Аппроксимативно конечномерная C*-алгебра

В математике приближенно конечномерная (AF) C*-алгебра — это C*-алгебра , которая является индуктивным пределом последовательности конечномерных C*-алгебр . Приближенная конечномерность была впервые определена и описана комбинаторно Ола Браттели . Позже Джордж А. Эллиотт дал полную классификацию AF-алгебр, используя функтор K ₀ , область значений которого состоит из упорядоченных абелевых групп с достаточно хорошей структурой порядка.

Теорема классификации для AF-алгебр служит прототипом результатов классификации для более широких классов сепарабельных простых ядерных стабильно конечных C*-алгебр. Его доказательство распадается на две части. Инвариантом здесь является K ₀ с его структурой естественного порядка; это функтор . Во- первых, доказывается существование : гомоморфизм между инвариантами должен подниматься до *-гомоморфизма алгебр. Во- вторых, показывается уникальность : подъем должен быть единственным с точностью до приближенной унитарной эквивалентности. Затем классификация следует из так называемого переплетающегося аргумента.. Для унитальных AF-алгебр и существование, и единственность следуют из того факта, что полугруппа проекторов Мюррея-фон Неймана в AF-алгебре сокращаема.

Аналогом простых AF C*-алгебр в мире алгебр фон Неймана являются гиперфинитные факторы, которые были классифицированы Коннесом и Хаагерупом .

В контексте некоммутативной геометрии и топологии AF C *-алгебры являются некоммутативными обобщениями C0 ₍ X ) , где X — вполне несвязное метризуемое пространство.

Определение и основные свойства

Конечномерные C*-алгебры

Произвольная конечномерная C*-алгебра A с точностью до изоморфизма принимает следующий вид:

${\ Displaystyle \ oplus _ {к} М_ {п_ {к}},}$

где M _i обозначает полную матричную алгебру матриц размера i × i .

С точностью до унитарной эквивалентности унитальный *-гомоморфизм Φ : M _i → M _j обязательно имеет вид

${\ Displaystyle \ Phi (а) = а \ otimes I_ {г},}$

где р · я знак равно j . Число r называется кратностью числа Φ. В общем случае унитальный гомоморфизм между конечномерными C*-алгебрами

${\ displaystyle \ Phi: \ oplus _ {1} ^ {s} M_ {n_ {k}} \ rightarrow \ oplus _ {1} ^ {t} M_ {m_ {l}}}$

определяется с точностью до унитарной эквивалентности матрицей t × s частичных кратностей ( r _{l k} ), удовлетворяющей для всех l

${\ displaystyle \ sum _ {k} r_ {lk} n_ {k} = m_ {l}. \;}$

В неунитальном случае равенство заменяется на ≤. Графически Φ, что эквивалентно ( rl _k ), может быть представлено диаграммой Браттели . Диаграмма Браттели представляет собой ориентированный граф с узлами, соответствующими каждому n _k и m _l , а количество стрелок от n _k до m _l является частичной кратностью r _lk .

Рассмотрим категорию , объектами которой являются классы изоморфизмов конечномерных C*-алгебр, а морфизмы — *-гомоморфизмами по модулю унитарной эквивалентности. Согласно приведенному выше обсуждению, объекты можно рассматривать как векторы с элементами в N , а морфизмы - это матрицы частичной кратности.

AF алгебры

AC*-алгебра называется AF , если она является прямым пределом последовательности конечномерных C*-алгебр:

${\ displaystyle A = \ varinjlim \ cdots \ rightarrow A_ {i} \, {\ stackrel {\ alpha _ {i}} {\ rightarrow}} A_ {i + 1} \ rightarrow \ cdots,}$

где каждая A _i является конечномерной C*-алгеброй, а связующие отображения α _i являются *-гомоморфизмами. Будем считать, что каждое α _i унитально. Индуктивная система, задающая AF-алгебру, не уникальна. Всегда можно перейти к подпоследовательности. Исключая соединительные карты, A также можно записать как

${\ displaystyle A = {\ overline {\ cup _ {n} A_ {n}}}.}$

Диаграмма Браттели оператора A образована диаграммами Браттели оператора { α _i } очевидным образом. Например, треугольник Паскаля с узлами, соединенными соответствующими стрелками вниз, является диаграммой Браттели алгебры AF. Диаграмма Браттели алгебры CAR приведена справа. Две стрелки между узлами означают, что каждая соединительная карта является вложением кратности 2.

