Древнеегипетская математика

Древнеегипетская математика - это математика, которая была разработана и использовалась в Древнем Египте c. 3000 до с. 300 г.  до н.э. , от Древнего царства Египта до примерно начала эллинистического Египта . Древние египтяне использовали систему счисления для счета и решения письменных математических задач, часто включающих умножение и дроби . Доказательства египетской математики ограничены скудным количеством сохранившихся источников, написанных на папирусе . Из этих текстов известно, что древние египтяне понимали концепции геометрии., например, определение площади поверхности и объема трехмерных фигур, полезных для архитектурной инженерии , и алгебры , такой как метод ложного положения и квадратные уравнения .

Обзор [ править ]

Письменные свидетельства использования математики датируются по крайней мере 3200 г. до н.э. с этикетками из слоновой кости, найденными в гробнице Удж в Абидосе . Эти ярлыки, по-видимому, использовались как бирки для погребального инвентаря, а некоторые из них имеют цифры. ^[1] Еще одно свидетельство использования системы счисления с основанием 10 можно найти на Narmer Macehead, который изображает подношения 400 000 волов, 1 422 000 коз и 120 000 заключенных. ^[2]

Свидетельств использования математики в Древнем царстве (около 2690–2180 гг. До н.э.) немного, но их можно вывести из надписей на стене возле мастабы в Мейдуме, которые дают указания относительно наклона мастабы. ^[3] Линии на схеме расположены на расстоянии одного локтя и показывают использование этой единицы измерения . ^[1]

Самые ранние истинные математические документы относятся к 12-й династии (ок. 1990–1800 гг. До н.э.). Московский математический папирус , то египетский Математическая кожа Рулон , то Lahun Математического папирус , которые являются частью гораздо большей коллекцией Kahun папирусов и Берлин папирусе 6619 всех даты в этот период. Папирус Ахмеса , который датируется второй промежуточный период (ок. 1650 г. до н.э.) , как говорят, на базе старой математической текст из 12 - й династии. ^[4]

Московский математический папирус и Математический папирус Райнда - это так называемые тексты математических задач. Они состоят из набора проблем с решениями. Эти тексты могли быть написаны учителем или учеником, решающим типовые математические задачи. ^[1]

Интересной особенностью древнеегипетской математики является использование дробей. ^[5] Египтяне использовали некоторые специальные обозначения для дробей, такие как и и в некоторых текстах для , но все остальные дроби были записаны как дроби единицы формы или суммы таких дробей единицы. Писцы использовали таблицы, чтобы помочь им работать с этими дробями. Например, египетский кожаный рулон математической математики представляет собой таблицу долей единиц, выраженных в виде сумм других долей единиц. Математический папирус Райнда и некоторые другие тексты содержат таблицы. Эти таблицы позволяли писцам переписывать любую часть формы в виде суммы долей единицы. ^[1]${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {п}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}}}$

Во времена Нового царства (около 1550–1070 гг. До н.э.) математические проблемы упоминаются в литературном папирусе Анастаси I , а в папирусе Уилбура времен Рамсеса III записаны измерения земли. В деревне рабочих Дейр-эль-Медина было обнаружено несколько остраков, которые удалили рекордные объемы грязи при разработке гробниц. ^{[1] [4]}

Источники [ править ]

Современное понимание древнеегипетской математики затруднено из-за нехватки доступных источников. Источники, которые действительно существуют, включают следующие тексты (которые обычно датируются Средним царством и вторым промежуточным периодом):

• Московский математический папирус ^[6]
• Египетский Кожаный Рулон Математического ^[6]
• Lahun Математических Папирусы ^[6]
• Berlin Папирус 6619 , написанная около 1800 г. до н.э.
• Деревянный Tablet Akhmim ^[4]
• Рейснер папирус , датированный к ранней Двенадцатой династии Египта и нашли в Наг эль-Дейр, древний город Тинис ^[6]
• Папирус Ахмеса (РМП), датированный Второй промежуточный период (ок. 1650 г. до н.э.), но его автор, Амс , идентифицирует его как копию ныне утраченной Среднего царства папируса. RMP - это самый крупный математический текст. ^[6]

Из Нового Царства есть несколько математических текстов и надписей, связанных с вычислениями:

• Папирус Анастази I , литературный текст , написанный как (вымышленном) письмо , написанное писцом по имени Хори и обратился к писцом по имени Amenemope. Отрезок письма описывает несколько математических задач. ^[4]
• Ostracon Senmut 153, текст, написанный на иератическом языке ^[4]
• Остракон Турин 57170, текст, написанный на иератическом языке ^[4]
• Ostraca из Дейр-эль-Медины содержат вычисления. Ostracon IFAO 1206, например, показывает расчет объемов, предположительно связанных с разработкой гробницы. ^[4]

