Это хорошая статья. Для получения дополнительной информации нажмите здесь.
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Природные узоры образуются, когда ветер развевает песок в дюнах пустыни Намиб . В форме полумесяца дюны и рябь на их поверхностях повторять везде , где есть подходящие условия.
Узоры скрытого хамелеона , Chamaeleo calyptratus , обеспечивают камуфляж и сигнализируют о настроении, а также об условиях размножения .

Узоры в природе - это видимые закономерности формы, встречающиеся в мире природы. Эти шаблоны повторяются в разных контекстах и ​​иногда могут быть смоделированы математически . Естественные узоры включают симметрии , деревья , спирали , меандры , волны , пену , мозаику , трещины и полосы. [1] Ранние греческие философы изучали образец у Платона , Пифагора и Эмпедокла.пытаясь объяснить порядок в природе. Современное понимание видимых узоров со временем развивалось.

В XIX веке бельгийский физик Джозеф Плато исследовал мыльные пленки , что привело его к формулировке концепции минимальной поверхности . Немецкий биолог и художник Эрнст Геккель нарисовал сотни морских организмов, чтобы подчеркнуть их симметрию . Шотландский биолог Д'Арси Томпсон был пионером в изучении моделей роста как у растений, так и у животных, показывая, что простые уравнения могут объяснить спиральный рост. В 20 веке британский математик Алан Тьюринг предсказал механизмы морфогенеза, которые приводят к появлению узоров из пятен и полос. Венгерский биологАристид Линденмайер и французско-американский математик Бенуа Мандельброт показали, как математика фракталов может создавать модели роста растений.

Математика , физика и химия могут объяснить закономерности в природе на разных уровнях. Закономерности в живых существах объясняются биологическими процессами естественного отбора и полового отбора . Исследования формирования паттернов используют компьютерные модели для моделирования широкого спектра паттернов.

История [ править ]

Шаблоны чисел Фибоначчи широко встречаются в структурах растений, в том числе в конусе королевы саго Cycas circinalis.

Ранние греческие философы пытались объяснить порядок в природе , предвосхищая современные концепции. Пифагор (ок. 570 – ок. 495 до н. Э.) Объяснил закономерности в природе, такие как гармонии музыки, как происходящие из числа, которое он считал основной составляющей существования. [a] Эмпедокл (ок. 494 - ок. 434 г. до н. э.) в некоторой степени предвосхитил эволюционное объяснение Дарвином структуры организмов. [b] Платон (ок. 427 - ок. 347 до н. э.) доказывал существование естественных универсалий . Он считал, что они состоят из идеальных форм ( εἶδος eidos: "form") физические объекты которых всегда являются несовершенными копиями. Таким образом, цветок может быть примерно круглым, но никогда не бывает идеальным. [2] Теофраст (ок. 372 - ок. 287 г. до н.э.) заметил, что растения «с плоскими листьями имеют их в правильной последовательности»; Плиний Старший (23–79 гг. Н. Э.) Отметил их узорчатое круговое расположение. [3] Спустя столетия Леонардо да Винчи (1452–1519) отметил спиральное расположение узоров листьев, что стволы деревьев с возрастом обретают последовательные кольца, и предложил правило , которому якобы удовлетворяет площадь поперечного сечения ветвей деревьев. [4] [3]

В 1202 году Леонардо Фибоначчи представил западному миру последовательность Фибоначчи в своей книге Liber Abaci . [5] Фибоначчи представил мысленный эксперимент по увеличению идеализированной популяции кроликов . [6] Иоганн Кеплер (1571–1630) указал на присутствие последовательности Фибоначчи в природе, используя ее для объяснения пятиугольной формы некоторых цветов. [3] В 1658 году английский врач и философ сэр Томас Браун обсуждал, «как природа геометризирует» в «Саду Кира» , ссылаясь на пифагорейскую нумерологию.с числом 5 и платонической формой модели quincunx . Центральная глава дискурса содержит примеры и наблюдения квинконса в ботанике. [7] В 1754 году Чарльз Бонне заметил, что спиральный филлотаксис растений часто выражался в сериях золотого сечения как по часовой, так и против часовой стрелки . [3] Математические наблюдения за филлотаксисом последовали за работами Карла Фридриха Шимпера и его друга Александра Брауна в 1830 и 1830 годах соответственно; Огюст Бравеи его брат Луи соединил отношения филлотаксиса с последовательностью Фибоначчи в 1837 году, также отметив его появление в сосновых шишках и ананасах . [3] В своей книге 1854 года немецкий психолог Адольф Цайзинг исследовал золотое сечение, выражающееся в расположении частей растений, скелетов животных и узоров ветвления их вен и нервов, а также в кристаллах . [8] [9] [10]

Пекинский национальный центр водных видов спорта для Олимпийских игр 2008 года имеет структуру Вира-Фелана .

В XIX веке бельгийский физик Джозеф Плато (1801–1883) сформулировал математическую задачу о существовании минимальной поверхности с заданной границей, которая теперь носит его имя. Он интенсивно изучал мыльные пленки, формулируя законы Плато, которые описывают структуры, образованные пленками в пенах. [11] Лорд Кельвин определил проблему наиболее эффективного способа упаковки ячеек равного объема в пену в 1887 году; в его решении используется только одно твердое тело, кубические соты , усеченные битумом, с очень слегка изогнутыми гранями, чтобы соответствовать законам Плато. Лучшего решения не было до 1993 года, когда Денис Вир и Роберт Фелан предложили структуру Вира – Фелана.; Пекин Национальный центр водных видов спорта адаптировать структуру своей внешней стены в летних Олимпийских играх 2008 года . [12] Эрнст Геккель (1834-1919) нарисовал прекрасные иллюстрации морских организмов, в частности , радиолярии , подчеркивая их симметрию , чтобы поддержать его faux- дарвинистские теории эволюции. [13] Американский фотограф Уилсон Бентли сделал первую микрофотографию снежинки в 1885 году. [14]

Д'Арси Томпсон первым начал изучение роста и формы в своей книге 1917 года.