${\displaystyle 1\rightrightarrows 2\rightrightarrows 4\rightrightarrows 8\rightrightarrows \dots }$

(Диаграмма Браттели алгебры CAR)

Если AF-алгебра A = (∪ _{n An} ) ⁻ , то идеал J в A принимает вид _{∪ n} ( J ∩ An ) − ^. В частности, J сама является AF-алгеброй. Учитывая диаграмму Браттели A и некоторое подмножество S узлов, поддиаграмма, порожденная S , дает индуктивную систему, которая задает идеал A . На самом деле, каждый идеал возникает таким образом.

Благодаря наличию матричных единиц в индуктивной последовательности AF-алгебры имеют следующую локальную характеристику: C*-алгебра A является AF тогда и только тогда , когда A сепарабельна и любое конечное подмножество A «почти содержится» в некотором конечном множестве. размерная C*-подалгебра.

Проекции в ∪ _{n An} на самом деле образуют приблизительную единицу A .

Ясно, что расширение конечномерной С*-алгебры с помощью другой конечномерной С*-алгебры снова конечномерно. В более общем смысле расширение AF-алгебры с помощью другой AF-алгебры снова является AF. ^[1]

Классификация

К ₀

K - теоретическая группа K ₀ является инвариантом C*-алгебр. Он берет свое начало в топологической К-теории и служит диапазоном своего рода «размерной функции». Для AF -алгебры A K0 ( _A ) можно определить следующим образом. Пусть Mn ( A ) — C*-алгебра матриц размера n × n _, элементами которой являются элементы A . Mn ( A ) вкладывается в Mn _{+ 1} ( _A) канонически, в «левый верхний угол». Рассмотрим алгебраический прямой предел

${\displaystyle M_{\infty }(A)=\varinjlim \cdots \rightarrow M_{n}(A)\rightarrow M_{n+1}(A)\rightarrow \cdots .}$

Обозначим проекторы (самосопряженные идемпотенты) в этой алгебре через P ( A ). Два элемента p и q называются эквивалентными по Мюррею-фон Нейману , обозначаемому через p ~ q , если p = vv* и q = v*v для некоторой частичной изометрии v в M∞ ( _A ) . Ясно, что % — отношение эквивалентности. Определим бинарную операцию + на множестве эквивалентностей P ( A )/~ по формуле

${\displaystyle [p]+[q]=[p\oplus q]}$

где ⊕ дает ортогональную прямую сумму двух конечномерных матриц, соответствующих p и q . Хотя мы могли бы выбрать матрицы произвольно большой размерности для замены p и q , наш результат будет эквивалентен в любом случае. Это делает P ( A )/~ полугруппой , обладающей свойством сокращения . Обозначим эту полугруппу через K0 ( A ) ₊ ^. Выполнение построения группы Гротендика дает абелеву группу, которая есть K ₀ ( A ).

K ₀ ( A ) имеет структуру естественного порядка: мы говорим [ p ] ≤ [ q ], если p эквивалентно Мюррею-фон Нейману подпроекции q . Это делает K0 ( A ) упорядоченной группой , положительным конусом _{которой} ^{является} K0 ( A ) ₊ .

Например, для конечномерной C*-алгебры

${\displaystyle A=\oplus _{k=1}^{m}M_{n_{k}},}$

надо

${\displaystyle (K_{0}(A),K_{0}(A)^{+})=(\mathbb {Z} ^{m},\mathbb {Z} _{+}^{m}).}$

Две существенные особенности отображения A ↦ K ₀ ( A ):

1. K0 — ( _{ковариантный} ) функтор . *-гомоморфизм α  : A → B между AF-алгебрами индуцирует групповой гомоморфизм α _*  : K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ). В частности, когда A и B оба конечномерны, α _* можно отождествить с частичной матрицей кратностей α .
2. K ₀ соблюдает прямые ограничения. Если A = ∪ _n α _n ( A _n ) ⁻ , то K ₀ ( A ) является прямым пределом ∪ _n α _{n *} ( K ₀ ( A _n )).