Цифры [ править ]

Древнеегипетские тексты могли быть написаны иероглифами или иератическим языком . В любом представлении система счисления всегда давалась с основанием 10. Число 1 изображалось простым штрихом, число 2 - двумя штрихами и т. Д. У чисел 10, 100, 1000, 10 000 и 100 000 были свои собственные иероглифы. Число 10 - это ковбойка для крупного рогатого скота, число 100 - скрученная веревка, число 1000 - цветок лотоса, число 10 000 - палец, число 100 000 - лягушка, а миллион - символ. Бог с поднятыми руками в поклонении. ^[6]

Иероглифы для египетских цифр ^[2]

1	10	100	1000	10 000	100 000	1,000,000

Египетские цифры восходят к додинастическому периоду . Этикетки из слоновой кости из Абидоса записывают использование этой системы счисления. Также часто можно увидеть цифры в сценах предложения, чтобы указать количество предлагаемых предметов. Дочь царя Неферетиабет изображена с принесением в жертву 1000 волов, хлеба, пива и т. Д.

Египетская система счисления была аддитивной. Большие числа были представлены набором глифов, а значение было получено простым сложением отдельных чисел.

Египтяне почти исключительно использовали дроби вида 1 / n. Заметным исключением является дробь 2/3, которая часто встречается в математических текстах. Очень редко для обозначения 3/4 использовался специальный глиф. Дробь 1/2 была представлена ​​глифом, который, возможно, изображал кусок полотна, сложенный пополам. Дробь 2/3 была представлена ​​символом рта с двумя штрихами (разного размера). Остальные фракции всегда представлялись ртом, наложенным на число. ^[6]

Иероглифы для некоторых дробей ^[6]

${\ displaystyle 1/2}$	${\ displaystyle 1/3}$	${\ displaystyle 2/3}$	${\ displaystyle 1/4}$	${\ displaystyle 1/5}$

Умножение и деление [ править ]

Египетское умножение производилось путем многократного удвоения числа, которое нужно умножить (множимое), и выбора того, какое из удвоений складывать вместе (по сути, форма двоичной арифметики), метод, который связан с Древним царством. Рядом с цифрой 1 написано множимое; затем множимое добавлялось к самому себе, и результат записывался рядом с числом 2. Процесс продолжался до тех пор, пока удвоение не дало число, превышающее половину множителя . Затем удвоенные числа (1, 2 и т. Д.) Будут многократно вычитаться из множителя, чтобы выбрать, какие из результатов существующих вычислений следует сложить вместе, чтобы получить ответ. ^[2]

В качестве сокращения для больших чисел множимое также можно сразу умножить на 10, 100, 1000, 10000 и т. Д.

Например, в Задаче 69 Папируса Ринда (RMP) представлена ​​следующая иллюстрация, как если бы использовались иероглифические символы (а не фактическое иератическое письмо RMP). ^[6]

Умножить 80 × 14
Египетский расчет			Современный расчет
Результат	Множитель		Результат	Множитель
			80	1
			800	10
			160	2
			320	4
			1120	14

Знак обозначает промежуточные результаты, которые складываются для получения окончательного ответа.

Приведенную выше таблицу также можно использовать для деления 1120 на 80. Мы могли бы решить эту проблему, найдя частное (80) как сумму тех множителей 80, которые в сумме дают 1120. В этом примере это даст частное 10 + 4 = 14. ^[6] Более сложный пример алгоритма деления дается в задаче 66. В общей сложности 3200 ro жира должны быть распределены равномерно в течение 365 дней.

Делим 3200 на 365

1	365
2	730
4	1460
8	2920
2/3	243 1 / 3
1/10	36 1 / 2
1/2190	1/6

Сначала писец будет многократно удваивать 365, пока не будет достигнуто максимально возможное кратное 365, которое меньше 3200. В этом случае 8 умноженное на 365 равно 2920, а дальнейшее добавление кратных 365 явно даст значение больше 3200. Далее отметил, что умножение на 365 дает нам необходимое нам значение 280. Следовательно, мы находим, что 3200, разделенные на 365, должны быть равны . ^[6]${\ displaystyle (2/3 + 1/10 + 1/2190)}$${\ displaystyle 8 + 2/3 + 1/10 + 1/2190}$

Алгебра [ править ]

Проблемы египетской алгебры появляются как в математическом папирусе Райнда, так и в Московском математическом папирусе, а также в нескольких других источниках. ^[6]

