В математике алгебра Брауэра - это алгебра, введенная Ричардом Брауэром ( 1937 , раздел 5) и используемая в теории представлений ортогональной группы . Он играет ту же роль, что и симметрическая группа для теории представлений полной линейной группы в двойственности Шура – Вейля .
Определение
Что касается диаграмм
Алгебра Брауэра это -алгебра в зависимости от выбора натурального числа n . Здесь является неопределенным, но на практике часто специализируются на измерение фундаментального представления о качестве ортогональной группы . Алгебра Брауэра имеет размерность и имеет основу, состоящую из всех пар на множестве элементы (то есть, все совершенные паросочетания из более полного графа : любые два из элементы могут быть сопоставлены друг с другом, независимо от их символов). Элементы обычно пишутся подряд, с элементами под ними. Произведение двух основных элементов а также получается путем первой идентификации конечных точек в нижнем ряду и верхний ряд (Рисунок AB на диаграмме), затем удаление конечных точек в средней строке и соединение конечных точек в оставшихся двух строках, если они соединены напрямую или путем пути в AB (рисунок AB = nn на диаграмме). Тем самым удаляются все замкнутые петли в середине AB . Продукт базисных элементов затем определяется как базовый элемент, соответствующий новой паре, умноженный на где - количество удаленных петель. В примере.
С точки зрения генераторов и отношений
также можно определить как -алгебра с образующими удовлетворяющие следующим соотношениям:
- Отношения симметрической группы :
- в любое время
- Почти идемпотентное отношение:
- Коммутация:
- в любое время
- Клубок отношений
- Раскрутка:
- :
В этой презентации представляет диаграмму, на которой всегда подключен к прямо под ним, за исключением а также которые связаны с ответ соответственно. по аналогии представляет диаграмму, на которой всегда подключен к прямо под ним, за исключением будучи связан с а также к .
Характеристики
Подалгебра, порожденная является групповой алгеброй симметрической группы. Алгебра Брауэра - клеточная алгебра .
Действие на тензорные степени
Позволять быть евклидовым векторным пространством размерности. Затем написать по специализации где действует на умножением на . Тензор мощности естественно - модуль : действует путем переключения й и тензорный фактор и действует путем сжатия с последующим расширением в й и тензорный фактор, т.е. выступает в качестве
где любой ортонормированный базис (сумма фактически не зависит от выбора такой основы).
Это действие полезно в обобщении двойственности Шура-Вейля : образ внутри точно централизатор внутри и наоборот. Тензорная мощность поэтому одновременно - и -модуль и удовлетворяет
где пробегает по определенным разделам и неприводимые - а также -модуль, связанный с соответственно.
Ортогональная группа
Если O d ( R ) - ортогональная группа, действующая на V = R d , то алгебра Брауэра имеет естественное действие на пространстве многочленов на V n, коммутирующее с действием ортогональной группы.
Смотрите также
- Алгебра Бирмана – Венцля , деформация алгебры Брауэра.
Рекомендации
- Брауэра, Ричард (1937), "Об алгебр , которые связаны с Полупростыми непрерывными группами", Анналы математики , второй серия, Annals математики, 38 (4): 857-872, да : 10,2307 / 1968843 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1968843
- Wenzl, Ганс (1988), "О структуре центрирующих алгебр Брауэра", Анналы математики , второй серии, 128 (1): 173-193, DOI : 10,2307 / 1971466 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971466 , МР 0951511
- Вейль, Герман (1946), Классические группы: их инварианты и представления , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255 , получено 26 марта 2007 г.