Группа измерений

Поскольку M∞ ( _M∞ ( A )) изоморфна _{M∞ (} A ) , K0 может различать AF-алгебры только с _{точностью} до стабильного изоморфизма . Например, М ₂ и М ₄ не изоморфны, но стабильно изоморфны; K ₀ ( M ₂ ) знак равно K ₀ ( M ₄ ) знак равно Z .

Для обнаружения классов изоморфизма необходим более тонкий инвариант. Для AF-алгебры A мы определяем шкалу K0 ( A ) , обозначаемую _через Γ( A ) , как подмножество, элементы которого представлены проекциями в A :

${\displaystyle \Gamma (A)=\{[p]\,|\,p^{*}=p^{2}=p\in A\}.}$

Когда A унитальна единице 1 _A , элемент K ₀ [1 _A ] является максимальным элементом Γ( A ), и на самом деле,

${\displaystyle \Gamma (A)=\{x\in K_{0}(A)\,|\,0\leq x\leq [1_{A}]\}.}$

Тройка ( K ₀ , K ₀ ⁺ , Γ( A )) называется группой размерностей A . Если A = M _s , его группа размерности ( Z , Z ⁺ , {1, 2,..., s }).

Групповой гомоморфизм между группой размерностей называется сжимающим , если он сохраняет масштаб. Двухмерная группа называется изоморфной, если между ними существует сжимающий групповой изоморфизм.

Группа размерности сохраняет существенные свойства K ₀ :

1. *-Гомоморфизм α  : A → B между AF-алгебрами фактически индуцирует сжимающий групповой гомоморфизм α _* на группах размерностей. Когда A и B оба конечномерны, что соответствует каждой частичной матрице кратностей ψ , существует единственный с точностью до унитарной эквивалентности *-гомоморфизм α  : A → B такой, что α _* = ψ .
2. Если A = ∪ _n α _n ( A _n ) ⁻ , то группа размерностей A является прямым пределом групп измерений A _n .

Теорема Эллиотта

Теорема Эллиотта утверждает, что группа размерностей является полным инвариантом AF-алгебр: две AF-алгебры A и B изоморфны тогда и только тогда, когда их группы размерностей изоморфны.

Прежде чем можно будет набросать доказательство теоремы Эллиотта, необходимы два предварительных факта. Первый резюмирует вышеизложенное обсуждение конечномерных C*-алгебр.

Лемма . Для двух конечномерных C*-алгебр A и B и сжимающего гомоморфизма ψ : _K0 ( A ) → K0 ( B ) существует *-гомоморфизм φ : _A → B такой , что φ _* = ψ , и φ единственна с точностью до унитарной эквивалентности.

Лемму можно распространить на случай, когда B есть AF. Отображение ψ на уровне K ₀ можно «переместить назад» на уровне алгебр на некоторый конечный этап в индуктивной системе.

Лемма . Пусть A конечномерна и B AF, B = (∪ _n B _n ) ⁻ . Пусть β _m — канонический гомоморфизм B _m в B . Тогда для любого сжимающего гомоморфизма ψ : K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ) существует *-гомоморфизм φ : A → B _m такой, что β _m* φ _* = ψ иφ единственна с точностью до унитарной эквивалентности в B .

Доказательство леммы основано на простом наблюдении, что K ₀ ( A ) конечно порождено и, поскольку K ₀ допускает прямые пределы, K ₀ ( B ) = ∪ _n β _n* K ₀ ( B _n ).

Теорема (Эллиотта) Две AF-алгебры A и B изоморфны тогда и только тогда, когда их группы размерностей ( K ₀ ( A ), K ₀ ⁺ ( A ), Γ( A )) и ( K ₀ ( B ), K ₀ ⁺ ( B ), Γ( B )) изоморфны.

