Капиллярная волна

Капиллярная волна (рябь) в воде

Рябь на Lifjord в Экснес , Норвегия

Капиллярные волны, возникающие в результате ударов капель по границе раздела воды и воздуха.

Капиллярная волна является волной , бегущей вдоль границы раздела фаз жидкости, чья динамика и фазовая скорость преобладают эффекты поверхностного натяжения .

Капиллярные волны обычны в природе и часто называются рябью . Длина волны капиллярных волн на воде обычно меньше нескольких сантиметров, а фазовая скорость превышает 0,2–0,3 м / с.

Большая длина волны на границе раздела жидкостей приведет к появлению гравитационно-капиллярных волн, на которые влияют как эффекты поверхностного натяжения и силы тяжести , так и инерция жидкости . Обычные гравитационные волны имеют еще большую длину волны.

Когда они генерируются легким ветром в открытой воде, морское название для них - волны кошачьей лапы . Легкий ветерок, вызывающий такую ​​мелкую рябь, также иногда называют кошачьими лапками. В открытом океане гораздо более крупные океанские поверхностные волны ( моря и зыби ) могут возникать в результате слияния более мелких волн, вызываемых ветром.

Отношение дисперсии [ править ]

Дисперсии описывает зависимость между длиной волны и частотой в волнах. Можно провести различие между чистыми капиллярными волнами, в которых полностью преобладают эффекты поверхностного натяжения, и гравитационно-капиллярными волнами, на которые также влияет сила тяжести.

Собственно капиллярные волны [ править ]

Дисперсионное соотношение для капиллярных волн имеет вид

${\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {\ sigma} {\ rho + \ rho '}} \, | k | ^ {3},}$

где есть угловая частота , поверхностное натяжение , плотность более тяжелой жидкость, плотность зажигалка жидкости и в волновом . Длина волны равна. Для границы между жидкостью и вакуумом (свободная поверхность) дисперсионное соотношение сводится к${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho '}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k}}.}$

${\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {\ sigma} {\ rho}} \, | k | ^ {3}.}$

Гравитационно-капиллярные волны [ править ]

Распространение гравитационно-капиллярных волн на поверхности глубокой воды (нулевая массовая плотность верхнего слоя, ). Деление фазы и групповой скорости на как функция обратной относительной длины волны .  • Синие линии (A): фазовая скорость, красные линии (B): групповая скорость.  • Проведенные линии: дисперсионное уравнение для гравитационно-капиллярных волн.  • Пунктирные линии: дисперсионное соотношение для глубоководных гравитационных волн.  • Пунктирные линии: соотношение дисперсии, действующее для глубоководных капиллярных волн.${\ displaystyle \ rho '= 0}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{4}] {г \ sigma / \ rho}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {\ lambda}} {\ sqrt {\ sigma / (\ rho g)}}}$

Как правило, на волны также влияет сила тяжести, и они называются гравитационно-капиллярными волнами. Их соотношение дисперсии для волн на границе раздела двух жидкостей бесконечной глубины имеет вид ^{[1] [2]}

${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}$

где - ускорение свободного падения , а - массовая плотность двух жидкостей . Фактор в первом члене - это число Этвуда .${\displaystyle g}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle (\rho >\rho ')}$${\displaystyle (\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')}$

Режим гравитационных волн [ править ]

Для длин волн (малых ) актуален только первый член, а у одного есть гравитационные волны . В этом пределе групповая скорость волн составляет половину фазовой скорости : следуя гребню одиночной волны в группе, можно увидеть волну, появляющуюся позади группы, растущую и, наконец, исчезающую в передней части группы.${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

Режим капиллярных волн [ править ]

Более короткие (большие ) волны (например, 2 мм для границы раздела вода-воздух), которые являются собственно капиллярными волнами, делают противоположное: отдельная волна появляется на фронте группы, растет при движении к центру группы и, наконец, исчезает в конце группы. спина группы. В этом пределе фазовая скорость составляет две трети групповой скорости.${\displaystyle k}$

Минимум фазовой скорости [ править ]

Между этими двумя пределами находится точка, в которой дисперсия, вызванная гравитацией, нейтрализует дисперсию из-за капиллярного эффекта. На определенной длине волны групповая скорость равна фазовой скорости, и дисперсии нет. Именно на этой длине волны фазовая скорость гравитационно-капиллярных волн как функция длины волны (или волнового числа) имеет минимум. Волны с длинами волн, намного меньшими, чем эта критическая длина волны , во власти поверхностного натяжения и намного выше силы тяжести. Значение этой длины волны и связанная с ней минимальная фазовая скорость : ^[1]${\displaystyle \lambda _{m}}$${\displaystyle c_{m}}$

${\displaystyle \lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.}$

Для воздуха - вода интерфейса, оказываются 1,7 см (0,67 дюйма), и составляет 0,23 м / с (0,75 фута / с). ^[1]${\displaystyle \lambda _{m}}$${\displaystyle c_{m}}$

