В математике , что классические группы определяются как специальные линейные группы над полем действительных чисел R , в комплексные числа C и кватернионов H вместе с особыми [1] группы автоморфизмов из симметричных или кососимметрических билинейных форм и эрмитовой или косоэрмитовых форм полуторалинейных определены на вещественных, комплексных и кватернионных конечномерных векторных пространствах. [2] Из них комплексные классические группы Ли представляют собой четыре бесконечных семействаГруппы Ли, которые вместе с исключительными группами исчерпывают классификацию простых групп Ли . В компактных классических группах являются компактными вещественными формами комплексных классических групп. Конечными аналогами классических групп являются классические группы лиева типа . Термин «классическая группа» был введен Германом Вейлем в название его монографии «Классические группы» 1939 года . [3]
Классические группы составляют наиболее глубокую и полезную часть предмета линейных групп Ли. [4] Большинство типов классических групп находят применение в классической и современной физике. Вот несколько примеров. Группа вращений SO (3) является симметрией евклидова пространства и всех фундаментальных законов физики, группа Лоренца O (3,1) является группа симметрии пространства - времени в специальной теории относительности . Специальная унитарная группа SU (3) является группа симметрии квантовой хромодинамики и симплектической группа Sp ( м ) находит применение в гамильтоновой механике и квантовой механике версий.
Классические группы
В классических группах в точности общих линейных группы над R , C и H вместе с группами автоморфизмов невырожденных форм , обсуждаемыми ниже. [5] Эти группы обычно дополнительно ограничиваются подгруппами, элементы которых имеют определитель 1, так что их центры дискретны. Классические группы с условием детерминанта 1 перечислены в таблице ниже. В дальнейшем условие определителя 1 не используется последовательно в интересах большей общности.
Имя | Группа | Поле | Форма | Максимальная компактная подгруппа | Алгебра Ли | Корневая система |
---|---|---|---|---|---|---|
Специальная линейная | SL ( n , R ) | р | - | SO ( n ) | ||
Комплексный специальный линейный | SL ( n , C ) | C | - | СУ ( п ) | Сложный | |
Кватернионный специальный линейный | SL ( n , H ) = SU ∗ (2 n ) | ЧАС | - | Sp ( п ) | ||
(Неопределенный) специальный ортогональный | SO ( p , q ) | р | Симметричный | S (O ( p ) × O ( q )) | ||
Сложные специальные ортогональные | SO ( n , C ) | C | Симметричный | SO ( n ) | Сложный | |
Симплектический | Sp ( n , R ) | р | Кососимметричный | U ( n ) | ||
Комплексный симплектический | Sp ( n , C ) | C | Кососимметричный | Sp ( п ) | Сложный | |
(Неопределенный) специальный унитарный | SU ( p , q ) | C | Эрмитский | S (U ( p ) × U ( q )) | ||
(Неопределенный) кватернионный унитарный | Sp ( p , q ) | ЧАС | Эрмитский | Sp ( p ) × Sp ( q ) | ||
Кватернионный ортогональный | SO * (2 п ) | ЧАС | Косоэрмитский | SO (2 п ) |
В сложных классических группах являются SL ( п , С ) , SO ( п , С ) и Sp ( п , С ) . Группа сложна в зависимости от того, комплексна ли ее алгебра Ли. В настоящих классических группах относятся ко всем из классических групп , поскольку любая алгебра Ли является вещественной алгеброй. В компактных классических группах являются компактными вещественными формами комплексных классических групп. Это, в свою очередь, SU ( n ) , SO ( n ) и Sp ( n ) . Одна характеристика компактной вещественной формы дана в терминах алгебры Ли g . Если г = у + я у , то комплексификация из U , и если связная группа K порождается {ехр ( X ): X ∈ U } компактно, то К является компактной вещественной формой. [6]
Классические группы можно единообразно охарактеризовать по-разному, используя реальные формы . Классические группы (здесь с условием определителя 1, но это не обязательно) следующие:
- Комплексные линейные алгебраические группы SL ( n , C ), SO ( n , C ) и Sp ( n , C ) вместе с их вещественными формами . [7]
Например, SO ∗ (2 n ) - вещественная форма SO (2 n , C ) , SU ( p , q ) - вещественная форма SL ( n , C ) , а SL ( n , H ) - вещественная форма. форма SL (2 n , C ) . Без условия определителя 1 заменить специальные линейные группы соответствующими общими линейными группами в характеризации. Рассматриваемые алгебраические группы являются группами Ли, но «алгебраический» определитель необходим, чтобы получить правильное понятие «действительной формы».