Суть доказательства стала известна как переплетающийся аргумент Эллиотта . Учитывая изоморфизм между группами размерности, можно построить диаграмму коммутирующих треугольников между прямыми системами A и B , применяя вторую лемму.

Набросаем доказательство нетривиальной части теоремы, соответствующей последовательности коммутативных диаграмм справа.

Пусть Φ: ( K0 ( A ), K0 ₊ ( A ), Γ( A )) → ( ^K0 ( _B ), K0 ₊ ( B ) , Γ ( _{B ))} ^— изоморфизм группы размерностей .

1. Рассмотрим композицию отображений Φ α _1*  : K ₀ ( A ₁ ) → K ₀ ( B ). По предыдущей лемме существуют B ₁ и *-гомоморфизм φ ₁ : A ₁ → B ₁ такие, что первая диаграмма справа коммутирует.
2. Тот же аргумент, примененный к β _1* Φ − ¹ , показывает, что вторая диаграмма коммутирует для некоторого A ₂ .
3. Сравнение диаграмм 1 и 2 дает диаграмму 3.
4. Используя свойство прямого предела и перемещая A ₂ дальше вниз, если необходимо, мы получаем диаграмму 4, коммутативный треугольник на уровне K ₀ .
5. Для конечномерных алгебр два *-гомоморфизма индуцируют одно и то же отображение на K ₀ тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны. Итак, составив ψ ₁ с унитарным сопряжением, если нужно, мы получим коммутативный треугольник на уровне алгебр.
6. По индукции у нас есть диаграмма коммутирующих треугольников, как показано на последней диаграмме. Отображение φ : A → B является прямым пределом последовательности { φ _n }. Пусть ψ : B → A — прямой предел последовательности { _ψn } . Ясно, что φ и ψ взаимно обратны. Следовательно, A и B изоморфны.

Кроме того, на уровне K ₀ соседняя диаграмма коммутирует для каждого k . В силу единственности прямого предела отображений ф _* = Ф.

Теорема Эффроса-Гендельмана-Шена

Группа размерности AF-алгебры является группой Рисса . Теорема Эффроса-Гандельмана-Шена утверждает обратное. Каждая группа Рисса заданного масштаба возникает как группа размерностей некоторой AF-алгебры. Это уточняет область значений классифицирующего функтора K ₀ для AF-алгебр и завершает классификацию.

группы Рисса

Группа G с частичным порядком называется упорядоченной группой . Множество G ⁺ элементов ≥ 0 называется положительным конусом G . Говорят, что G неперфорирована, если из k · g ∈ G ⁺ следует , что g ∈ G ⁺ .

Следующее свойство называется свойством разложения Рисса : если x , yi ≥ 0 и _x ≤ Σyi , _то существует xi ≥ 0 такое , что x = Σxi , _и xi ≤ _{yi для} каждого _i .

Группа Рисса ( G , G ⁺ ) — это упорядоченная группа, которая не перфорирована и обладает свойством разложения Рисса.

Ясно, что если A конечномерна, ( K ₀ , K ₀ ⁺ ) является группой Рисса, где Z ^k задан поэлементный порядок. Два свойства групп Рисса сохраняются прямыми пределами, если предположить, что структура порядка на прямом пределе исходит из структур индуктивной системы. Итак, ( K ₀ , K ₀ ⁺ ) группа Рисса для AF-алгебры A .

Ключевым шагом к теореме Эффроса-Гандельмана-Шена является тот факт, что каждая группа Рисса является прямым пределом Z ^k , каждая из которых имеет каноническую структуру порядка. Это зависит от следующей технической леммы, иногда называемой в литературе критерием Шена .

Лемма . Пусть ( G , G ⁺ ) — группа Рисса, ^{ϕ: (Zk, Zk} + ) → ( ^G , G + ) — _{положительный} ^{гомоморфизм} . Тогда существуют отображения σ и ψ , указанные на соседней диаграмме, такие, что ker( σ ) = ker( ϕ ).