Если уронить небольшой камень или каплю в жидкость, волны распространятся за пределы расширяющегося круга неподвижной жидкости; этот круг является каустикой, соответствующей минимальной групповой скорости. ^[3]

Вывод [ править ]

Как выразился Ричард Фейнман , « [волны на воде], которые легко увидеть всем и которые обычно используются в качестве примера волн на начальных курсах [...], являются наихудшим примером [...]; у них есть все сложности, которые могут иметь волны » ^[4], поэтому вывод общего дисперсионного соотношения весьма сложен . ^[5]

Есть три вклада в энергию: гравитация, поверхностное натяжение и гидродинамика . Первые два являются потенциальными энергиями и отвечают за два члена в скобках, как видно из появления и . Для гравитации предполагается, что плотность жидкостей постоянна (т. Е. Несжимаемость), и то же самое (волны недостаточно высоки для того, чтобы гравитация могла заметно измениться). Для поверхностного натяжения отклонения от планарности (измеренные по производным поверхности) должны быть небольшими. Для обычных волн оба приближения достаточно хороши.${\displaystyle g}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle g}$

Третий вклад включает кинетическую энергию жидкостей. Он самый сложный и требует гидродинамической основы. Снова возникает несжимаемость (которая выполняется, если скорость волн намного меньше скорости звука в среде) вместе с безвихревым потоком - тогда поток является потенциальным . Обычно это также хорошие приближения для обычных ситуаций.

Полученное уравнение для потенциала (которое является уравнением Лапласа ) может быть решено с соответствующими граничными условиями. С одной стороны, скорость должна исчезнуть глубоко под поверхностью (в случае «глубокой воды», который мы рассматриваем, иначе получается более сложный результат, см. Поверхностные волны океана ). С другой стороны, ее вертикальная составляющая должна соответствовать движению поверхности. Этот вклад в конечном итоге отвечает за лишнее за скобки, что приводит к тому , что все режимы являются дисперсионными, как при низких , так и при высоких значениях (за исключением одного значения, при котором две дисперсии компенсируются).${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Соотношение дисперсии гравитационно-капиллярных волн на границе раздела двух полубесконечных жидких областей

