Дуга меридиана

В геодезии , A меридиан дуга измерения представляет собой расстояние между двумя точками с той же долготе , то есть в сегменте о наличии меридиональной кривой или ее длины. Два или более таких определений в разных местах , то указать форму эллипсоида , который наилучшим образом приближает форму геоида . Этот процесс называется определением фигуры Земли . Самые ранние определения размеров сферической Земли требовали единственной дуги. В последних определениях используются астрогеодезические измерения и методы спутниковой геодезии. для определения опорных эллипсоидов.

Тем, кто интересуется точными выражениями дуги меридиана для эллипсоида WGS84, следует обратиться к подразделу, озаглавленному числовые выражения .

История измерений[ редактировать ]

Сферическая Земля [ править ]

Ранние оценки размера Земли, отражаются от Греции в 4 веке до н.э., и от ученых в халифе «s Дом Мудрости в 9 - м века. Первое реалистичное значение было вычислено александрийским ученым Эратосфеном около 240 г. до н.э. Он подсчитал, что длина меридиана составляет 252 000 стадий , с ошибкой реального значения от -2,4% до + 0,8% (при условии, что значение стадиона составляет от 155 до 160 метров). ^[1] Эратосфен описал свою технику в книге « О мерах Земли» , которая не сохранилась. Похожий метод использовал Посидоний.примерно 150 лет спустя, и несколько лучшие результаты были рассчитаны в 827 году с помощью измерения степени ^{[ необходима цитата ]} халифа Аль-Мамуна .

Эллипсоидальная Земля [ править ]

В ранней литературе термин « сплющенный сфероид» используется для описания сферы, «сжатой полюсами». В современной литературе используется термин эллипсоид вращения вместо сфероида , хотя уточняющие слова «революции» обычно опускаются. Эллипсоид , который не является эллипсоидом вращения называется трехосный эллипсоид. В этой статье сфероид и эллипсоид взаимозаменяемы, если не указано иное, подразумевается сжатие.

17 и 18 века [ править ]

Хотя с классической древности было известно, что Земля имеет сферическую форму , к 17 веку накапливались свидетельства того, что это не идеальная сфера. В 1672 году Жан Ричер нашел первое свидетельство того, что гравитация не постоянна над Землей (как это было бы, если бы Земля была сферой); он взял часы с маятником для Cayenne , Французская Гвиана и обнаружили , что он потерял 2 ¹ ⁄ ₂ минуты в день по сравнению со скоростью в Париже . ^{[2] [3]} Это указывало на то, что ускорение свободного падения на Кайенне было меньше, чем в Париже. Маятниковые гравиметры начали использовать в путешествиях в отдаленные части мира, и постепенно было обнаружено, что сила тяжести плавно увеличивается с увеличением широты , причем гравитационное ускорение на географических полюсах примерно на 0,5% больше,чем на экваторе .

В 1687 году Ньютон опубликовал в « Началах» как доказательство того, что Земля представляет собой сплюснутый сфероид со сплющенностью, равной1/230. ^[4] Это оспаривается некоторыми, но не всеми французскими учеными. Джованни Доменико Кассини и его сын Жак Кассини в период 1684–1718 продлили меридиональную дугу Жана Пикара до более длинной дуги . ^[5] Дуга была измерена по крайней мере с тремя определениями широты, поэтому они смогли определить средние значения кривизны для северной и южной половин дуги, что позволило определить общую форму. Результаты показали, что Земля представляет собой вытянутый сфероид (с экваториальным радиусом меньше полярного). Чтобы решить этот вопрос, Французская академия наук (1735 г.) предложила экспедиции в Перу ( Бугер ,Луи Годен , де ла Кондамин , Антонио де Ульоа , Хорхе Хуан ) и Лапландии ( Мопертюи , Клеро , Камю , Ле Монье , Аббат Отье, Андерс Цельсий ). Экспедиция в Перу описана в статье French Geodesic Mission, а экспедиция в Лапландию - в статье Torne Valley . Полученные измерения на экваториальных и полярных широтах подтвердили, что Земля лучше всего моделируется сплюснутым сфероидом, поддерживающим Ньютон. ^[5] К 1743 году теорема Клеро полностью вытеснила подход Ньютона.