В 20-м веке А. Х. Черч изучал закономерности филлотаксиса в своей книге 1904 года. [15] В 1917 году Д'Арси Вентворт Томпсон опубликовал книгу « О росте и форме» ; его описание филлотаксиса и последовательности Фибоначчи, математических соотношений в спиральных моделях роста растений показало, что простые уравнения могут описывать спиральные паттерны роста рогов животных и раковин моллюсков . [16] В 1952 году Алан Тьюринг (1912–1954), более известный своими работами по вычислениям и взлому кода , написал «Химические основы морфогенеза»., анализ механизмов, которые потребуются для создания паттернов в живых организмах, в процессе, называемом морфогенезом . [17] Он предсказал колебательные химические реакции , в частности реакцию Белоусова-Жаботинского . Эти механизмы активатор-ингибитор могут, как предположил Тьюринг, генерировать паттерны (получившие название « паттерны Тьюринга ») полос и пятен у животных и вносить вклад в спиральные паттерны, наблюдаемые при филлотаксисе растений. [18] В 1968 году венгерский биолог-теоретик Аристид Линденмайер (1925–1989) разработал L-систему , формальную грамматику, которая может использоваться для моделированияпаттерны роста растений в стиле фракталов . [19] L-системы имеют алфавит символов, которые можно комбинировать с помощью правил производства для построения более крупных цепочек символов, а также механизм преобразования сгенерированных строк в геометрические структуры. В 1975 году, после столетий медленного развития математики шаблонов Готфридом Лейбницем , Георгом Кантором , Хельге фон Кохом , Вацлавом Серпиньским и другими, Бенуа Мандельброт написал знаменитую статью « Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность, кристаллизующий математическую мысль в концепцию фрактала . [20]

Причины [ править ]

Композиционные модели: тля и новорожденный молодые в arraylike кластеров на явор листьев, разделенные на полигоны по венам , которые избегали молодых тлей

Живые существа, такие как орхидеи , колибри и хвост павлина, имеют абстрактный дизайн с красотой формы, рисунка и цвета, которые художники с трудом подбирают. [21] Красота, которую люди воспринимают в природе, имеет причины на разных уровнях, особенно в математике, которая определяет, какие модели могут формироваться физически, и среди живых существ - в результате естественного отбора, который определяет эволюцию моделей. [22]

Математика стремится открывать и объяснять абстрактные закономерности или закономерности всех видов. [23] [24] Визуальные закономерности в природе находят объяснение в теории хаоса , фракталах, логарифмических спиралях, топологии и других математических схемах. Например, L-системы образуют убедительные модели различных моделей роста деревьев. [19]

Законы физики применяют абстракции математики к реальному миру, часто как если бы он был совершенен . Например, кристалл идеален, когда он не имеет структурных дефектов, таких как дислокации, и полностью симметричен. Точное математическое совершенство может только приблизиться к реальным объектам. [25] Видимые закономерности в природе подчиняются физическим законам ; например, меандры можно объяснить с помощью гидродинамики .

В биологии , естественный отбор может вызвать развитие паттернов в живых по нескольким причинам, в том числе маскировки , [26] половой отбор , [26] и различные виды сигнализации, в том числе мимикрии [27] и очистки симбиоза . [28] У растений формы, цвета и узоры опыляемых насекомыми цветов, таких как лилия , эволюционировали, чтобы привлечь насекомых, таких как пчелы . Радиальные узоры из цветов и полос, некоторые из которых видны только в ультрафиолетовом свете, служат проводниками нектара.что видно на расстоянии. [29]

Типы выкройки [ править ]

Симметрия [ править ]

Дополнительная информация: Симметрия в биологии , Цветочная симметрия и Кристаллическая симметрия.

Симметрия широко распространена в живых существах. Животные в основном имеют двустороннюю или зеркальную симметрию , как и листья растений и некоторые цветы, такие как орхидеи . [30] Растения часто обладают радиальной или вращательной симметрией , как и многие цветы и некоторые группы животных, такие как морские анемоны . Пятикратная симметрия обнаруживается у иглокожих - группы, в которую входят морские звезды , морские ежи и морские лилии . [31]

Среди неживых существ снежинки обладают поразительной шестикратной симметрией ; Структура каждой чешуйки представляет собой запись различных условий во время ее кристаллизации, с почти одинаковым рисунком роста на каждом из шести ее плеч. [32] Кристаллы в целом имеют различные симметрии и формы кристаллов ; они могут быть кубическими или октаэдрическими, но настоящие кристаллы не могут иметь пятикратную симметрию (в отличие от квазикристаллов ). [33] вращательная симметрия встречаются в разных масштабах среди неживых вещей, в том числе коронного-образный всплеск узора , образованном , когда капля падает в пруд, [34] и как шаровидныйформа и кольца планеты, подобной Сатурну . [35]

Симметрия имеет множество причин. Радиальная симметрия подходит таким организмам, как морские анемоны, взрослые особи которых не двигаются: пища и угрозы могут прибывать с любого направления. Но животные, которые движутся в одном направлении, обязательно имеют верхнюю и нижнюю стороны, концы головы и хвоста, а значит, левую и правую. Голова становится специализированной с ртом и органами чувств ( цефализация ), а тело становится симметричным с двух сторон (хотя внутренние органы могут не быть такими). [36] Более загадочной является причина пятичастной (пятиугольной) симметрии иглокожих. Ранние иглокожие были билатерально симметричны, как и их личинки. Самралл и Рэй утверждают, что потеря старой симметрии имела как связанные с развитием, так и экологические причины. [37]

  • Животные часто демонстрируют зеркальную или двустороннюю симметрию , как этот тигр .

  • Иглокожие, подобные этой морской звезде, обладают пятикратной симметрией .

  • Пятикратную симметрию можно увидеть во многих цветках и некоторых фруктах, таких как мушмула .

  • Снежинки обладают шестикратной симметрией .

  • Флюорит с кубической формой кристалла .

  • Плеск воды приближается к радиальной симметрии .

  • Гранат с ромбическим додекаэдрическим кристаллом.

  • Вольвокса имеет сферическую симметрию.

  • Актинии обладают вращательной симметрией .