Рассмотрим две области жидкости, разделенные границей раздела с поверхностным натяжением. Среднее положение интерфейса - горизонтальное. Он отделяет верхнюю и нижнюю жидкости, имеющие разную постоянную массовую плотность, а также нижнюю и верхнюю области соответственно. Предполагается, что жидкость является невязкой и несжимаемой , а течение считается безвихревым . Тогда потоки являются потенциальными , и скорость в нижнем и верхнем слое может быть получена из и , соответственно. Здесь и - потенциалы скорости .${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \nabla \phi }$${\displaystyle \nabla \phi '}$${\displaystyle \phi (x,y,z,t)}$${\displaystyle \phi '(x,y,z,t)}$ Участвуют три вклада в энергию: потенциальная энергия из-за силы тяжести , потенциальная энергия из-за поверхностного натяжения и кинетическая энергия потока. Часть, обусловленная гравитацией, является самой простой: интегрирование плотности потенциальной энергии из-за силы тяжести (или ) от исходной высоты до положения поверхности : [6]${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle V_{st}}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle \rho gz}$${\displaystyle \rho 'gz}$${\displaystyle z=\eta (x,y,t)}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {g} }=\iint dx\,dy\;\int _{0}^{\eta }dz\;(\rho -\rho ')gz={\frac {1}{2}}(\rho -\rho ')g\iint dx\,dy\;\eta ^{2},}$ предполагая, что средняя позиция интерфейса находится в .${\displaystyle z=0}$ Увеличение площади поверхности вызывает пропорциональное увеличение энергии из-за поверхностного натяжения: [7] ${\displaystyle V_{\mathrm {st} }=\sigma \iint dx\,dy\;\left[{\sqrt {1+\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}}}-1\right]\approx {\frac {1}{2}}\sigma \iint dx\,dy\;\left[\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}\right],}$ где первое равенство - это площадь в этом (представлении Монжа ), а второе применяется для малых значений производных (поверхности не слишком грубые). Последний вклад включает кинетическую энергию жидкости: [8] ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\int _{-\infty }^{\eta }dz\;\rho \,\left|\mathbf {\nabla } \Phi \right|^{2}+\int _{\eta }^{+\infty }dz\;\rho '\,\left|\mathbf {\nabla } \Phi '\right|^{2}\right].}$ Используется несжимаемая жидкость и безвихревый поток (часто это разумные приближения). В результате оба и должны удовлетворять уравнению Лапласа : [9]${\displaystyle \phi (x,y,z,t)}$${\displaystyle \phi '(x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$   и   ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi '=0.}$ Эти уравнения могут быть решены с соответствующими граничными условиями: и они должны исчезать далеко от поверхности (в случае «глубокой воды», который мы и рассматриваем).${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi '}$ Используя тождество Грина и предполагая, что отклонения высоты поверхности малы (так что z –интеграции могут быть аппроксимированы интегрированием до вместо ), кинетическая энергия может быть записана как: [8]${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=\eta }$ ${\displaystyle T\approx {\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\rho \,\Phi \,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\;-\;\rho '\,\Phi '\,{\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}\right]_{{\text{at }}z=0}.}$ Чтобы найти дисперсионное соотношение, достаточно рассмотреть синусоидальную волну на границе раздела, распространяющуюся в направлении x : [7] ${\displaystyle \eta =a\,\cos \,(kx-\omega t)=a\,\cos \,\theta ,}$ с амплитудой и фазой волны . Кинематическое граничное условие на границе раздела, связывающее потенциалы с движением границы раздела, состоит в том, что компоненты вертикальной скорости должны соответствовать движению поверхности: [7]${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta =kx-\omega t}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}}$   и     у .${\displaystyle {\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}}$${\displaystyle z=0}$ Чтобы решить проблему нахождения потенциалов, можно попробовать разделение переменных , когда оба поля могут быть выражены как: [7] ${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x,y,z,t)&=+{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{+|k|z}\,\omega a\,\sin \,\theta ,\\\Phi '(x,y,z,t)&=-{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{-|k|z}\,\omega a\,\sin \,\theta .\end{aligned}}}$ Тогда вклады в энергию волны, интегрированные по горизонтали по одной длине волны в направлении x и по единице ширины в направлении y , становятся: [7] [10]${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\text{g}}&={\frac {1}{4}}(\rho -\rho ')ga^{2}\lambda ,\\V_{\text{st}}&={\frac {1}{4}}\sigma k^{2}a^{2}\lambda ,\\T&={\frac {1}{4}}(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}a^{2}\lambda .\end{aligned}}}$ Теперь дисперсионное соотношение можно получить из лагранжиана с суммой потенциальных энергий гравитации и поверхностного натяжения : [11]${\displaystyle L=T-V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle V_{st}}$ ${\displaystyle L={\frac {1}{4}}\left[(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}-(\rho -\rho ')g-\sigma k^{2}\right]a^{2}\lambda .}$ Для синусоидальных волн и теории линейных волн лагранжиан, усредненный по фазе, всегда имеет форму , так что изменение по отношению к единственному свободному параметру , дает дисперсионное соотношение . [11] В нашем случае это просто выражение в квадратных скобках, так что дисперсионное соотношение имеет вид:${\displaystyle L=D(\omega ,k)a^{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D(\omega ,k)=0}$${\displaystyle D(\omega ,k)}$ ${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,k^{2}\right),}$ то же, что и выше. В результате средняя энергия волны на единицу горизонтальной площади равна:${\displaystyle (T+V)/\lambda }$ ${\displaystyle {\bar {E}}={\frac {1}{2}}\,\left[(\rho -\rho ')\,g+\sigma k^{2}\right]\,a^{2}.}$ Как обычно для линейных волновых движений, потенциал и кинетическая энергия равны ( равнораспределение трюмов): . [12]${\displaystyle T=V}$

См. Также [ править ]

• Капиллярное действие
• Дисперсия (волны на воде)
• Труба для жидкости
• Поверхностная волна океана
• Тепловая капиллярная волна
• Двухфазный поток
• Волнообразная рябь

Галерея [ править ]

• Рябь на воде, создаваемая водомерками

• Легкая рябь ветерка на поверхности озера

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Лонге-Хиггинс, М.С. (1963). «Генерация капиллярных волн крутыми гравитационными волнами». Журнал гидромеханики . 16 (1): 138–159. Bibcode : 1963JFM .... 16..138L . DOI : 10.1017 / S0022112063000641 . ISSN  1469-7645 .
• Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45868-9.
• Филлипс, О.М. (1977). Динамика верхнего слоя океана (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29801-6.
• Дингеманс, MW (1997). Распространение водной волны по неровному дну . Продвинутая серия по океанской инженерии. 13 . World Scientific, Сингапур. С. 2 Части, 967 стр. ISBN 981-02-0427-2.
• Сафран, Самуэль (1994). Статистическая термодинамика поверхностей, границ раздела и мембран . Эддисон-Уэсли.
• Туфилларо, штат Северная Каролина; Ramshankar, R .; Голлуб, JP (1989). «Переход порядок-беспорядок в капиллярной ряби» . Письма с физическим обзором . 62 (4): 422–425. Bibcode : 1989PhRvL..62..422T . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.62.422 . PMID  10040229 .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме рябь (волны на воде) .

• Запись капиллярных волн в sklogwiki