Билинейные и полуторалинейные формы
Классические группы определены в терминах форм , определенных на R п , С п и Н п , где Р и С являются полями этих реальных и комплексных чисел . В кватернионах , Н , не представляют собой поле , так как умножение не коммутирует; они образуют кольцо с разделением или перекосом поля или некоммутативное поле . Однако по-прежнему можно определять матричные кватернионные группы. По этой причине векторное пространство V может быть определено над R , C , а также над H ниже. В случае H , V является правом векторного пространства , чтобы сделать возможным представление действия группы в качестве матричного умножения с левым , так же , как и для R и C . [8]
Форма φ : V × V → F на некотором конечномерном правом векторном пространстве над F = R , C или H является билинейной, если
- и если
Она называется полуторалинейной, если
- и если :
Эти условности выбраны потому, что они работают во всех рассмотренных случаях. Автоморфизм из ф является отображением Α в множестве линейных операторов на V таким образом, что
( 1 )
Множество всех автоморфизмов φ образуют группу, она называется группой автоморфизмов φ и обозначается Aut ( φ ) . Это приводит к предварительному определению классической группы:
- Классическая группа представляет собой группу , которая сохраняет билинейной или полуторалинейная форма на конечномерных векторных пространств над R , C или H .
Это определение имеет некоторую избыточность. В случае F = R билинейность эквивалентна полуторалинейной. В случае F = H ненулевых билинейных форм нет. [9]
Симметричные, кососимметричные, эрмитовы и косоэрмитовы формы
Форма симметрична, если
Он кососимметричен, если
Это эрмитово, если
Наконец, он косоэрмитов, если
Билинейная форма φ однозначно является суммой симметричной формы и кососимметричной формы. Преобразование, сохраняющее φ, сохраняет обе части по отдельности. Таким образом, группы, сохраняющие симметричную и кососимметричную формы, можно изучать отдельно. То же самое относится, mutatis mutandis, к эрмитовым и косоэрмитовым формам. По этой причине в целях классификации рассматриваются только чисто симметричные, кососимметричные, эрмитовы или косоэрмитовы формы. В нормальных формах этих форм соответствуют определенным подходящим вариантам оснований. Это базы, дающие в координатах следующие нормальные формы:
J в косоэрмитах формы является третьим элементом в основе основе ( 1 , я , J , K ) для H . Доказательство существования этих оснований и закона инерции Сильвестра , независимости количества знаков плюс и минус, p и q , в симметричной и эрмитовой формах, а также наличия или отсутствия полей в каждом выражении, можно найти у Rossmann (2002) или Goodman & Wallach (2009) . Пара ( p , q ) , а иногда и p - q называется сигнатурой формы.
Объяснение появления полей R , C , H : Нетривиальных билинейных форм над H нет . В симметричном билинейном случае сигнатуру имеют только формы над R. Другими словами, сложная билинейная форма с «сигнатурой» ( p , q ) может быть приведена путем изменения базиса к форме, в которой все знаки равны « + » в приведенном выше выражении, тогда как в реальном случае это невозможно. , в котором p - q не зависит от базиса в таком виде. Однако эрмитовы формы имеют сигнатуру, не зависящую от базиса, как в сложном, так и в кватернионном случае. (Реальный случай сводится к симметричному случаю.) Косоэрмитова форма на комплексном векторном пространстве становится эрмитовой путем умножения на i , поэтому в этом случае интересна только H.
