В математике число гармонического делителя или число Оре (названное в честь Эйстейна Оре, который определил его в 1948 году) - это положительное целое число, делители которого имеют гармоническое среднее значение, которое является целым числом . Первые несколько чисел гармонического делителя:
Примеры
Например, гармонический делитель номер 6 имеет четыре делителя 1, 2, 3 и 6. Их среднее гармоническое значение является целым числом:
Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их среднее гармоническое значение:
5 - целое число, делающее 140 числом делителя гармоники.
Факторизация гармонического среднего
Гармоническое среднее H ( n ) делителей любого числа n можно выразить формулой
где σ i ( n ) - сумма i- й степени делителей числа n : σ 0 - количество делителей, а σ 1 - сумма делителей ( Коэн 1997 ). Все члены в этой формуле мультипликативны , но не полностью мультипликативны . Следовательно, гармоническое среднее H ( n ) также мультипликативно. Это означает , что для любого натурального числа п , гармоническое среднее Н ( п ) можно выразить как произведение гармонических средств для степеней простых чисел в разложении по п .
Например, у нас есть
а также
Числа-делитель гармоник и совершенные числа
Для любого целого числа M , как заметил Оре, произведение гармонического среднего и среднего арифметического его делителей равно самому M , как видно из определений. Следовательно, M является гармоническим, с гармоническим средним делителей k , тогда и только тогда, когда среднее значение его делителей является произведением M с единичной дробью 1 / k .
Оре показал, что каждое совершенное число гармонично. Чтобы убедиться в этом, заметьте, что сумма делителей совершенного числа M в точности равна 2M ; Таким образом, среднее значение делителей М (2 / τ ( M )), где τ ( М ) обозначает количество делителей из М . Для любого M , τ ( M ) нечетно тогда и только тогда, когда M - квадратное число , иначе каждый делитель d числа M может быть спарен с другим делителем M / d . Но никакое совершенное число не может быть квадратом: это следует из известной формы четных совершенных чисел и из того факта, что нечетные совершенные числа (если они существуют) должны иметь множитель вида q α, где α ≡ 1 (mod 4) . Следовательно, для совершенного числа M τ ( M ) четно, а среднее значение делителей является произведением M на единичную дробь 2 / τ ( M ); таким образом, M - число гармонического делителя.
Оре предположил, что не существует нечетных гармонических чисел-делителей, кроме 1. Если гипотеза верна, это означало бы отсутствие нечетных совершенных чисел .
Границы и компьютерные поиски
WH Mills (неопубликовано; см. Маскат) показал, что любое число делителей нечетных гармоник, превышающее 1, должно иметь коэффициент мощности более 10 7 , а Коэн показал, что любое такое число должно иметь не менее трех различных простых множителей. Коэн и Сорли (2010) показали, что не существует нечетных гармонических чисел делителей меньше 10 24 .
Коэн, Гото и другие, начиная с самого Оре, провели компьютерный поиск, перечислив все малые числа делителей гармоник. Из этих результатов известны списки всех чисел гармонических делителей до 2 × 10 9 и всех чисел гармонических делителей, для которых среднее гармоническое значение делителей не превышает 300.
Рекомендации
- Богомольный Александр . «Тождество средних делителей данного целого числа» . Проверено 10 сентября 2006 .
- Коэн, Грэм Л. (1997). «Числа, положительные делители которых имеют малое интегральное среднее гармоническое значение» (PDF) . Математика вычислений . 66 (218): 883–891. DOI : 10.1090 / S0025-5718-97-00819-3 .
- Cohen, Graeme L .; Сорли, Рональд М. (2010). «Нечетные номера гармоник превышают 10 24 » . Математика вычислений . 79 (272): 2451. DOI : 10,1090 / S0025-5718-10-02337-9 . ISSN 0025-5718 .
- Гото, Такеши. «Гармонические числа (Руды)» . Проверено 10 сентября 2006 .
- Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag . БИ 2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 .
- Маскат, Джозеф Б. (1966). «О делителях нечетных совершенных чисел» . Математика вычислений . 20 (93): 141–144. DOI : 10.2307 / 2004277 . JSTOR 2004277 .
- Оре, Эйстейн (1948). «О средних делителей числа». Американский математический ежемесячник . 55 (10): 615–619. DOI : 10.2307 / 2305616 . JSTOR 2305616 .
- Вайсштейн, Эрик В. "Число делителей гармоник" . MathWorld .