Круговая дуга

Круговой сектор заштрихован в зеленом цвете. Его криволинейная граница длиной L представляет собой дугу окружности.

Дуга окружности представляет собой дугу из окружности между парой различных точек. Если две точки не находятся прямо напротив друг друга, одна из этих дуг, малая дуга , будет образовывать угол в центре круга, который меньше π радиан (180 градусов), а другая дуга, большая дуга , образует угол больше π радиан.

Длина [ править ]

Длина (точнее, длина дуги ) дуги окружности радиуса r, соединяющей угол θ (измеренный в радианах) с центром окружности, т. Е. Центральным углом, равна

${\ Displaystyle L = \ theta r.}$

Это потому что

${\ displaystyle {\ frac {L} {\ mathrm {окружность}}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}}.}$

Подставляя по окружности

${\ displaystyle {\ frac {L} {2 \ pi r}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}},}$

причем α - это тот же угол, измеренный в градусах, поскольку θ  = α/180π длина дуги равна

${\displaystyle L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.}$

Практический способ определить длину дуги в окружности состоит в том, чтобы построить две линии от конечных точек дуги до центра окружности, измерить угол, где две линии пересекаются с центром, а затем решить для L путем перекрестного умножения утверждения. :

мера угла в градусах / 360 ° = L / окружность.

Например, если угол составляет 60 градусов, а длина окружности 24 дюйма, то

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\360L&=1440\\L&=4.\end{aligned}}}$

Это так, потому что длина окружности и градусы окружности, которых всегда 360, прямо пропорциональны.

Верхняя половина круга может быть параметризована как

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}$

Тогда длина дуги от до равна${\displaystyle x=a}$${\displaystyle x=b}$

${\displaystyle L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.}$

Область сектора [ править ]

Площадь сектора, образованного дугой и центром круга (ограниченного дугой и двумя радиусами, проведенными к ее концам), равна

${\displaystyle A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.}$

Площадь A имеет ту же пропорцию к площади круга, что и угол θ до полного круга:

${\displaystyle {\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.}$

Мы можем сократить π с обеих сторон:

${\displaystyle {\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.}$

Умножив обе части на r ² , мы получим окончательный результат:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .}$

Используя преобразование, описанное выше, мы находим, что площадь сектора для центрального угла, измеренная в градусах, равна

${\displaystyle A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.}$

Область сегмента [ править ]

Площадь фигуры, ограниченная дугой и прямой линией между двумя ее конечными точками, равна

${\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\left(\theta -\sin {\theta }\right).}$

Чтобы получить площадь дугового сегмента , нам нужно вычесть из площади площадь треугольника, определяемую центром круга и двумя конечными точками дуги . Подробнее см. Круглый сегмент .${\displaystyle A}$

Радиус [ править ]

Продукт из отрезков АР и РВ равна произведению отрезков линии CP и PD. Если дуга имеет ширину AB и высоту CP, то диаметр круга${\displaystyle CD={\frac {AP\cdot PB}{CP}}+CP}$

Используя теорему о пересечении хорд (также известную как теорема о степени точки или о секущей касательной), можно вычислить радиус r окружности с учетом высоты H и ширины W дуги:

Рассмотрим хорду с теми же концами, что и дуга. Его серединный перпендикуляр - это еще одна хорда, которая равна диаметру окружности. Длина первой хорды равна W , и она делится биссектрисой на две равные половины, каждая длинойW/2. Общая длина диаметра составляет 2 р , и он разделен на две части первой хордой. Длина одной части является Sagitta дуги, H , а другая часть представляет собой остаток от диаметра, с длиной 2 г  -  Н . Применение теоремы о пересечении хорд к этим двум хордам дает

${\displaystyle H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},}$

откуда

${\displaystyle 2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},}$

так

${\displaystyle r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.}$

См. Также [ править ]

• Биарк
• Круг сферы
• Граф дуги окружности
• Дуга меридиана
• Длина окружности

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с круговыми дугами .

• Содержание страниц Math Open Reference Circle
• Математика Открыть справочную страницу по дугам окружности с интерактивной анимацией
• Математика Открыть справочную страницу по радиусу дуги окружности или сегмента с интерактивной анимацией
• Вайсштейн, Эрик В. «Арк» . MathWorld .