Доля единицы

Доля единица является рациональным числом записывается в виде дроби , где числитель является одним и знаменателем является положительным целым числом . Таким образом, единичная дробь является обратной величиной положительного целого числа 1 / n . Примеры: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 и т. Д.

Элементарная арифметика [ править ]

Умножение любых двух единичных дробей дает результат, который является другой единичной дробью:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ times {\ frac {1} {y}} = {\ frac {1} {xy}}.}$

Однако сложение , вычитание или деление двух единичных дробей дает результат, который обычно не является единичной дробью:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y}} = {\ frac {x + y} {xy}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {y}} = {\ frac {yx} {xy}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ div {\ frac {1} {y}} = {\ frac {y} {x}}.}$

Модульная арифметика [ править ]

Дроби единиц играют важную роль в модульной арифметике , поскольку они могут использоваться для сведения модульного деления к вычислению наибольших общих делителей. В частности, предположим, что мы хотим выполнить деление на значение x по модулю y . Чтобы деление на x было правильно определено по модулю y , x и y должны быть взаимно простыми . Затем, используя расширенный алгоритм Евклида для наибольших общих делителей, мы можем найти такие a и b , что

${\ displaystyle \ displaystyle ax + by = 1,}$

откуда следует, что

${\ Displaystyle \ Displaystyle топор \ эквив 1 {\ pmod {y}},}$

или эквивалентно

${\ displaystyle a \ Equiv {\ frac {1} {x}} {\ pmod {y}}.}$

Таким образом, чтобы разделить на x (по модулю y ), нам нужно просто вместо этого умножить на a .

Конечные суммы единичных дробей [ править ]

Любое положительное рациональное число можно записать в виде суммы долей единицы несколькими способами. Например,

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

Древние египетские цивилизации использовали суммы отдельных дробей в своих обозначениях для более общих рациональных чисел , поэтому такие суммы часто называют египетскими дробями . Сегодня все еще существует интерес к анализу методов, используемых древними для выбора среди возможных представлений дробного числа, и для вычислений с такими представлениями. ^[1] Тема египетских дробей также вызвала интерес в современной теории чисел ; например, гипотеза Erdős-Грэхемы и Erdős-Straus гипотеза относится суммы единичных дробей, как это делают определение гармонических чисел Ора .

В геометрической теории групп , треугольные группы подразделяются на евклидовой, сферический и гиперболические случаи в зависимости от того является ассоциированной сумма единичных дробей равна единице, больше единицы, или меньше , чем один соответственно.

Серия единиц измерения [ править ]

Многие известные бесконечные ряды содержат члены, являющиеся дробями единиц. К ним относятся:

• Гармонический ряд , сумма всех положительных единичных дробей. Эта сумма расходится, и ее частичные суммы

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

близко аппроксимируют ln  n  +  γ при увеличении n .

• Проблема Базеля касается суммы квадратов единичных фракций, которая сходится к л ² /6
• Константа Апери - это сумма дробных частей единицы в кубе.
• Бинарный геометрический ряд , который складывается до 2, и обратная константа Фибоначчи являются дополнительными примерами ряда, состоящего из единичных дробей.

Матрицы единичных дробей [ править ]

Матрица Гильберта является матрица с элементами

${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}$

Он обладает необычным свойством: все элементы в его обратной матрице являются целыми числами. ^[2] Аналогичным образом Ричардсон (2001) определил матрицу с элементами

${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}$

где F _i обозначает i- е число Фибоначчи . Он называет эту матрицу матрицей Филберта, и она обладает тем же свойством иметь целое обратное. ^[3]

Смежные дроби [ править ]

Две дроби называются смежными, если их разность составляет единицу дроби. ^{[4] [5]}

Доли единиц в вероятности и статистике [ править ]

В равномерном распределении на дискретном пространстве все вероятности равны единичным дробям. В силу принципа безразличия вероятности этой формы часто возникают в статистических расчетах. ^[6] Кроме того, закон Ципфа гласит, что для многих наблюдаемых явлений, включающих выбор элементов из упорядоченной последовательности, вероятность того, что будет выбран n- й элемент, пропорциональна доле единицы 1 / n . ^[7]

Дроби единиц в физике [ править ]

Уровни энергии фотонов, которые могут быть поглощены или испущены атомом водорода, согласно формуле Ридберга , пропорциональны разнице двух единичных долей. Объяснение этому явлению дает модель Бора , согласно которой уровни энергии электронных орбиталей в атоме водорода обратно пропорциональны квадратным единичным долям, а энергия фотона квантуется разностью между двумя уровнями. ^[8]

Артур Эддингтон утверждал, что постоянная тонкой структуры - это единица измерения, сначала 1/136, а затем 1/137. Это утверждение было опровергнуто, поскольку текущие оценки постоянной тонкой структуры составляют (до 6 значащих цифр) 1 / 137,036. ^[9]

См. Также [ править ]

• Субмножественный

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Единичная дробь» . MathWorld .