Деревья, фракталы [ править ]

Ветвления деревьев была описана в итальянской Возрождения от Леонардо да Винчи . Он заявил, что:

Все ветви дерева на каждом этапе его роста, когда собраны вместе, равны по толщине стволу [под ними]. [38]

Более общая версия гласит, что когда родительская ветвь разделяется на две или более дочерних ветвей, площадь поверхности дочерних ветвей складывается с площадями родительской ветки. [39] Эквивалентная формулировка: если родительская ветвь разделяется на две дочерние ветви, то диаметры поперечного сечения родительской и двух дочерних ветвей образуют прямоугольный треугольник . Одно из объяснений состоит в том, что это позволяет деревьям лучше противостоять сильным ветрам. [39] Моделирование биомеханических моделей согласуется с правилом. [40]

Фракталы - это бесконечно самоподобные повторяющиеся математические конструкции, имеющие фрактальную размерность . [20] [41] [42] Бесконечная итерация в природе невозможна, поэтому все «фрактальные» паттерны являются приблизительными. Например, листья папоротников и зонтиков (Apiaceae) самоподобны (перистые) только на 2, 3 или 4 уровнях. Паттерны роста , похожие на папоротник , встречаются у растений и животных, включая мшанки , кораллы , гидрозоа, такие как воздушный папоротник , Sertularia argentea , и у неживых существ, особенно электрические разряды.. Фракталы системы Линденмайера могут моделировать различные паттерны роста дерева, изменяя небольшое количество параметров, включая угол ветвления, расстояние между узлами или точками ветвления ( длину междоузлий ) и количество ветвей на точку ветвления. [19]

Fractal подобные узорам широко распространен в природе, в явлениях столь же разнообразно , как облака, речной сеть , геологические линии разлома , гора , береговые линии , [43] животное окраска , хлопья снега , [44] кристаллы , [45] кровеносный сосуд разветвленность, [46 ] актин цитоскелета , [47] и океанских волн . [48]

  • Модели роста некоторых деревьев напоминают эти фракталы системы Линденмайера .

  • Ветвление узор из баобаба дерева

  • Лист петрушки коровьей, Anthriscus sylvestris , 2- или 3- перистый , не бесконечный.

  • Фрактальные спирали: брокколи Романеско, показывающая самоподобную форму

  • Цветочная голова Анжелики , сфера из сфер (самоподобная)

  • Деревья: Фигура Лихтенберга : пробой диэлектрика под высоким напряжением в блоке акрилового полимера

  • Деревья: дендритные кристаллы меди (в микроскоп)

Спирали [ править ]

Дополнительная информация: Филлотаксис

Спирали распространены у растений и некоторых животных, особенно у моллюсков . Например, у наутилуса , головоногого моллюска, каждая камера его раковины является приблизительной копией следующей, масштабированной с постоянным коэффициентом и расположенной по логарифмической спирали . [49] Учитывая современное понимание фракталов, спираль роста можно рассматривать как частный случай самоподобия. [50]

Спирали растений можно увидеть в филлотаксисе , расположении листьев на стебле и в расположении ( парастихии [51] ) других частей, таких как составные цветочные головки и семенные головки, такие как подсолнечник, или структуры плодов, такие как ананас [15] [ 52] : 337 и змеиный плод , а также узор из чешуек в сосновых шишках , где несколько спиралей проходят как по часовой, так и против часовой стрелки. У этих договоренностей есть объяснения на разных уровнях - математике, физике, химии, биологии - каждое индивидуально правильное, но все необходимое вместе.[53] Спирали филлотаксиса могут быть сгенерированы математически из соотношений Фибоначчи : последовательность Фибоначчи проходит 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ... (каждое последующее число является суммой двух предыдущих). Например, когда листья чередуются вверх по стеблю, один оборот спирали касается двух листьев, так что узор или соотношение равно 1/2. У лещины соотношение 1/3; в абрикосе - 2/5; в грушах - 3/8; в миндале - 5/13. [54] При филлотаксисе диска, как у подсолнечника и ромашки , соцветия расположены по спирали Ферма.с нумерацией Фибоначчи, по крайней мере, когда цветочная головка созрела, поэтому все элементы имеют одинаковый размер. Соотношения Фибоначчи приблизительно равны золотому углу 137,508 °, который определяет кривизну спирали Ферма. [55]

С точки зрения физики спирали представляют собой конфигурации с наименьшей энергией [56], которые возникают спонтанно в результате процессов самоорганизации в динамических системах . [57] С точки зрения химии, спираль может быть образована процессом реакции-диффузии, включающим как активацию, так и ингибирование. Филлотаксис контролируется белками, которые управляют концентрацией растительного гормона ауксина , который активирует рост меристемы , наряду с другими механизмами, контролирующими относительный угол почек вокруг стебля. [58]С биологической точки зрения, размещение листьев как можно дальше друг от друга в любом заданном пространстве поддерживается естественным отбором, поскольку он максимизирует доступ к ресурсам, особенно солнечному свету для фотосинтеза . [52]

  • Спираль Фибоначчи

  • Снежный баран , Ovis canadensis

  • Спирали: филлотаксис спирального алоэ, Aloe polyphylla

  • Логарифмическая спираль роста оболочки наутилуса

  • Спираль Ферма : семенная головка подсолнечника , Helianthus annuus

  • Множественные спирали Фибоначчи: красная капуста в разрезе

  • Спиральная раковина Trochoidea liebetruti

  • Капли воды летят с мокрого вращающегося шара по равноугольной спирали.

Хаос, поток, меандры [ править ]

В математике динамическая система является хаотической, если она (очень) чувствительна к начальным условиям (так называемый « эффект бабочки » [59] ), который требует математических свойств топологического перемешивания и плотных периодических орбит . [60]

Наряду с фракталами теория хаоса оказывает универсальное влияние на закономерности в природе. Между хаосом и фракталами существует взаимосвязь: странные аттракторы в хаотических системах имеют фрактальную размерность . [61] Некоторые клеточные автоматы , простые наборы математических правил , которые создают модели, имеет хаотическое поведение, в частности , Стивен Вольфрам «s Правило 30 . [62]

Вихревые улицы являются зигзаги модели вихревых вихрей , созданных нестационарным разделением потока из в жидкости , чаще всего воздуха или воды, через которые перекрывают объекты. [63] Ровный ( ламинарный ) поток начинает разрушаться, когда размер препятствия или скорость потока становятся достаточно большими по сравнению с вязкостью жидкости.