Aha в иероглифах

Проблемы Aha включают поиск неизвестных величин (называемых Aha), если указаны сумма количества и части (ей). Папирус Ахмес также содержит четыре из этих типов проблем. Проблемы 1, 19 и 25 Московского папируса - это проблемы Ага. Для задачи экземпляра 19 запрашивает одну , чтобы вычислить количество взятых через 1 и ¹ / ₂ раза и добавл ют к 4 , чтобы сделать 10. ^[6] Другими словами, в современных математических обозначениях мы попросили решить линейное уравнение :

${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} \ times x + 4 = 10. \}$

Для решения этих проблем Ага используется техника, называемая методом ложного положения . Этот прием также называют методом ложного предположения. Писец подставлял в задачу первоначальное предположение ответа. Решение, использующее ложное предположение, будет пропорционально фактическому ответу, и писец найдет ответ, используя это соотношение. ^[6]

Математические сочинения показывают, что писцы использовали (наименьшее) общее кратное, чтобы превратить задачи с дробями в задачи с использованием целых чисел. В связи с этим рядом с дробями написаны красные вспомогательные числа. ^[6]

Использование фракций глаза Гора показывает некоторые (элементарные) знания геометрической прогрессии. Знание арифметических прогрессий также очевидно из математических источников. ^[6]

Квадратные уравнения [ править ]

Древние египтяне были первой цивилизацией, которая разработала и решила квадратные уравнения второй степени . Эта информация содержится во фрагменте Берлинского папируса . Кроме того, египтяне решают алгебраические уравнения первой степени, найденные в Математическом папирусе Райнда . ^[7]

Геометрия [ править ]

Существует лишь ограниченное количество задач из Древнего Египта, касающихся геометрии. Геометрические проблемы появляются как в Московском математическом папирусе (MMP), так и в Математическом папирусе Райнда (RMP). Примеры показывают, что древние египтяне умели вычислять площади нескольких геометрических форм, а также объемы цилиндров и пирамид.

• Площадь:
  • Треугольники: писцы записывают задачи вычисления площади треугольника (RMP и MMP). ^[6]
  • Прямоугольники: Проблемы, касающиеся площади прямоугольного участка земли, появляются в RMP и MMP. ^[6] Похожая проблема появляетсяв лондонском Математическом папирусе Лахуна . ^{[8] [9]}
  • Круги: Задача 48 RMP сравнивает площадь круга (аппроксимированного восьмиугольником) и его описывающего квадрата. Результат этой задачи используется в задаче 50, где писец находит площадь круглого поля диаметром 9 хет. ^[6]
  • Полушарие: Задача 10 в MMP находит область полушария. ^[6]
• Объемы:
  • Цилиндрические зернохранилища : несколько задач вычисляют объем цилиндрических зернохранилищ (RMP 41–43), тогда как задача 60 RMP, кажется, касается колонны или конуса вместо пирамиды. Он довольно небольшой и крутой, с секедом (обратным уклоном) в четыре пальмы (на локоть). ^[6] В разделе IV.3 Математического папируса Лахуна объем зернохранилища с круглым основанием определяется с использованием той же процедуры, что и RMP 43.
  • Прямоугольные зернохранилища: несколько задач в Московском математическом папирусе (задача 14) и в Математическом папирусе Райнда (числа 44, 45, 46) вычисляют объем прямоугольного зернохранилища. ^{[6] [8]}
  • Усеченная пирамида ( усеченная пирамида ): объем усеченной пирамиды вычисляется в MMP 14. ^[6]

Seqed [ править ]

Задача 56 RMP указывает на понимание идеи геометрического подобия. В этой задаче обсуждается соотношение пробег / подъем, также известное как seqed. Такая формула понадобится для построения пирамид. В следующей задаче (Задача 57) высота пирамиды вычисляется исходя из длины основания и секед (египетское обозначение обратной величины наклона), в то время как задача 58 дает длину основания и высоту и использует эти измерения для вычислить seqed. В задаче 59 часть 1 вычисляет последовательность, в то время как вторая часть может быть вычислением для проверки ответа: если вы построите пирамиду со стороной основания 12 [локтей] и с последовательностью из 5 ладоней и 1 пальца; на какой высоте? ^[6]

См. Также [ править ]

• Красный вспомогательный номер
• История математики
  • История геометрии
• Египетские иероглифы и транслитерация древнеегипетского
• Древнеегипетские единицы измерения и технологии
• Математика и архитектура

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Египетская арифметика
• Введение в раннюю математику