В математике диаграмма Браттели - это комбинаторная структура: граф, состоящий из вершин, помеченных положительными целыми числами («уровень»), и неориентированных ребер между вершинами, уровни которых отличаются на единицу. Это понятие было введено Ола Браттели [1] в 1972 г. в теорию операторных алгебр для описания направленных последовательностей конечномерных алгебр: оно сыграло важную роль в классификации AF-алгебр Эллиотта и теории субфакторов . Впоследствии Анатолий Вершик связал динамические системы с бесконечными путями в таких графах. [2]
Определение
Диаграмма Браттели представлена следующими объектами:
- Последовательность множеств V п ( «вершины на уровне п ») , меченным положительное целое число множества N . В некоторой литературе каждый элемент v из V n сопровождается положительным целым числом b v > 0.
- Последовательность множеств E n ('ребра от уровня n до n + 1'), помеченная N , снабженная отображениями s : E n → V n и r : E n → V n +1 , такая что:
- Для каждого v в V n количество элементов e в E n с s ( e ) = v конечно.
- То же самое и с числом e ∈ E n −1 с r ( e ) = v .
- Когда вершины помечены положительными целыми числами b v , для числа a v , v ' ребер с s ( e ) = v и r ( e ) = v' для v ∈ V n и v '∈ V n +1 выполняется б v a v, v ' ≤ b v' .
Обычный способ графического представления диаграмм Браттели - выровнять вершины в соответствии с их уровнями и поставить число b v рядом с вершиной v или использовать это число вместо v , как в
- 1 = 2 - 3 - 4 ...
- \ 1 ∠ 1 ∠ 1 ....
Заказал Браттели - схема является схемой , Браттели вместе с частичным порядком на Е п такое , что для любого об ∈ V п множества { е ∈ Е п -1 : г ( е ) = v } вполне упорядочено. Ребра, которые не имеют общей вершины диапазона, несравнимы. Этот частичный порядок позволяет нам определить множество всех максимальных ребер E max и множество всех минимальных ребер E min . Диаграмма Браттели с единственным бесконечно длинным путем в E max и E min называется существенно простой . [3]
Последовательность конечномерных алгебр
Любая полупростая алгебра над комплексными числами C конечной размерности может быть выражена как прямая сумма ⊕ k M n k ( C ) матричных алгебр , и гомоморфизмы C -алгебр между двумя такими алгебрами с точностью до внутренних автоморфизмов с обеих сторон полностью определены числом кратности между компонентами «матричной алгебры». Таким образом, инъективный гомоморфизм ⊕ k = 1 i M n k ( C ) в l = 1 j M m l ( C ) может быть представлен набором положительных чисел a k , l, удовлетворяющих ∑ n k a k , l ≤ м л . (Равенство выполняется тогда и только тогда, когда гомоморфизм унитальный; мы можем допустить неинъективные гомоморфизмы, допустив, что некоторые a k , l равны нулю.) Это можно проиллюстрировать как двудольный граф, вершины которого отмечены числами ( n k ) к , с одной стороны , и те , отмеченные ( м л ) л , с другой стороны, и имеющим в K , L ребро между вершиной п к и вершине м л .
Таким образом, когда у нас есть последовательность конечномерных полупростых алгебр A n и инъективных гомоморфизмов φ n : A n ' → A n +1 : между ними, мы получим диаграмму Браттели, положив
- V n = набор простых компонентов A n
(каждая изоморфна матричной алгебре), отмеченная размером матриц.
- ( E n , r , s ): количество ребер между M n k ( C ) ⊂ A n и M m l ( C ) ⊂ A n +1 равно кратности M n k ( C ) в M m l ( C ) при φ n .
Последовательность расщепимых полупростых алгебр
Любая полупростая алгебра (возможно, бесконечной размерности) - это такая, модули которой полностью приводимы, т. Е. Они разлагаются в прямую сумму простых модулей . Позволять - цепь расщепляемых полупростых алгебр, и пусть - индексирующее множество для неприводимых представлений . Обозначим через неприводимый модуль, индексируемый . Из-за включения, любой -модуль ограничивается -модуль. Позволять обозначим числа разложения
Браттели диаграмма для цепи получается размещением одной вершины на каждый элемент на уровне и соединяя вершину на уровне к вершине на уровне с участием края.
Примеры
(1) Если , i-й симметрической группы , соответствующая диаграмма Браттели совпадает с решеткой Юнга . [ необходима цитата ]
(2) Если является алгеброй Брауэра или алгеброй Бирмана – Венца на i нитях, то полученная диаграмма Браттели имеет разбиения i –2 k (для) с одним ребром между разделами на соседних уровнях, если одно можно получить из другого путем добавления или вычитания 1 из одной части.
(3) Если является алгеброй Темперли – Либа на i нитях, полученный Браттели имеет целые числа i –2 k (для) с одним ребром между целыми числами на смежных уровнях, если одно можно получить из другого путем добавления или вычитания 1.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Браттели Ола (1972). «Индуктивные пределы конечномерных C * -алгебр» . Пер. Амер. Математика. Soc . 171 : 195–234. DOI : 10,1090 / s0002-9947-1972-0312282-2 . Zbl 0264.46057 .
- ^ Вершик А.М. (1985). «Теорема о марковском периодическом приближении в эргодической теории». J. Sov. Математика . 28 : 667–674. DOI : 10.1007 / bf02112330 . Zbl 0559.47006 .
- ^ Герман, Ричард Х .; Putnam, Ян Ф .; Скау, Кристиан Ф. (1992). «Упорядоченные диаграммы Браттели, группы размерностей и топологическая динамика». Международный математический журнал . 3 (6): 827–864. DOI : 10.1142 / S0129167X92000382 .
- Халверсон, Том; Рам, Арун (1995). «Характеры алгебр, содержащих базовую конструкцию Джонса: алгебры Темперли-Либа, Окада, Брауэра и Бирмана – Венцля». Adv. Математика. 116 (2): 263–321. DOI : 10,1006 / aima.1995.1068 . ISSN 0001-8708 . Zbl 0856.16038 .
- Дэвидсон, Кеннет Р. (1996). C * -алгебры на примере . Монографии Института Филдса. 6 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0599-1. Zbl 0958.46029 .
- Рёрдам, Микаэль; Ларсен, Флемминг; Лаустсен, Нильс (2000). Введение в K-теорию C * -алгебр . Тексты студентов Лондонского математического общества. 49 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-78334-8. Zbl 0967.19001 .
- Дюран, Фабьен (2010). «6. Комбинаторика на диаграммах Браттели и динамических системах». В Берте, Валери ; Риго, Майкл (ред.). Комбинаторика, автоматы и теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. 135 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . С. 324–372. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1272.37006 .