Круг сферы

Маленький круг сферы.

${\ Displaystyle BC ^ {2} = AB ^ {2} + AC ^ {2}}$, где C - центр сферы, A - центр малого круга, а B - точка на границе малого круга. Следовательно, зная радиус сферы и расстояние от плоскости малого круга до C, радиус малого круга можно определить с помощью теоремы Пифагора.

Круг сферы является круг , который лежит на сфере . Такой круг может быть образован как пересечение сферы и плоскости или двух сфер. Круг на сфере, плоскость которой проходит через центр сферы, называется большим кругом ; в противном случае это маленький кружок . Круги сферы имеют радиус меньше или равный радиусу сферы, с равенством, когда круг является большим кругом.

На земле [ править ]

В географической системе координат на глобусе, то параллели из широты небольшие кружки, с экватором единственный большой круг. Напротив, все меридианы по долготе , спаренные с их противоположным меридианом в другом полушарии , образуют большие круги.

Связанная терминология [ править ]

Диаметр сферы, проходящей через центр круга, называется его осью, а концы этого диаметра - его полюсами . Окружность сферы также может быть определена как набор точек на заданном угловом расстоянии от заданного полюса.

Пересечение сферы и плоскости [ править ]

Когда пересечение сферы и плоскости не пустое или не единственная точка, это круг. Это можно увидеть следующим образом:

Пусть S представляет собой сферу с центром O , P плоскости , которая пересекает S . Нарисуйте OE перпендикулярно P и встречи P на E . Пусть A и B - любые две разные точки пересечения. Тогда AOE и BOE - прямоугольные треугольники с общей стороной OE и равными гипотенузами AO и BO . Следовательно, оставшиеся стороны AE и BE равны. Это доказывает, что все точки пересечения находятся на одинаковом расстоянии от точкиЕ в плоскости Р , другими словами , все точки пересечения лежат на окружности С с центром Е . ^[1] Это доказывает , что пересечение P и S содержится в C . Обратите внимание, что OE - это ось круга.

Рассмотрим теперь точку D на окружности С . Поскольку C лежит в P , то D тоже . С другой стороны, треугольники AOE и DOE представляют собой прямоугольные треугольники с общей стороной OE и равными участками EA и ED . Таким образом, гипотенузы АО и DO равны, и равны радиусу S , так что D лежит в S . Это доказывает , что С содержится в пересечении Р и S .

Как следствие, на сфере есть ровно один круг, который можно провести через три заданные точки. ^[2]

Доказательство может быть расширено, чтобы показать, что все точки на окружности находятся на общем угловом расстоянии от одного из его полюсов. ^[3]

Пересечение сферы и сферы [ править ]

Чтобы показать, что нетривиальное пересечение двух сфер является окружностью, предположим (без ограничения общности), что одна сфера (с радиусом ) центрирована в начале координат. Точки на этой сфере удовлетворяют${\ displaystyle R}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.}$

Также без ограничения общности предположим, что вторая сфера с радиусом центрирована в точке положительной оси x на расстоянии от начала координат. Его точки удовлетворяют${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}$

Пересечение сфер - это множество точек, удовлетворяющих обоим уравнениям. Вычитание уравнений дает

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-a)^{2}-x^{2}&=r^{2}-R^{2}\\a^{2}-2ax&=r^{2}-R^{2}\\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-r^{2}}{2a}}.\end{aligned}}}$

В особом случае сферы концентрические. Есть две возможности: если сферы совпадают, а пересечение - это вся сфера; если , сферы не пересекаются и пересечение пусто. Когда a не равно нулю, пересечение лежит в вертикальной плоскости с этой координатой x, которая может пересекать обе сферы, касаться обеих сфер или внешне по отношению к обеим сферам. Результат следует из предыдущего доказательства для пересечений сфера-плоскость.${\displaystyle a=0}$${\displaystyle R=r}$${\displaystyle R\not =r}$

См. Также [ править ]

• Пересечение линии и плоскости
• Пересечение линии и сферы

Ссылки [ править ]

• Хоббс, Калифорния (1921). Твердая геометрия . GH Kent. стр. 397 и сл  .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Sykes, M .; Комсток, CE (1922). Твердая геометрия . Рэнд МакНелли. стр. 81 и сл  .