Двойственность Шура – Вейля - это математическая теорема в теории представлений, которая связывает неприводимые конечномерные представления общих линейных и симметрических групп. Он назван в честь двух пионеров теории представлений групп Ли , Иссая Шура , открывшего это явление, и Германа Вейля , популяризировавшего его в своих книгах по квантовой механике и классическим группам как способ классификации представлений унитарных и общих линейных групп.
Двойственность Шура – Вейля может быть доказана с помощью теоремы о двойном централизаторе . [1]
Описание
Двойственность Шура – Вейля образует архетипическую ситуацию в теории представлений, включающую два вида симметрии, которые определяют друг друга. Рассмотрим тензорное пространство
- с k факторами.
Симметричная группа S к на K буквах действует на этом пространстве (слева) перестановки факторов,
Общая линейная группа GL n обратимых матриц размера n × n действует на ней одновременным умножением матриц ,
Эти два действия коммутируют , и в своей конкретной форме двойственность Шура – Вейля утверждает, что при совместном действии групп S k и GL n тензорное пространство распадается на прямую сумму тензорных произведений неприводимых модулей (для этих двух групп ), которые фактически определяют друг друга,
Слагаемые индексируются диаграммами Юнга D с k блоками и не более чем n строками, а представлениямножества S k с разными D взаимно неизоморфны, и то же самое верно для представленийиз GL п .
Абстрактная форма двойственности Шура – Вейля утверждает, что две алгебры операторов на тензорном пространстве, порожденные действиями групп GL n и S k, являются полными взаимными централизаторами в алгебре эндоморфизмов
Пример
Предположим, что k = 2 и n больше единицы. Тогда двойственность Шура – Вейля - это утверждение, что пространство двух-тензоров распадается на симметричную и антисимметричную части, каждая из которых является неприводимым модулем для GL n :
Симметричная группа S 2 состоит из двух элементов , и имеет два неприводимых представления, то тривиальное представление и представление знака . Тривиальное представление S 2 порождает симметричные тензоры, которые инвариантны (т.е. не изменяются) относительно перестановки факторов, а знаковое представление соответствует кососимметричным тензорам, которые меняют знак.
Доказательство
Сначала рассмотрим следующую схему:
- G конечная группа ,
- групповая алгебра группы G ,
- конечномерный правый A -модуль и
- , который действует на U слева и коммутирует с правым действием группы G (или A ). Другими словами, является централизатором в кольце эндоморфизмов .
В доказательстве используются две алгебраические леммы.
Лемма 1 - [2] Еслиявляется простым левым A -модулем, тоявляется простым левым B -модулем.
Доказательство : Так как U является полупрост по теореме Машке , существует разложениена простые A -модули. потом. Поскольку A - левое регулярное представление группы G , каждый простой G -модуль входит в A, и мы имеем (соответственно нулевой) тогда и только тогда, когда соответствуют тому же простому множителю A (соответственно в противном случае). Следовательно, мы имеем: Теперь легко увидеть, что каждый ненулевой вектор в порождает все пространство как B -модуль, и поэтомуэто просто. (В общем случае ненулевой модуль является простым тогда и только тогда, когда каждый его ненулевой циклический подмодуль совпадает с модулем.)
Лемма 2 - [3] Когдаа G - симметрическая группа, подпространство является B -подмодулем тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно; другими словами, B -подмодуль - это то же самое, что и-подмодуль.
Доказательство : Пусть. В. Кроме того, образ W охватывает подпространство симметричных тензоров. С, образ пролеты . Сплотно в W либо в евклидовой топологии, либо в топологии Зарисского, следует утверждение.
Отсюда следует двойственность Шура – Вейля. Мы принимаем быть симметрической группой и д -й тензор мощности конечного-мерного комплексного векторного пространства V .
Позволять обозначим неприводимый -представление, соответствующее разбиению а также . Тогда по лемме 1
неприводимо как -модуль. Более того, когда- левое полупростое разложение, имеем: [4]
- ,
которое является полупростым разложением как -модуль.
Заметки
- ^ Этингоф, Павел; Гольберг, Олег; Хенсель, Себастьян; Лю, Тянькай; Швенднер, Алекс; Вайнтроб Дмитрий; Юдовина, Елена (2011), Введение в теорию представлений. С историческими интермедиями Славы Геровича , Zbl 1242.20001, Теорема 5.18.4
- ^ Фултон и Харрис , лемма 6.22.
- ^ Фултон и Харрис , лемма 6.23.
- ^ Фултон и Харрис , теорема 6.3. (2), (4)
Рекомендации
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 .
- Роджер Хоу , Перспективы теории инвариантов: двойственность Шура, действия без множественности и не только . Лекции Шура (1992) (Тель-Авив), 1–182, Israel Math. Конф. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995. MR.1321638
- Issai Schur , Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen . Диссертация. Берлин. 76 S (1901) JMF 32.0165.04
- Issai Schur , Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe . Sitzungsberichte Akad. Берлин 1927, 58–75 (1927) JMF 53.0108.05
- Сенгупта, Амбар Н. (2012). «Глава 10: Двойственность характера». Представление конечных групп, полупростое введение . Springer. ISBN 978-1-4614-1232-8. OCLC 875741967 .
- Герман Вейль , Классические группы. Их инварианты и представления . Princeton University Press, Princeton, NJ, 1939. xii + 302 стр. MR0000255
Внешние ссылки
- Как конструктивно / комбинаторно доказать двойственность Шура-Вейля?