Меандры - это извилистые изгибы рек или других каналов, которые образуются, когда жидкость, чаще всего вода, течет вокруг изгибов. Как только путь становится немного изогнутым, размер и кривизна каждой петли увеличивается, поскольку спиральный поток увлекает материал, такой как песок и гравий, через реку к внутренней части поворота. Внешняя часть контура остается чистой и незащищенной, поэтому эрозия ускоряется, еще больше увеличивая извилистость в мощной петле положительной обратной связи . [64]

  • Хаос: оболочка брюхоногих моллюсков ткань золотого конуса, Конус текстиля напоминает Правило 30 клеточного автомата

  • Поток: вихревая улица облаков на островах Хуана Фернандеса

  • Меандры: драматические меандры рубцы и старицы в широком пойме в Рио - Негро , видны из космоса

  • Меандры: извилистая тропа Рио-Кауто , Куба

  • Меандры: извилистое ползание змеи

  • Меандры: симметричный мозговой коралл , Diploria strigosa

Волны, дюны [ править ]

Волны - это возмущения, которые несут энергию при движении. Механические волны распространяются в среде - воздухе или воде, заставляя ее колебаться при прохождении. [65] Ветровые волны - это волны на поверхности моря, которые создают характерный хаотический узор для любого большого водоема, хотя их статистическое поведение можно предсказать с помощью моделей ветровых волн. [66] Когда волны в воде или ветер проходят по песку, они образуют рябь. Когда ветры дуют над большими песчаными массами, они образуют дюны , иногда на обширных дюнных полях, как в Такла-Макане.пустыня. Дюны могут образовывать ряд узоров, включая полумесяцы, очень длинные прямые линии, звезды, купола, параболы, а также продольные или seif («мечи») формы. [67]

Барханы или серповидные дюны создаются ветром, действующим на песок пустыни; два рога полумесяца и скользящая поверхность направлены по ветру. Песок обрушивается на поверхность с наветренной стороны, которая находится под углом примерно 15 градусов от горизонтали, и падает на поверхность скольжения, где накапливается до угла естественного откоса песка, который составляет около 35 градусов. Когда поверхность скольжения превышает угол естественного откоса, песчаные лавины обрушиваются , что является нелинейным поведением: добавление большого количества небольшого количества песка не вызывает ничего особенного, но затем добавление еще небольшого количества внезапно вызывает лавину большого количества . [68] Помимо этой нелинейности, барханы ведут себя скорее как уединенные волны.. [69]

  • Волны: разбивающаяся волна вслед за кораблем

  • Дюны: песчаные дюны в пустыне Такла-Макан из космоса

  • Дюны: песчаные дюны барханный полумесяц

  • Волна ветра с вывихами в Систане , Афганистан

Пузыри, пена [ править ]

Мыльный пузырь образует сферу , поверхность с минимальной площадью ( минимальной поверхностью ) - наималейшая возможной площадь поверхности для объема прилагаемого. Два пузыря вместе образуют более сложную форму: внешние поверхности обоих пузырей имеют сферическую форму; к этим поверхностям присоединяется третья сферическая поверхность, поскольку меньший пузырек слегка расширяется в больший. [11]

Пена представляет собой массу пузырьков; пены из разных материалов встречаются в природе. Пены, состоящие из мыльных пленок, подчиняются законам Плато , которые требуют, чтобы три мыльных пленки встречались на каждом краю под углом 120 ° и четыре мыльных края пересекались в каждой вершине под тетраэдрическим углом примерно 109,5 °. Законы Плато также требуют, чтобы пленки были гладкими и непрерывными и имели постоянную среднюю кривизну в каждой точке. Например, пленка может оставаться в среднем почти плоской, изгибаясь вверх в одном направлении (скажем, слева направо), в то время как изгибаясь вниз в другом направлении (например, спереди назад). [70] [71] Конструкции с минимальной поверхностью могут использоваться как палатки.

В масштабе живых клеток образцы пены обычны; радиолярии , губки спикула , silicoflagellate экзоскелетов и кальцит скелета морского ежа , Cidaris Рагосы , все похожи на минеральные слепки границ пены плато. [72] [73] Скелет радиолярий , hexagona Aulonia , красивая форма морской нарисованы Эрнста Геккеля , выглядит так , как будто это сфера состоит целиком из шестиугольников, но это математически невозможно. В Характерном Эйлере утверждает , что для любого выпуклого многогранника, количество граней плюс количество вершин (углов) равно количеству ребер плюс два. Результатом этой формулы является то, что любой замкнутый многогранник шестиугольников должен включать ровно 12 пятиугольников, как футбольный мяч , геодезический купол Бакминстера Фуллера или молекула фуллерена . Это можно визуализировать, отметив, что сетка из шестиугольников плоская, как лист проволочной сетки, но каждый добавленный пятиугольник заставляет сетку изгибаться (углов меньше, поэтому сетка втягивается). [74]

  • Пена из мыльных пузырей : четыре ребра встречаются в каждой вершине, под углами , близкими к 109,5 °, как и в двух СН - связей в метан .

  • Радиолярии, нарисованные Геккелем в его Kunstformen der Natur (1904).

  • Spumellaria Геккеля ; скелеты этих Radiolaria имеют пенистую форму.

  • Бакминстерфуллерен C 60 : Ричард Смолли и его коллеги синтезировали молекулу фуллерена в 1985 году.

  • Brochosomes (секреторные микрочастицы , полученные цикадки ) часто приближенная фуллерна геометрия.

  • Равные сферы (пузырьки газа) в поверхностной пене

  • Цирковой шатер имеет минимальную площадь.

Тесселяции [ править ]

Основная статья: Тесселяция

Тесселяция - это узор, образованный повторяющимися плитками на плоской поверхности. Имеется 17 групп облицовки обоев . [75] Хотя повторяющиеся плитки часто встречаются в искусстве и дизайне, их труднее найти в живых существах. Ячейки в бумажных гнездах социальных ос и восковые ячейки в сотах, построенных медоносными пчелами, являются хорошо известными примерами. Среди животных, костистые рыбы, рептилии или ящеры , или фрукты , как Салаки защищены перекрытием весы или остеодерм , эти форм более или менее точно повторяющийся структурных единица, хотя часто весы фактически непрерывно изменяются по размеру. Среди цветов змеиная голова рябчатая,У Fritillaria meleagris есть мозаичный узор из шахматной доски на лепестках. Структуры минералов являются хорошими примерами регулярно повторяющихся трехмерных массивов. Несмотря на сотни тысяч известных минералов, существует довольно мало возможных типов расположения атомов в кристалле , определяемых кристаллической структурой , кристаллической системой и точечной группой ; например, есть ровно 14 решеток Браве для семи решетчатых систем в трехмерном пространстве. [76]

  • Кристаллы: кубические кристаллы галита (каменная соль); кубическая кристаллическая система , изометрическая гексоктаэдрическая симметрия кристалла

  • Массивы: соты - это естественная мозаика

  • Кристалл висмута в бункере, иллюстрирующий габитус кристалла ступеньки .