Группы автоморфизмов
В первом разделе представлена общая структура. Другие разделы исчерпывают качественно различные случаи , которые возникают в группах автоморфизмов билинейной и полуторалинейных форм на конечномерных векторных пространств над R , C и H .
Aut ( φ ) - группа автоморфизмов
Предположим , что φ является невырожденной формой на конечномерном векторном пространстве V над R , C или H . Группа автоморфизмов определяется на основании условия ( 1 ) как
Каждый A ∈ M n ( V ) имеет сопряженный A φ относительно φ, определяемый формулой
( 2 )
Используя это определение в условии ( 1 ), видно, что группа автоморфизмов задается формулой
- [10]
( 3 )
Закрепить основу для V . Исходя из этого, положим
где ξ i , η j - компоненты x , y . Это подходит для билинейных форм. Полуторные формы имеют похожие выражения и позже будут рассматриваться отдельно. В матричных обозначениях находим
а также
- [11]
( 4 )
из ( 2 ) где Φ - матрица ( φ ij ) . Условие невырожденности означает в точности обратимость Φ , поэтому сопряженный всегда существует. Aut ( φ ) выражается как
Алгебра Ли aut ( φ ) групп автоморфизмов записывается немедленно. Абстрактно X ∈ aut ( φ ) тогда и только тогда, когда
для всех t , что соответствует условию в ( 3 ) при экспоненциальном отображении алгебр Ли, так что
или в основе
( 5 )
как видно из разложения в степенной ряд экспоненциального отображения и линейности задействованных операций. Наоборот, предположим, что X ∈ aut ( φ ) . Тогда, используя полученный выше результат, φ ( Xx , y ) = φ ( x , X φ y ) = -φ ( x , Xy ) . Таким образом, алгебру Ли можно охарактеризовать без ссылки на базис или присоединенный элемент, как
Нормальная форма для φ будет дана для каждой классической группы ниже. Из этой нормальной формы матрица Φ может быть считана напрямую. Следовательно, выражения для присоединенной алгебры и алгебры Ли могут быть получены с использованием формул ( 4 ) и ( 5 ). Ниже это демонстрируется в большинстве нетривиальных случаев.
Билинейный случай
Когда форма симметрична, Aut ( φ ) называется O ( φ ) . Когда он кососимметричный, Aut ( φ ) называется Sp ( φ ) . Это касается реальных и сложных случаев. Кватернионный случай пуст, поскольку на кватернионных векторных пространствах не существует ненулевых билинейных форм. [12]
Реальный случай
Реальный случай распадается на два случая: симметричную и антисимметричную, которые следует рассматривать отдельно.
O ( p , q ) и O ( n ) - ортогональные группы
Если φ симметрично, а векторное пространство вещественно, можно выбрать базис так, чтобы
Количество знаков плюс и минус не зависит от конкретного основания. [13] В случае V = R n пишут O ( φ ) = O ( p , q ), где p - количество знаков плюс, q - количество знаков минус, p + q = n . Если q = 0, обозначение O ( n ) . Матрица Φ в этом случае
после переупорядочивания основы при необходимости. Тогда сопряженная операция ( 4 ) принимает вид
который сводится к обычному транспонированию, когда p или q равно 0. Алгебра Ли находится с использованием уравнения ( 5 ) и подходящего анзаца (это подробно описано для случая Sp ( m , R ) ниже),
а группа согласно ( 3 ) имеет вид
Группы O ( p , q ) и O ( q , p ) изоморфны через отображение
Например, алгебра Ли группы Лоренца может быть записана как
Естественно, можно переставить так, чтобы q -блок находился в верхнем левом углу (или любом другом блоке). Здесь «компонент времени» оказывается четвертой координатой в физической интерпретации, а не первой, как может быть более распространено.
Sp ( m , R) - вещественная симплектическая группа
Если φ кососимметрично, а векторное пространство вещественно, существует базис, дающий
где n = 2 м . Для Aut ( φ ) пишут Sp ( φ ) = Sp ( V ). В случае V = R n = R 2 m пишут Sp ( m , R ) или Sp (2 m , R ) . Из нормальной формы читают
Сделав анзац
где X , Y , Z , W - m -мерные матрицы и с учетом ( 5 )
находят алгебру Ли Sp ( m , R ) ,
и группа задается
Сложный случай
Как и в реальном случае, есть два случая, симметричный и антисимметричный, каждый из которых дает семейство классических групп.