К концу века Деламбр повторно измерил и расширил французскую дугу от Дюнкерка до Средиземного моря ( меридиональная дуга Деламбра и Мешена ). Он был разделен на пять частей четырьмя промежуточными определениями широты. Комбинируя измерения вместе с измерениями дуги Перу, были определены параметры формы эллипсоида, и расстояние между экватором и полюсом вдоль Парижского меридиана было рассчитано как5 130 762  туаза, как указано в стандартном туаз-баре в Париже. Определение этого расстояния как точное10 000 000  м привело к строительству новой стандартной метровой планки в качестве0,513 0762  туаз. ^{[5] : 22}

19 век [ править ]

В 19 веке многие астрономы и геодезисты занимались детальным изучением кривизны Земли по разным дугам меридианов. В результате анализа было получено очень много модельных эллипсоидов, таких как Плессис 1817, Эйри 1830, Бессель 1830 , Эверест 1830 и Кларк 1866 . ^[6] Полный список эллипсоидов приведен под эллипсоидом Земли .

Расчет [ править ]

Определение меридионального расстояния, то есть расстояния от экватора до точки на широте φ на эллипсоиде, является важной проблемой теории картографических проекций, в частности, поперечной проекции Меркатора . Эллипсоиды обычно задаются в терминах параметров, определенных выше, a , b , f , но в теоретической работе полезно определять дополнительные параметры, в частности, эксцентриситет , e , и третье сглаживание n . Только два из этих параметров независимы, и между ними существует множество взаимосвязей:

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {a-b}{a}}\,,\qquad e^{2}=f(2-f)\,,\qquad n={\frac {a-b}{a+b}}={\frac {f}{2-f}}\,,\\b&=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,,\qquad e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

Меридиан радиус кривизны может быть показано ^{[7] [8]} равным

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{\frac {3}{2}}}},}$

так что длина дуги бесконечно малого элемента меридиана равна dm = M ( φ ) dφ (с φ в радианах). Следовательно, меридиональное расстояние от экватора до широты φ равно

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\int _{0}^{\varphi }M(\varphi )\,d\varphi \\&=a(1-e^{2})\int _{0}^{\varphi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\varphi \,.\end{aligned}}}$

Формула расстояния проще, если записать ее в терминах параметрической широты :

${\displaystyle m(\varphi )=b\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1+e'^{2}\sin ^{2}\beta }}\,d\beta \,,}$

где tg β = (1 - f ) tg φ и e ′ ² =e ²/1 - е ².

Расстояние от экватора до полюса, четверть меридиана, равно

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

Хотя широта обычно ограничивается диапазоном [-π/2,π/2] , все приведенные здесь формулы применимы для измерения расстояния вокруг полного эллипса меридиана (включая антимеридиан). Таким образом, диапазоны φ , β и выпрямляющей широты μ не ограничены.

Связь с эллиптическими интегралами [ править ]

Приведенный выше интеграл относится к частному случаю неполного эллиптического интеграла третьего рода . В обозначениях онлайн- справочника NIST ^[9] ( Раздел 19.2 (ii) ),

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\,\Pi (\varphi ,e^{2},e)\,.}$

Его также можно записать в терминах неполных эллиптических интегралов второго рода (см. Справочник NIST, раздел 19.6 (iv) ),

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=a\left(E(\varphi ,e)-{\frac {e^{2}\sin \varphi \cos \varphi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\right)\\&=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right)\\&=bE(\beta ,ie')\,.\end{aligned}}}$

Четверть меридиана можно выразить через полный эллиптический интеграл второго рода :

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=aE(e)=bE(ie').}$

Вычисление (с произвольной точностью) эллиптических интегралов и приближений также обсуждается в справочнике NIST. Эти функции также реализованы в программах компьютерной алгебры, таких как Mathematica ^[10] и Maxima. ^[11]

Расширения серий [ править ]

Вышеупомянутый интеграл может быть выражен в виде бесконечного усеченного ряда путем разложения подынтегрального выражения в ряд Тейлора, определения итоговых интегралов почленно и выражения результата в виде тригонометрического ряда. В 1755 году Эйлер ^[12] вывел разложение в квадрате третьего эксцентриситета .

Расширения эксцентриситета ( e ) [ править ]

Деламбр в 1799 г. ^[13] вывел широко используемое разложение для e ² ,

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {b^{2}}{a}}\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4\varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{\tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\D_{2}&=-{\tfrac {3}{8}}e^{2}-{\tfrac {15}{32}}e^{4}-{\tfrac {525}{1024}}e^{6}-{\tfrac {2205}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}+{\tfrac {105}{1024}}e^{6}+{\tfrac {2205}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}}e^{6}-{\tfrac {105}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\D_{8}&={\tfrac {315}{131072}}e^{8}+\cdots .\end{aligned}}}$

Рапп ^[14] дает подробный вывод этого результата. В этой статье тригонометрические термины вида sin 4 φ интерпретируются как sin (4 φ ) .