  • Плитки: мозаичный цветок змеиной головы рябчика, Fritillaria meleagris

  • Плитки: перекрывающиеся чешуйки обыкновенной плотвы Rutilus rutilus

  • Плитки: перекрывающиеся чешуйки змеиного плода или салака , Salacca zalacca

  • Мозаичный тротуар : редкое скальное образование на Тасманском полуострове

Трещины [ править ]

Трещины - это линейные отверстия, которые образуются в материалах для снятия напряжения . Когда эластичный материал растягивается или сжимается равномерно, он в конечном итоге достигает своей прочности на разрыв, а затем внезапно выходит из строя во всех направлениях, создавая трещины с соединением под углом 120 градусов, поэтому три трещины встречаются в узле. И наоборот, когда неэластичный материал выходит из строя, образуются прямые трещины для снятия напряжения. Дальнейшее напряжение в том же направлении просто открыло бы существующие трещины; напряжение под прямым углом может привести к появлению новых трещин, под углом 90 градусов к старым. Таким образом, рисунок трещин показывает, эластичен материал или нет. [77]В жестком волокнистом материале, таком как кора дуба, образуются трещины для снятия напряжения, как обычно, но они не растут долго, поскольку их рост прерывается пучками прочных эластичных волокон. Поскольку каждый вид дерева имеет свою собственную структуру на уровне клеток и молекул, у каждого есть свой собственный образец расщепления коры. [78]

  • Поверхность старой керамики, белая глазурь с трещинами в основном под углом 90 °

  • Высыхание неупругой грязи в Ранн-оф-Кач с трещинами в основном под углом 90 °

  • Жильное габбро с трещинами под углом 90 °, недалеко от Сгурр-на-Стри , Скай

  • Сушка эластичной грязи на Сицилии, в основном с трещинами 120 °

  • Охлажденный базальт на Дороге гигантов . Вертикальные трещины в основном под углом 120 °, образующие шестиугольные колонны

  • Ствол пальмы с ветвящимися вертикальными трещинами (и горизонтальными рубцами на листьях)

Пятна, полосы [ править ]

Замечены леопарды и божьи коровки; скалярии и зебры полосатые. [79] У этих паттернов есть эволюционное объяснение: у них есть функции, которые увеличивают шансы на то, что потомство паттернового животного выживет и будет воспроизводиться. Одна из функций рисунков животных - камуфляж ; [26] например, леопард , которого труднее увидеть, ловит больше добычи. Другая функция - это сигнализация [27] - например, божья коровка с меньшей вероятностью подвергнется нападению хищных птиц, которые охотятся с виду, если она имеет яркие предупреждающие цвета, а также имеет неприятную горечь или ядовитость , илиимитирует других неприятных насекомых. Молодая птица может увидеть насекомое с предупреждающим рисунком вроде божьей коровки и попытаться съесть его, но сделает это только один раз; очень скоро оно выплюнет горькое насекомое; остальные божьи коровки останутся нетронутыми. Молодые леопарды и божьи коровки, унаследовавшие гены, которые так или иначе создают пятнистость, выживают. Но хотя эти эволюционные и функциональные аргументы объясняют, почему этим животным нужны их паттерны, они не объясняют, как эти паттерны формируются. [79]

  • Дирс красавица бабочка, колобура дирс

  • Зебра Греви , Equus grevyi

  • Королевская рыба-ангел , Pygoplites diacanthus

  • Леопард , Panthera pardus pardus

  • Массив божьих коровок - Г.Г. Якобсон

  • Разведение образец каракатицы , Сепия лекарственный

Формирование паттернов [ править ]

Основная статья: Формирование паттерна

Алан Тьюринг, [17] , а затем математический биолог Джеймс Мюррей , [80] описан механизм , который спонтанно создают пятнистый или полосатые модели: в системе реакции-диффузии . [81] В клетках молодого организма есть гены, которые могут быть включены с помощью химического сигнала, морфогена , что приводит к росту определенного типа структуры, например, темного пигментированного участка кожи. Если морфоген присутствует повсюду, получается ровная пигментация, как у черного леопарда. Но если он распределен неравномерно, могут образоваться пятна или полосы. Тьюринг предположил, что может быть обратная связьконтроль продукции самого морфогена. Это может вызвать постоянные колебания количества морфогена, распространяющегося по телу. Второй механизм необходим для создания паттернов стоячих волн (приводящих к пятнам или полосам): химическое вещество-ингибитор, которое отключает выработку морфогена и само диффундирует по телу быстрее, чем морфоген, что приводит к схеме активатор-ингибитор. . Реакция Белоусова – Жаботинского - небиологический пример такого рода схемы, химического осциллятора . [81]

Более поздние исследования позволили создать убедительные модели узоров, столь же разнообразных, как полосы зебры, пятна жирафа, пятна ягуара (средне-темные пятна, окруженные темными разорванными кольцами) и узоры на панцирях божьих коровок (различные геометрические схемы пятен и полос, см. Иллюстрации). [82] Модели ингибирования активации Ричарда Прума , разработанные на основе работы Тьюринга, используют шесть переменных для объяснения наблюдаемого диапазона девяти основных паттернов пигментации внутри пера, от простейшего центрального пигментного пятна до концентрических пятен, полосок и т.д. шевроны, глазное пятно, пара центральных пятен, ряды парных пятен и ряд точек. [83] [84] : 6 Более сложные модели имитируют сложные узоры перьев цесарки Numida meleagris.в котором отдельные перья имеют переходы от полос у основания к массиву точек на дальнем (дистальном) конце. Для этого требуется колебание, создаваемое двумя запрещающими сигналами, взаимодействующими как в пространстве, так и во времени. [84] : 7–8

Шаблоны могут образовывать по другим причинам в растительном ландшафте от тигра куста [85] и еловых волн . [86] Полосы тигрового куста встречаются на засушливых склонах, где рост растений ограничен дождями. Каждая примерно горизонтальная полоса растительности эффективно собирает дождевую воду из голой зоны непосредственно над ней. [85] Пихтовые волны возникают в лесах на горных склонах после ветрового волнения, во время регенерации. Когда деревья падают, деревья, которые они укрывали, становятся незащищенными и, в свою очередь, с большей вероятностью будут повреждены, поэтому промежутки имеют тенденцию расширяться по ветру. Между тем с наветренной стороны растут молодые деревья, защищенные ветровой тенью оставшихся высоких деревьев. [86]Природные узоры иногда образуются животные, как и в курганах Mima Северо - Западного Соединенных Штатов и некоторых других областях, которые , как представляется быть созданы в течение многих лет по роющих деятельности карманных сусликов , [87] в то время как так называемые волшебные круги из Намибия, кажется, была создана взаимодействием конкурирующих групп песчаных термитов, наряду с конкуренцией за воду среди пустынных растений. [88]