O ( n , C) - комплексная ортогональная группа
Если случай φ симметричен, а векторное пространство комплексное, базис
могут использоваться только знаки плюса. Группа автоморфизмов в случае V = C n называется O (n, C ) . Алгебра Ли - это просто частный случай алгебры o ( p , q ) ,
и группа задается
С точки зрения классификации простых алгебр Ли , то так ( п ) разделены на два класса, те с п нечетно с корневой системой B н и н даже с корневой системой D н .
Sp ( m , C) - комплексная симплектическая группа
Для кососимметричных φ и комплекса векторных пространств та же формула
применяется как в реальном случае. Для Aut ( φ ) пишут Sp ( φ ) = Sp ( V ). В случае V = ℂ n = ℂ 2 m пишут Sp ( m , ℂ) или Sp (2 m , ℂ) . Алгебра Ли параллельна алгебре sp ( m , ℝ) ,
и группа задается
Полуторалинейный случай
В случае секвилинейной формы мы применяем несколько иной подход к форме с точки зрения основы:
Другие изменяемые выражения:
- [14]
( 6 )
Реальный случай, конечно же, не дает ничего нового. Комплексный и кватернионный случай будут рассмотрены ниже.
Сложный случай
С качественной точки зрения рассмотрение косоэрмитовых форм (с точностью до изоморфизма) не дает новых групп; умножение на i делает косоэрмитову форму эрмитовой, и наоборот. Таким образом, необходимо рассматривать только эрмитов случай.
U ( p , q ) и U ( n ) - унитарные группы
Невырожденная эрмитова форма имеет нормальную форму
Как и в билинейном случае, сигнатура ( p , q ) не зависит от базиса. Группа автоморфизмов обозначается U ( V ) или, в случае V = C n , U ( p , q ) . Если q = 0, используется обозначение U ( n ) . В этом случае Φ принимает вид
а алгебра Ли задается формулой
Группа представлена
- где g - общая комплексная матрица размера nxn и определяется как сопряженное транспонирование g, что физики называют .
Для сравнения, унитарная матрица U (n) определяется как
Отметим, что такой же как
Кватернионный случай
Пространство Н п рассматриваются как правое векторное пространство над H . Таким образом, ( В.Х. ) = ( Ав ) ч для кватернионов ч , колонка кватернионов вектор об и кватернионов матрицы A . Если бы H n было левым векторным пространством над H , то для сохранения линейности потребовалось бы умножение матриц справа на векторы-строки. Это не соответствует обычной линейной операции группы в векторном пространстве, когда задан базис, то есть матричное умножение слева на векторах-столбцах. Таким образом , V отныне правое векторное пространство над H . Тем не менее , следует соблюдать осторожность в связи с некоммутативном характер Н . Детали (в основном очевидные) пропускаются, поскольку будут использоваться сложные представления.
Имея дело с кватернионными группами, кватернионы удобно представлять с помощью комплексных 2 × 2-матриц ,
- [15]
( 7 )
В этом представлении кватернионное умножение становится матричным умножением, а кватернионное сопряжение становится эрмитово сопряженным. Более того, если кватернион в соответствии с комплексным кодированием q = x + j y задан как вектор-столбец ( x , y ) T , то умножение слева на матричное представление кватерниона дает новый вектор-столбец, представляющий правильный кватернион. . Это представление немного отличается от более общего представления, найденного в статье о кватернионе . Более распространенное соглашение заставит умножение справа на матрице строк для достижения того же самого.
Кстати, из приведенного выше представления ясно, что группа единичных кватернионов ( α α + β β = 1 = det Q ) изоморфна SU (2) .
