Папирус Ахмеса и краткое изложение египетской математики .
Египет / Тексты в Curlie
Веб-страница Британского музея о Папирусе.
О'Коннор и Робертсон, 2000. Математика в египетских папирусах .
Государственный университет Трумэна, факультет математики и информатики. Математика и гуманитарные науки: Папирус Райнда / Ахмеса .
"Папирус Райнда" . MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
Уильямс, Скотт В. Математики африканской диаспоры , содержащий страницу о египетских математических папирусах .
Аудиофайл BBC История мира в 100 объектах . (15 минут)

До
16: Таблетка флуд

История мира в 100 объектах
Объект 17

Преемник
18: минойский бык-прыгун

[1] "Математический папирус Райнда" . britishmuseum.org . Проверено 18 сентября 2017 .

[Clagett-2] Б с д е е Clagett, Маршалл (1999). Древнеегипетская наука, Справочник . Воспоминания Американского философского общества. Том третий: Древнеегипетская математика. Американское философское общество. ISBN 978-0-87169-232-0. |volume= has extra text (help)

[Spalinger-3] Б с д е е Spalinger, Энтони (1990). «Математический папирус Райнда как исторический документ». Studien zur Altägyptischen Kultur . Helmut Buske Verlag. 17 : 295–337. JSTOR 25150159 .

[4] "Коллекции: Египетское, Классическое, Древнее Ближневосточное Искусство: Фрагменты Математического Папируса Ринда" . Бруклинский музей . Проверено 1 ноября 2012 года .

[5] ср. Шнайдер, Томас (2006). «Относительная хронология Среднего царства и периода гиксосов (Dyns. 12–17)». В Хорнунге, Эрик; Краусс, Рольф; Уорбертон, Дэвид (ред.). Древнеегипетская хронология . Справочник востоковедения. Брилл. стр. 194 -195.

[6] Пит, Томас Эрик (1923). Математический папирус Райнда, Британский музей 10057 и 10058 . Лондон: University Press of Liverpool limited и Hodder & Stoughton limited.

[Chace,_Arnold_Buffum_1929-7] Чейс, Арнольд Баффум (1979) [1927–29]. Математический папирус Райнда: вольный перевод и комментарии с избранными фотографиями, переводами, транслитерациями и дословными переводами . Классика в математическом образовании. 8. 2 тома (Рестон: Национальный совет учителей математики, перепечатанная ред.). Оберлин: Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-87353-133-7.

[Maor-7-8] Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения . Издательство Принстонского университета . п. 20 . ISBN 0-691-09541-8.

[1]