В вечномерзлых почвах с активным верхним слоем, подверженным ежегодному промерзанию и оттаиванию, может образовываться узорчатый грунт , образуя круги, сети, ледяные клинья , ступени и полосы. Термическое сжатие вызывает образование усадочных трещин; во время оттепели вода заполняет трещины, расширяясь, образуя лед при следующем замерзании, и превращая трещины в клинья. Эти трещины могут соединяться, образуя многоугольники и другие формы. [89]

Трещиноватый узор , который развивается на позвоночных мозга вызван физическим процессом ограниченного расширения в зависимости от двух геометрических параметров: относительного тангенциального коркового расширения и относительной толщина коры . Подобные модели извилин (пиков) и борозд (впадин) были продемонстрированы на моделях мозга, начиная с гладких слоистых гелей, с рисунками, вызванными сжимающими механическими силами, возникающими в результате расширения внешнего слоя (представляющего кору) после добавление растворителя. Численные модели в компьютерном моделировании подтверждают естественные и экспериментальные наблюдения, что структура складок поверхности увеличивается в больших размерах мозга. [90] [91]

  • Гигантская рыба фугу , Tetraodon mbu

  • Деталь рисунка кожи гигантского фугу

  • Снимок моделирования реакции Белоусова – Жаботинского.

  • Цесарка в шлеме, Numida meleagris , перья переходят от решетчатых к пятнистым, как в перьях, так и поперек птицы

  • Вид с воздуха на плато тигровый куст в Нигере

  • Еловые волны в Белых горах , Нью-Гэмпшир

  • Узорчатая земля : тающий пинго с окружающими полигонами клина льда возле Туктояктука , Канада

  • Круги фей в районе Мариенфлуссталь в Намибии

  • Человеческий мозг (вид сверху) с узорами извилин и борозд

См. Также [ править ]

  • Возникновение
  • Эволюционная история растений
  • Математика и искусство
  • Видманштеттен узор

Ссылки [ править ]

Сноски

  1. ^ Так называемые пифагорейцы , которые первыми занялись математикой, не только продвинули этот предмет, но и прониклись им, они воображали, что принципы математики являются принципами всех вещей. Аристотель , Метафизика 1–5 , c. 350 г. до н.э.
  2. ^ Аристотель сообщает об Эмпедокле, утверждающем, что «[w] тогда все обернулось так, как если бы это происходило с определенной целью, там существа выжили, будучи случайно смешанными подходящим образом; но там, где этого не произошло, существа погибли ". The Physics , B8, 198b29 в Kirk, et al., 304).