Кватернионные n × n -матрицы могут, в очевидном расширении, быть представлены блочными матрицами 2 n × 2 n комплексных чисел. [16] Если кто-то согласен представить кватернионный вектор-столбец n × 1 вектором-столбцом 2 n × 1 с комплексными числами в соответствии с кодировкой, приведенной выше, причем верхние n чисел являются α i, а нижние n - β i , тогда кватернионная n × n -матрица становится комплексной 2 n × 2 n -матрицей в точности указанного выше вида, но теперь с α и β n × n -матрицами. Более формально
( 8 )
Матрица T ∈ GL (2 n , C ) имеет вид, указанный в ( 8 ), тогда и только тогда, когда J n T = TJ n . С этими отождествлениями,
Пространство M n ( H ) ⊂ M 2 n ( C ) является вещественной алгеброй, но не является комплексным подпространством в M 2 n ( C ) . Умножение (слева) на i в M n ( H ) с использованием кватернионного умножения по элементам и последующее отображение на изображение в M 2 n ( C ) дает другой результат, чем умножение по элементам на i непосредственно в M 2 n ( C ) . Правила кватернионного умножения дают i ( X + j Y ) = ( i X ) + j (- i Y ), где новые X и Y находятся внутри скобок.
Действие кватернионных матриц на кватернионные векторы теперь представлено комплексными величинами, но в остальном оно такое же, как для «обычных» матриц и векторов. Таким образом, кватернионные группы вкладываются в M 2 n ( C ), где n - размерность кватернионных матриц.
Определитель кватернионной матрицы определяется в этом представлении как обычный комплексный определитель ее репрезентативной матрицы. Некоммутативный характер кватернионного умножения в кватернионном представлении матриц был бы неоднозначным. Способ вложения M n ( H ) в M 2 n ( C ) не единственный, но все такие вложения связаны через g ↦ AgA −1 , g ∈ GL (2 n , C ) для A ∈ O (2 n , C ) , не влияя на детерминант. [17] Имя SL ( n , H ) в этом комплексном обличье - SU ∗ (2 n ) .
В отличие от случая C , как эрмитов, так и косоэрмитов случай вносят что-то новое при рассмотрении H , поэтому эти случаи рассматриваются отдельно.
GL ( n , H) и SL ( n , H)
Под указанным выше обозначением
Его алгебра Ли gl ( n , H ) - это множество всех матриц в образе отображения M n ( H ) ↔ M 2 n ( C ), приведенного выше,
Кватернионная специальная линейная группа задается формулой
где определитель берется на матрицах из C 2 n . В качестве альтернативы его можно определить как ядро определителя Дьедонне . Алгебра Ли
Sp ( p , q ) - кватернионная унитарная группа
Как и выше в сложном случае, нормальная форма имеет вид
и количество плюсов не зависит от основания. Когда V = H n с этой формой, Sp ( φ ) = Sp ( p , q ) . Причина для обозначения состоит в том, что группа может быть представлена, используя вышеуказанный рецепт, как подгруппу Sp ( n , C ), сохраняющую комплексно-эрмитову форму подписи (2 p , 2 q ) [18] Если p или q = 0 группа обозначается U ( n , H ) . Иногда ее называют гиперунитарной группой .
В кватернионной записи
означает, что кватернионные матрицы вида
( 9 )
удовлетворит
см. раздел о u ( p , q ) . Следует проявлять осторожность при работе с умножением кватернионных матриц, но здесь задействованы только I и - I , и они коммутируют с каждой матрицей кватернионов. Теперь примените рецепт ( 8 ) к каждому блоку,
и соотношения ( 9 ) будут выполнены, если
Алгебра Ли становится
Группа представлена
Возвращаясь к нормальной форме ф ( ш , г ) для Sp ( р , д ) , сделать замены W → U + JV и г → х + JY с U, V, X, Y ∈ C н . потом
рассматривается как H -значная форма на C 2 n . [19] Таким образом, элементы Sp ( p , q ) , рассматриваемые как линейные преобразования C 2 n , сохраняют как эрмитову форму сигнатуры (2 p , 2 q ), так и невырожденную кососимметричную форму. Обе формы принимают чисто комплексные значения и из-за префактора j второй формы они сохраняются отдельно. Это значит, что
и это объясняет как название группы, так и обозначения.