Расширения в третьем уплощении ( n ) [ править ]

Ряды со значительно более быстрой сходимостью можно получить, расширив за счет третьего уплощения n вместо эксцентриситета. Они связаны

${\displaystyle e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.}$

В 1837 году Бесселя получены один из таких серий, ^[15] , которая была введена в более простой форме с помощью Гельмерта , ^{[16] [17]}

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(H_{0}\varphi +H_{2}\sin 2\varphi +H_{4}\sin 4\varphi +H_{6}\sin 6\varphi +H_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

с

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\\H_{2}&=-{\tfrac {3}{2}}n+{\tfrac {3}{16}}n^{3}+\cdots ,&H_{6}&=-{\tfrac {35}{48}}n^{3}+\cdots ,\\H_{4}&={\tfrac {15}{16}}n^{2}-{\tfrac {15}{64}}n^{4}-\cdots ,\qquad &H_{8}&={\tfrac {315}{512}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

Поскольку n меняет знак, когда меняются местами a и b , и поскольку начальный коэффициент1/2( a + b ) остается постоянным при этой замене, половина членов разложения H _{2 k} обращается в нуль.

Ряд можно выразить с помощью a или b в качестве начального фактора, написав, например,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+b)={\frac {a}{1+n}}=a(1-n+n^{2}-n^{3}+n^{4}-\cdots )\,,}$

и разворачивая результат в ряд по n . Даже если это приводит к более медленно сходящийся ряд, такие серии используются в спецификации для поперечной проекции Меркатора проекции по национальной геопространственной разведки агентства ^[18] и Картографического Великобритании . ^[19]

Серии по параметрической широте [ править ]

В 1825 году Бессель ^[20] вывел расширение меридионального расстояния с точки зрения параметрической широты β в связи с его работой по геодезическим :

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta +B_{8}\sin 8\beta +\cdots \right)\,,}$

с

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots =H_{0}\,,\\B_{2}&=-{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{16}}n^{3}+\cdots ,&B_{6}&=-{\tfrac {1}{48}}n^{3}+\cdots ,\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{16}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B_{8}&=-{\tfrac {5}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

Поскольку этот ряд обеспечивает расширение для эллиптического интеграла второго рода, его можно использовать для записи длины дуги с точки зрения географической широты как

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(B_{0}\varphi -B_{2}\sin 2\varphi +B_{4}\sin 4\varphi -B_{6}\sin 6\varphi +B_{8}\sin 8\varphi -\cdots -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}\right)\,.}$

Обобщенный ряд [ править ]

Вышеупомянутые серии до восьмого порядка по эксцентриситету или четвертого порядка по третьему уплощению обеспечивают точность до миллиметра. С помощью систем символьной алгебры их можно легко расширить до шестого порядка при третьем выравнивании, что обеспечивает полную точность двойной точности для наземных приложений.

Деламбр ^[13] и Бессель ^[20] написали свои серии в форме, позволяющей их обобщать до произвольного порядка. Коэффициенты в ряду Бесселя можно выразить особенно просто

${\displaystyle B_{2k}={\begin{cases}c_{0}\,,&{\text{if }}k=0\,,\\[5px]{\dfrac {c_{k}}{k}}\,,&{\text{if }}k>0\,,\end{cases}}}$

куда

${\displaystyle c_{k}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(2j-3)!!\,(2j+2k-3)!!}{(2j)!!\,(2j+2k)!!}}n^{k+2j}}$

и к !! - двойной факториал , расширенный до отрицательных значений с помощью рекурсивного отношения: (−1) !! = 1 и (−3) !! = -1 .

Коэффициенты в ряду Гельмерта могут быть аналогичным образом выражены в общем виде

${\displaystyle H_{2k}=(-1)^{k}(1-2k)(1+2k)B_{2k}\,.}$

Этот результат был выдвинут Гельмертом ^[21] и доказан Кавасе. ^[22]

Множитель (1-2 k ) (1 + 2 k ) приводит к худшей сходимости ряда по φ по сравнению с рядом по β .

Четверть меридиана определяется выражением

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }={\frac {\pi (a+b)}{4}}c_{0}={\frac {\pi (a+b)}{4}}\sum _{j=0}^{\infty }\left({\frac {(2j-3)!!}{(2j)!!}}\right)^{2}n^{2j}\,,}$

результат, который впервые был получен Айвори. ^[23]

Числовые выражения [ править ]

Приведенный выше тригонометрический ряд удобно оценивать с помощью суммирования Кленшоу . Этот метод позволяет избежать вычисления большинства тригонометрических функций и позволяет быстро и точно суммировать ряды. Этот метод также можно использовать для оценки разности m ( φ ₁ ) - m ( φ ₂ ) при сохранении высокой относительной точности.