Цитаты

  1. ^ Стивенс 1974 , стр. 3.
  2. ↑ Балагер, Марк (7 апреля 2009 г.) [2004]. «Платонизм в метафизике» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 4 мая 2012 года .
  3. ^ a b c d e Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (первая торговая книга в мягкой обложке). Нью-Йорк: Бродвейские книги . п. 110. ISBN 978-0-7679-0816-0.
  4. ^ Да Винчи, Леонардо (1971). Тейлор, Памела (ред.). Записные книжки Леонардо да Винчи . Новая американская библиотека. п. 121.
  5. ^ Сингх, Пармананд. Ачарья Хемачандра и (так называемые) числа Фибоначчи . Математика. Эд. Siwan, 20 (1): 28–30, 1986. ISSN 0047-6269 
  6. ^ Knott, Рон. «Кролики Фибоначчи» . Факультет инженерии и физических наук Университета Суррея .
  7. ^ Браун, Томас (1658). Как природа геометризирует . Сад Кира .
  8. ^ Падован, Ричард (1999). Пропорции: наука, философия, архитектура . Тейлор и Фрэнсис. С. 305–306. ISBN 978-0-419-22780-9.
  9. ^ Падован, Ричард (2002). «Пропорции: наука, философия, архитектура» . Сетевой журнал Nexus . 4 (1): 113–122. DOI : 10.1007 / s00004-001-0008-7 .
  10. ^ Цейзинг, Адольф (1854). Neue Lehre van den Proportionen des meschlischen Körpers . предисловие.
  11. ^ a b Стюарт 2001 , стр. 108–109.
  12. ^ Бал 2009а , стр. 73-76.
  13. ^ Бал 2009а , стр. 41.
  14. ^ Hannavy, Джон (2007). Энциклопедия фотографии девятнадцатого века . 1 . CRC Press. п. 149. ISBN 978-0-415-97235-2.
  15. ^ a b Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история самого удивительного числа в мире Фи . Нью-Йорк: Бродвейские книги . п. 111. ISBN 978-0-7679-0816-0.
  16. ^ О Д'Арси . Д'Арси 150. Университет Данди и Университет Сент-Эндрюс . Проверено 16 октября 2012 года.
  17. ^ а б Тьюринг AM (1952). «Химические основы морфогенеза» . Философские труды Королевского общества B . 237 (641): 37–72. Полномочный код : 1952RSPTB.237 ... 37T . DOI : 10,1098 / rstb.1952.0012 .
  18. ^ Бал 2009а , стр. 163, 247-250.
  19. ^ a b c Розенберг, Гжегож ; Саломаа, Арто. Математическая теория L-систем . Academic Press , Нью-Йорк, 1980. ISBN 0-12-597140-0 
  20. ^ a b Мандельброт, Бенуа Б. (1983). Фрактальная геометрия природы . Макмиллан.
  21. ^ Forbes, Питер. Вся эта бесполезная красота . Хранитель. Обзор: Научная литература. 11 февраля 2012 г.
  22. ^ Стивенс 1974 , стр. 222.
  23. Перейти ↑ Steen, LA (1988). «Наука узоров» . Наука . 240 (4852): 611–616. Bibcode : 1988Sci ... 240..611S . DOI : 10.1126 / science.240.4852.611 . PMID 17840903 . S2CID 4849363 .  
  24. ^ Девлин, Кит . Математика: наука о шаблонах: поиск порядка в жизни, разуме и Вселенной (Библиотека в мягкой обложке Scientific American) 1996
  25. ^ Татаркевич, Владислав . Совершенство в науках. II. Совершенство в физике и химии , диалектике и гуманизме, т. VII, вып. 2 (весна 1980 г.), стр. 139.
  26. ^ a b c Дарвин, Чарльз . О происхождении видов . 1859 г., глава 4.
  27. ^ a b Виклер, Вольфганг (1968). Мимикрия у растений и животных . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
  28. ^ Poulin, R .; Grutter, AS (1996). «Чистящие симбиозы: приближенное и адаптивное объяснения» . Бионаука . 46 (7): 512–517. DOI : 10.2307 / 1312929 . JSTOR 1312929 . 
  29. ^ Конинг, Росс (1994). "Информационный веб-сайт физиологии растений" . Адаптации к опылению . Проверено 2 мая 2012 года .
  30. ↑ Стюарт, 2001 , стр. 48–49.
  31. ↑ Стюарт, 2001 , стр. 64–65.
  32. ^ Стюарт 2001 , стр. 52.
  33. ↑ Стюарт, 2001 , стр. 82–84.
  34. ^ Стюарт 2001 , стр. 60.
  35. ^ Стюарт 2001 , стр. 71.
  36. ^ Hickman, Cleveland P .; Робертс, Ларри С .; Ларсон, Аллан (2002). «Разнообразие животных» (PDF) . Глава 8: Двусторонние животные акцеломаты (Третье изд.). п. 139. Архивировано из оригинального (PDF) 17 мая 2016 года . Проверено 25 октября 2012 года .
  37. ^ Sumrall, Colin D .; Рэй, Грегори А. (январь 2007 г.). «Онтогенез в летописи окаменелостей: разнообразие строений тела и эволюция« аберрантной »симметрии у палеозойских иглокожих». Палеобиология . 33 (1): 149–163. DOI : 10.1666 / 06053.1 . JSTOR 4500143 . S2CID 84195721 .  
  38. ^ Рихтер, Жан Поль, изд. (1970) [1880]. Записные книжки Леонардо да Винчи . Дувр. ISBN 0-486-22572-0. Проверено 4 февраля 2007 .
  39. ^ a b Палка, Джо (26 декабря 2011 г.). «Мудрость деревьев (Леонардо да Винчи знал это)» . Утреннее издание . NPR . Проверено 16 июля 2019 .
  40. ^ Минамино, Рёко; Татено, Масаки (2014). «Ветвление деревьев: правило Леонардо да Винчи против биомеханических моделей». PLoS One . Vol. 9 нет. 4. п. e93535. DOI : 10.1371 / journal.pone.0093535 .
  41. Перейти ↑ Falconer, Kenneth (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения . Джон Вили.
  42. ^ Бриггс, Джон (1992). Фракталы: модели хаоса . Темза и Гудзон. п. 148.
  43. ^ Бэтти, Майкл (1985-04-04). «Фракталы - геометрия между измерениями». Новый ученый . 105 (1450): 31.
  44. ^ Мейер, Ив; Рокес, Сильви (1993). Прогресс в области вейвлет - анализа и применения: Труды Международной конференции «Всплески и их приложения» , Тулуза, Франция - июнь 1992 года . Atlantica Séguier Frontières. п. 25. ISBN 9782863321300.
  45. ^ Карбоне, Алессандра; Громов, Михаил; Прусинкевич, Пшемыслав (2000). Формирование паттернов в биологии, видении и динамике . World Scientific. п. 78. ISBN 9789810237929.
  46. ^ Hahn, Horst K .; Георг, Манфред; Пайтген, Хайнц-Отто (2005). «Фрактальные аспекты трехмерной конструктивной оптимизации сосудов». In Losa, Gabriele A .; Нонненмахер, Тео Ф. (ред.). Фракталы в биологии и медицине . Springer. С. 55–66.
  47. ^ Sadegh, Sanaz (2017). «Плазменная мембрана отделена самоподобной кортикальной сеткой актина» . Physical Review X . 7 (1): 011031. arXiv : 1702.03997 . Bibcode : 2017PhRvX ... 7a1031S . DOI : 10.1103 / PhysRevX.7.011031 . PMC 5500227 . PMID 28690919 .  
  48. ^ Аддисон, Пол С. (1997). Фракталы и хаос: иллюстрированный курс . CRC Press. С. 44–46.
  49. ^ Maor, Эли. е: История числа . Princeton University Press, 2009. Страница 135.
  50. ^ Бал 2009а , стр. 29-32.
  51. ^ "Спиральные решетки и Parastichy" . Смит-колледж . Архивировано из оригинального 26 мая 2010 года . Проверено 24 сентября 2013 года .
  52. ^ a b Каппрафф, Джей (2004). «Рост растений: исследование в цифрах» (PDF) . Forma . 19 : 335–354.
  53. ^ Бал 2009а , стр. 13.
  54. ^ Косетер, HSM (1961). Введение в геометрию . Вайли. п. 169.
  55. ^ Прусинкевич, Пшемыслав ; Линденмайер, Аристид (1990). Алгоритмическая красота растений . Springer-Verlag. С.  101–107 . ISBN 978-0-387-97297-8.
  56. ↑ Левитов Л.С. (15 марта 1991 г.). «Энергетический подход к филлотаксису». Europhys. Lett . 14 (6): 533–9. Bibcode : 1991EL ..... 14..533L . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 14/6/006 .
  57. ^ Дуади, S; Кудер, Ю. (март 1992 г.). «Филлотаксис как физический процесс самоорганизованного роста». Письма с физическим обзором . 68 (13): 2098–2101. Bibcode : 1992PhRvL..68.2098D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.68.2098 . PMID 10045303 . 
  58. ^ Бал 2009а , стр. 163, 249-250.
  59. ^ Лоренц, Эдвард Н. (март 1963 г.). «Детерминированный непериодический поток» . Журнал атмосферных наук . 20 (2): 130–141. Bibcode : 1963JAtS ... 20..130L . DOI : 10.1175 / 1520-0469 (1963) 020 <0130: DNF> 2.0.CO; 2 .
  60. ^ Elaydi, Сэйбер Н. (1999). Дискретный хаос . Чепмен и Холл / CRC. п. 117.
  61. Перейти ↑ Ruelle, David (1991). Случайность и хаос . Издательство Принстонского университета.
  62. ^ Вольфрам, Стивен (2002). Новый вид науки . Wolfram Media.
  63. ^ фон Карман, Теодор (1963). Аэродинамика . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0070676022.. Дувр (1994): ISBN 978-0486434858 . 
  64. ^ Lewalle Жак (2006). «Разделение потоков и вторичный поток: Раздел 9.1» (PDF) . Конспект лекций по динамике несжимаемой жидкости: феноменология, концепции и аналитические инструменты . Сиракузы, штат Нью-Йорк: Сиракузский университет. Архивировано из оригинального (PDF) 29 сентября 2011 года. .
  65. ^ Французский, AP (1971). Колебания и волны . Нельсон Торнс.
  66. Перейти ↑ Tolman, HL (2008). «Практическое моделирование ветрового волнения» (PDF) . В Махмуд, М.Ф. (ред.). CBMS Conference Proceedings on Water Waves: Theory and Experiment . Ховардский университет, США, 13–18 мая 2008 г. World Scientific Publ.
  67. ^ "Типы дюн" . USGS . 29 октября 1997 . Проверено 2 мая 2012 года .
  68. ^ Strahler, A .; Арчиболд, О.В. (2008). Физическая география: наука и системы окружающей человека среды (4-е изд.). Джон Вили. п. 442.
  69. ^ Schwämmle, V .; Херрман, HJ (11 декабря 2003 г.). «Уединенно-волновое поведение песчаных дюн». Природа . 426 : 619–620. Bibcode : 2003Natur.426..619S . DOI : 10.1038 / 426619a . PMID 14668849 . S2CID 688445 .  
  70. ^ Бал 2009а , стр. 68.
  71. ↑ Фредерик Дж. Альмгрен-младший и Джин Э. Тейлор , Геометрия мыльных пленок и мыльных пузырей , Scientific American, vol. 235, стр. 82–93, июль 1976 г.
  72. ^ Бал 2009а , стр. 96-101.
  73. ^ Броуди, Кристина (февраль 2005 г.). «Геометрия и закономерность в природе 3: дыры в тестах радиолярий и диатомей» . Микроскопия-Великобритания . Проверено 28 мая 2012 года .
  74. ^ Бал 2009а , стр. 51-54.
  75. Перейти ↑ Armstrong, MA (1988). Группы и симметрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag.
  76. ^ Крюк, младший; Холл, Е. П. Физика твердого тела (2-е издание). Серия Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2010. ISBN 978-0-471-92804-1 
  77. ^ Стивенс 1974 , стр. 207.
  78. ^ Стивенс 1974 , стр. 208.
  79. ^ a b Ball 2009a , стр. 156–158.
  80. ^ Мюррей, Джеймс Д. (9 марта 2013 г.). Математическая биология . Springer Science & Business Media. С. 436–450. ISBN 978-3-662-08539-4.
  81. ^ a b Ball 2009a , стр. 159–167.
  82. ^ Бал 2009а , стр. 168-180.
  83. ↑ Ротенберг, 2011 , стр. 93–95.
  84. ^ a b Prum, Ричард О .; Уильямсон, Скотт (2002). «Реакционно-диффузионные модели формирования пигментного рисунка внутри пера» (PDF) . Труды Королевского общества Лондона B . 269 (1493): 781–792. DOI : 10.1098 / rspb.2001.1896 . PMC 1690965 . PMID 11958709 .   
  85. ^ a b Тонгвей, DJ; Валентин, С. и Сегиери, Дж. (2001). Полосатая растительность в засушливых и полузасушливых условиях . Нью-Йорк: Springer-Verlag.
  86. ^ а б Д'Аванцо, К. (22 февраля 2004 г.). «Пихтовые волны: регенерация хвойных лесов Новой Англии» . TIEE . Проверено 26 мая 2012 года .
  87. ^ Morelle, Ребекка (2013-12-09). « „ Digital суслики“решить Mima курган тайну» . BBC News . Проверено 9 декабря 2013 .
  88. ^ Образец, Ян (2017-01-18). «Секрет« волшебных кругов »Намибии наконец-то может быть объяснен» . Хранитель . Проверено 18 января 2017 года .
  89. ^ «Вечная мерзлота: узорчатая земля» . Инженерный корпус армии США . Архивировано из оригинала 7 марта 2015 года . Проверено 17 февраля 2015 года .
  90. ^ Гхош, Тиа. "Причудливая складчатость человеческого мозга воссоздана в чане" . Scientific American . Проверено 5 апреля 2018 года .
  91. ^ Таллинен, Туома; Чанг, Джун Ён; Биггинс, Джон С .; Махадеван, Л. (2014). «Гирификация от ограниченного коркового расширения» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 111 (35): 12667–12672. arXiv : 1503.03853 . Bibcode : 2014PNAS..11112667T . DOI : 10.1073 / pnas.1406015111 . PMC 4156754 . PMID 25136099 .  