O ∗ (2 n ) = O ( n , H) - кватернионная ортогональная группа
Нормальная форма для косоэрмитовой формы дается формулой
где j - третий базисный кватернион в упорядоченном листинге ( 1 , i , j , k ) . В этом случае Aut ( φ ) = O ∗ (2 n ) может быть реализовано с использованием описанного выше комплексного матричного кодирования как подгруппа O (2 n , C ), которая сохраняет невырожденную комплексную косоэрмитову форму подпись ( n , n ) . [20] Из нормальной формы видно, что в кватернионной нотации
а из ( 6 ) следует, что
( 9 )
для V ∈ o (2 n ) . Теперь положите
по рецепту ( 8 ). Тот же рецепт дает для Φ ,
Теперь последнее условие в ( 9 ) в комплексных обозначениях имеет вид
Алгебра Ли становится
и группа задается
Группу SO ∗ (2 n ) можно охарактеризовать как
- [21]
где отображение θ : GL (2 n , C ) → GL (2 n , C ) определяется формулой g ↦ - J 2 n gJ 2 n . Кроме того, форму, определяющую группу, можно рассматривать как H- значную форму на C 2 n . [22] Сделайте замены x → w 1 + iw 2 и y → z 1 + iz 2 в выражении для формы. потом
Форма φ 1 является эрмитовой (в то время как первая форма в левой части косоэрмитова) сигнатуры ( n , n ) . Сигнатура становится очевидной заменой базиса с ( e , f ) на (( e + i f ) / √ 2 , ( e - i f ) / √ 2 ), где e , f - первый и последний n базисных векторов. соответственно. Вторая форма, φ 2, является симметричной положительно определенной. Таким образом, благодаря множителю j , O ∗ (2 n ) сохраняет как по отдельности, так и можно сделать вывод, что
и поясняется обозначение «O».
Классические группы над общими полями или алгебрами
Классические группы, более широко рассматриваемые в алгебре, представляют собой особенно интересные матричные группы . Когда поле коэффициентов F группы матриц представляет собой действительные или комплексные числа, эти группы являются просто классическими группами Ли. Когда основное поле является конечным полем , классические группы являются группами лиева типа . Эти группы играют важную роль в классификации конечных простых групп . Также можно рассматривать классические группы над унитальной ассоциативной алгеброй R над F ; где R = H (алгебра над вещественными числами) представляет собой важный случай. Для общности статья будет относиться к группам над R , где R может быть самим основным полем F.
Учитывая их абстрактную теорию групп, многие линейные группы имеют " особую " подгруппу, обычно состоящую из элементов определителя 1 над основным полем, и большинство из них имеют связанные " проективные " факторы, которые являются факторами по центру группы. . Для ортогональных групп в характеристике 2 "S" имеет другое значение.
Слово « общий » перед названием группы обычно означает, что группе разрешено умножать какую-либо форму на константу, а не оставлять ее фиксированной. Нижний индекс n обычно указывает размер модуля, на который действует группа; это векторное пространство , если R = F . Предостережение: это обозначение несколько противоречит n диаграмм Дынкина, то есть рангу.
Общие и специальные линейные группы
Линейная группа GL п ( R ) является группой всех R - линейных автоморфизмов R н . Существует подгруппа: специальная линейная группа SL n ( R ) и их факторы: проективная общая линейная группа PGL n ( R ) = GL n ( R ) / Z (GL n ( R )) и проективная специальная линейная группа PSL n ( R ) = SL n ( R ) / Z (SL n ( R )). Проективная специальная линейная группа PSL n ( F ) над полем F проста при n ≥ 2, за исключением двух случаев, когда n = 2 и поле имеет порядок [ требуется пояснение ] 2 или 3.