Подстановка значений большой полуоси и эксцентриситета эллипсоида WGS84 дает

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\left(111\,132.952\,55\,\varphi ^{(\circ )}-16\,038.509\,\sin 2\varphi +16.833\,\sin 4\varphi -0.022\,\sin 6\varphi +0.000\,03\,\sin 8\varphi \right){\mbox{ metres}}\\&=\left(111\,132.952\,55\,\beta ^{(\circ )}-5\,346.170\,\sin 2\beta -1.122\,\sin 4\beta -0.001\,\sin 6\beta -0.5\times 10^{-6}\,\sin 8\beta \right){\mbox{ metres,}}\end{aligned}}}$

где φ ⁽ ° ⁾ =φ/1 °это φ выражается в градусах (и аналогично для р ⁽ ° ⁾ ).

Для эллипсоида WGS84 четверть меридиана

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }={\frac {\pi (a+b)}{4}}c_{0}=10\,001\,965.729{\mbox{ m.}}}$

Периметр меридианного эллипса равен 4 м _p = 2π ( a + b ) c ₀ . Следовательно,1/2( a + b ) c ₀ - это радиус окружности, длина окружности которой совпадает с периметром меридионального эллипса. Это определяет радиус выпрямления Земли как6 367 449, 146 м .

На эллипсоиде точное расстояние между параллелями в точках φ ₁ и φ ₂ равно m ( φ ₁ ) - m ( φ ₂ ) . Для WGS84 приблизительное выражение для расстояния Δ m между двумя параллелями под углом ± 0,5 ° от круга на широте φ дается выражением

${\displaystyle \Delta m=(111\,133-560\cos 2\varphi ){\mbox{ metres.}}}$

Обратная меридианная задача для эллипсоида [ править ]

В некоторых задачах нам нужно уметь решить обратную задачу: по заданному m определить φ . Это может быть решено методом Ньютона , повторяя

${\displaystyle \varphi _{i+1}=\varphi _{i}-{\frac {m(\varphi _{i})-m}{M(\varphi _{i})}}\,,}$

до схождения. Подходящее начальное предположение дается формулой φ ₀ = μ, где

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}{\frac {m}{m_{\mathrm {p} }}}}$

это выпрямляющая широта . Обратите внимание, что нет необходимости дифференцировать ряд для m ( φ ) , поскольку вместо этого может использоваться формула для меридионального радиуса кривизны M ( φ ) .

В качестве альтернативы, ряд Гельмерта для меридионального расстояния можно повернуть вспять и получить ^{[24] [25]}

${\displaystyle \varphi =\mu +H'_{2}\sin 2\mu +H'_{4}\sin 4\mu +H'_{6}\sin 6\mu +H'_{8}\sin 8\mu +\cdots }$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}H'_{2}&={\tfrac {3}{2}}n-{\tfrac {27}{32}}n^{3}+\cdots ,&H'_{6}&={\tfrac {151}{96}}n^{3}+\cdots ,\\H'_{4}&={\tfrac {21}{16}}n^{2}-{\tfrac {55}{32}}n^{4}+\cdots ,\qquad &H'_{8}&={\tfrac {1097}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

Точно так же ряд Бесселя для m через β можно обратить, чтобы получить ^[26]

${\displaystyle \beta =\mu +B'_{2}\sin 2\mu +B'_{4}\sin 4\mu +B'_{6}\sin 6\mu +B'_{8}\sin 8\mu +\cdots ,}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}B'_{2}&={\tfrac {1}{2}}n-{\tfrac {9}{32}}n^{3}+\cdots ,&B'_{6}&={\tfrac {29}{96}}n^{3}-\cdots ,\\B'_{4}&={\tfrac {5}{16}}n^{2}-{\tfrac {37}{96}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B'_{8}&={\tfrac {539}{1536}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

Лежандр ^[27] показал, что расстояние по геодезической на сфероиде такое же, как и расстояние по периметру эллипса. По этой причине выражение для m через β и обратное к нему, приведенное выше, играют ключевую роль в решении геодезической задачи с заменой m на s , расстоянием по геодезической и β, замененным на σ , длиной дуги на вспомогательная сфера. ^{[20] [28]} Необходимые ряды, расширенные до шестого порядка, даны Karney, ^[29] Eqs. (17) и (21), где ε играет роль n иτ играет роль μ .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн-расчет дуг меридианов на различных геодезических опорных эллипсоидах