Библиография [ править ]

Авторы-новаторы

  • Фибоначчи, Леонардо . Liber Abaci , 1202.
    • ———— перевод Сиглера, Liber Abaci Лоренса Э. Фибоначчи . Спрингер, 2002.
  • Геккель, Эрнст . Kunstformen der Natur (Художественные формы в природе), 1899–1904.
  • Томпсон, Д'Арси Вентворт . О росте и форме . Кембридж, 1917 год.

Общие книги

  • Адам, Джон А. Математика в природе: моделирование моделей в естественном мире . Издательство Принстонского университета , 2006.
  • Болл, Филипп (2009a). Узоры природы: гобелен из трех частей. 1: Формы . Издательство Оксфордского университета.
  • Болл, Филипп (2009b). Узоры природы: гобелен из трех частей. 2: Поток . Издательство Оксфордского университета.
  • Болл, Филипп (2009c). Узоры природы: гобелен из трех частей. 3. Филиалы . Издательство Оксфордского университета.
  • Болл, Филипп. Узоры в природе . Чикаго, 2016.
  • Мерфи, Пэт и Нил, Уильям. По замыслу природы . Книги хроники , 1993.
  • Ротенберг, Дэвид (2011). Выживание прекрасного: искусство, наука и эволюция . Bloomsbury Press .
  • Стивенс, Питер С. (1974). Узоры в природе . Little, Brown & Co .
  • Стюарт, Ян (2001). Какая форма у снежинки? Волшебные числа в природе . Вайденфельд и Николсон .

Узоры с натуры (как искусство)

  • Эдмайер, Бернар. Узоры Земли . Phaidon Press , 2007.
  • Макнаб, Мэгги. Дизайн от природы: использование универсальных форм и принципов в дизайне . Новые райдеры, 2012.
  • Накамура, Шигеки. Справочник по образцам: 250 узоров, вдохновленных природой. . Книги 1 и 2. Рокпорт, 2009.
  • О'Нил, Полли. Поверхности и текстуры: Визуальный справочник . Черный, 2008.
  • Портер, Элиот и Глейк, Джеймс . Природный хаос . Пингвин викинг , 1990 год.

Внешние ссылки [ править ]

  • Числа Фибоначчи и золотое сечение
  • Филлотаксис: интерактивный сайт для математического изучения формирования паттернов растений