Унитарные группы
Унитарная группа U п ( R ) представляет собой группа , сохраняя полуторалинейную форму на модуле. Существует подгруппа, специальная унитарная группа SU n ( R ) и их факторы, проективная унитарная группа PU n ( R ) = U n ( R ) / Z (U n ( R )) и проективная специальная унитарная группа PSU n ( R ) = SU n ( R ) / Z (SU n ( R ))
Симплектические группы
Симплектическая группа Sp 2 п ( R ) сохраняет перекос симметричной формы на модуле. У него есть фактор- проективная симплектическая группа PSp 2 n ( R ). Общая симплектическая группа GSp 2 п ( R ) состоит из автоморфизмов модуля умножения перекоса симметричной формы с помощью некоторого обратимого скаляра. Проективная симплектическая группа PSp 2 n ( F q ) над конечным полем проста при n ≥ 1, за исключением случаев PSp 2 над полями из двух и трех элементов.
Ортогональные группы
Ортогональная группа О п ( R ) сохраняет невырожденную квадратичную форму на модуле. Существует подгруппа, специальная ортогональная группа SO n ( R ) и факторы, проективная ортогональная группа PO n ( R ) и проективная специальная ортогональная группа PSO n ( R ). В характеристике 2 определитель всегда равен 1, поэтому специальную ортогональную группу часто определяют как подгруппу элементов инварианта Диксона 1.
Существует безымянная группа, часто обозначаемая Ω n ( R ), состоящая из элементов ортогональной группы элементов спинорной нормы 1, с соответствующей подгруппой и фактор-группами SΩ n ( R ), PΩ n ( R ), PSΩ n ( R ). (Для положительно определенных квадратичных форм над вещественными числами группа Ω совпадает с ортогональной группой, но в целом меньше.) Существует также двойное покрытие Ω n ( R ), называемое группой контактов Pin n ( R ), и в ней есть подгруппа, называемая спиновой группой Spin n ( R ). Вообще ортогональная группа GO п ( R ) состоит из автоморфизмов модуля умножения квадратичной формы с помощью некоторого обратимого скаляра.
Условные обозначения
Противоположность исключительным группам Ли
В отличие от классических групп Ли, исключительные группы Ли G 2 , F 4 , E 6 , E 7 , E 8 имеют общие абстрактные свойства, но не общие черты. [23] Они были обнаружены только около 1890 г. при классификации простых алгебр Ли над комплексными числами Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном .
Заметки
- ^ Здесь под специальным понимается подгруппа полной группы автоморфизмов, элементы которой имеют определитель 1.
- ^ Rossmann 2002 р. 94.
- ^ Вейль 1939
- ^ Rossmann 2002 р. 91.
- ^ Россманн 2002 стр, 94
- ^ Rossmann 2002 р. 103.
- ↑ Goodman & Wallach 2009 См. Конец главы 1.
- ^ Россманн 2002 стр . 93.
- ^ Rossmann 2002 р. 105
- ^ Rossmann 2002 р. 91
- ^ Rossmann 2002 р. 92
- ^ Rossmann 2002 р. 105
- ^ Rossmann 2002 р. 107.
- ^ Rossmann 2002 р. 93
- ^ Rossmann 2002 р. 95.
- ^ Rossmann 2002 р. 94.
- ^ Goodman & Wallach 2009 Упражнение 14, раздел 1.1.
- ^ Rossmann 2002 р. 94.
- ^ Goodman & Wallach 2009 Упражнение 11, Глава 1.
- ^ Rossmann 2002 р. 94.
- ^ Goodman & Уоллы 2009 с.11.
- ^ Goodman & Wallach 2009 Упражнение 12 Глава 1.
- ^ Wybourne, BG (1974). Классические группы для физиков , Wiley-Interscience. ISBN 0471965057 .
Рекомендации
- Э. Артин (1957) Геометрическая алгебра , Interscience
- Дьедонне, Жан (1955), La géométrie des groupes classiques , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (NF), Heft 5, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-05391-2, Руководство по ремонту 0072144
- Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (2009), Симметрия, представления и инварианты , Тексты для выпускников по математике, 255 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-79851-6
- Кнапп, AW (2002). Группы лжи за пределами введения . Успехи в математике. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- В. Л. Попов (2001) [1994], «Классическая группа» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение в линейные группы , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9