В аналитической геометрии , то пересечение линии и плоскость в трехмерном пространстве может быть пустым множеством , А точка , или линия. Это вся линия, если эта линия вложена в плоскость, и пустое множество, если линия параллельна плоскости, но вне ее. В противном случае линия пересекает плоскость в одной точке.
Три возможных отношения плоскости к линии в трех измерениях. (В каждом случае показана только часть плоскости, которая простирается бесконечно далеко.)
Выделение этих случаев и определение уравнений для точки и линии в последних случаях можно использовать в компьютерной графике , планировании движения и обнаружении столкновений .
Пересечение прямой и плоскости.
Линия описывается всеми точками, которые находятся в заданном направлении от точки. Общая точка на прямой, проходящей через точки а также можно представить как
где вектор, указывающий из к .
Аналогичным образом общая точка на плоскости определяется треугольником, определяемым точками , а также можно представить как
где вектор, указывающий из к , а также вектор, указывающий из к .
Таким образом, точка, в которой линия пересекает плоскость, описывается установкой точки на прямой равной точке на плоскости, что дает параметрическое уравнение:
Это можно переписать как
которая может быть выражена в матричной форме как
где векторы записываются как векторы-столбцы.
Это дает систему линейных уравнений, которую можно решить относительно, а также . Если решение удовлетворяет условию, то точка пересечения находится на отрезке прямой между а также , иначе это где-нибудь на линии. Аналогично, если решение удовлетворяет, то точка пересечения находится в параллелограмме, образованном точкой и векторы а также . Если решение дополнительно удовлетворяет, то точка пересечения лежит в треугольнике, образованном тремя точками , а также .
Определитель матрицы можно вычислить как
Если определитель равен нулю, то единственного решения не существует; линия находится либо в плоскости, либо параллельно ей.
Если существует единственное решение (определитель не равен 0), то его можно найти, инвертировав матрицу и переставив:
который расширяется до
а затем в
таким образом давая решения:
Тогда точка пересечения равна
В методе трассировки лучей компьютерной графики поверхность может быть представлена как набор частей плоскостей. Пересечение луча света с каждой плоскостью используется для создания изображения поверхности. В трехмерной реконструкции на основе зрения , подполе компьютерного зрения, значения глубины обычно измеряются с помощью так называемого метода триангуляции, который находит пересечение между световой плоскостью и лучом, отраженным в камеру.
Алгоритм может быть обобщен на пересечение с другими плоскими фигурами, в частности, пересечение многогранника с линией .