Следствие Каждая группа Рисса ( G , G ⁺ ) может быть выражена как прямой предел

${\displaystyle (G,G^{+})=\varinjlim (\mathbb {Z} ^{n_{k}},\mathbb {Z} _{+}^{n_{k}}),}$

где все связующие гомоморфизмы в направленной системе в правой части положительны.

Теорема

Теорема Если ( G , G ⁺ ) счетная группа Рисса со шкалой Γ( G ), то существует AF-алгебра A такая, что ( K ₀ , K ₀ ⁺ , Γ( A )) = ( G , G ⁺ , Γ ( Г )). В частности, если Γ( G ) = [0, u _G ] с максимальным элементом u _G , то A унитальна с [1 _A ] = [ u _G ].

Рассмотрим сначала частный случай, когда Γ( G ) = [0, u _G ] с максимальным элементом u _G . Предполагать

${\displaystyle (G,G^{+})=\varinjlim (H_{k},H_{k}^{+}),\quad {\mbox{where}}\quad (H,H_{k}^{+})=(\mathbb {Z} ^{n_{k}},\mathbb {Z} _{+}^{n_{k}}).}$

Сбрасывая при необходимости на подпоследовательность, пусть

${\displaystyle \Gamma (H_{1})=\{v\in H_{1}^{+}|\phi _{1}(v)\in \Gamma (G)\},}$

где φ ₁ ( u ₁ ) = u _G для некоторого элемента u ₁ . Теперь рассмотрим идеал порядка G ₁ , порожденный u ₁ . Поскольку каждый H ₁ имеет структуру канонического порядка, G ₁ является прямой суммой Z (с возможным меньшим количеством копий, чем в H ₁ ). Итак, это дает конечномерную алгебру A ₁ , группа размерностей которой есть ( G ₁ G ₁ ⁺ , [0, u ₁]). Затем переместите u ₁ вперед, определив u ₂ = φ ₁₂ ( u ₁ ). Снова u ₂ определяет конечномерную алгебру A ₂ . Существует соответствующий гомоморфизм α ₁₂ такой, что α _12* = φ ₁₂ . Индукция дает направленную систему

${\displaystyle A=\varinjlim A_{k},}$

чей K ₀ _

${\displaystyle \varinjlim (G_{k},G_{k}^{+}),}$

со шкалой

${\displaystyle \cup _{k}\phi _{k}[0,u_{k}]=[0,u_{G}].}$

Это доказывает частный случай.

Подобный аргумент применим в целом. Заметьте, что шкала по определению является направленным набором . Если Γ( G ) = { v _k }, то можно выбрать uk _∈ Γ( G ) таким образом, что _uk ≥ v ₁ ... v _k . Те же рассуждения, что и выше, доказывают теорему.

Примеры

По определению равномерно гиперконечные алгебры AF и унитальны. Их группы размерности являются подгруппами Q . Например, для 2 × 2 матриц M ₂ , K ₀ ( M ₂ ) является группой рациональных чисел формы a / 2 для a в Z . Шкала Γ( M ₂ ) = {0, 1/2 , 1 }. Для CAR-алгебры A _K0 ( A ) — группа двоично-рациональных чисел со шкалой K ₀ ( A ) ∩ [0, 1], где 1 = [1 _A ]. Все такие группы просты в смысле, соответствующем упорядоченным группам. Таким образом, UHF-алгебры являются простыми C*-алгебрами. В общем случае группы, не плотные в Q , — это группы размерности M _k для некоторого k .

Коммутативные С*-алгебры, охарактеризованные Гельфандом , являются AF именно тогда, когда спектр полностью несвязен . ^[2] Непрерывные функции C ( X ) на канторовом множестве X являются одним из таких примеров.

Программа классификации Эллиотта

Эллиотт предположил, что другие классы C*-алгебр могут быть классифицированы с помощью K-теоретических инвариантов. Для C*-алгебры A инвариант Эллиотта определяется как

${\displaystyle {\mbox{Ell}}(A)\;{\stackrel {\mbox{def}}{=}}\;(\;(K_{0}(A),K_{0}(A)^{+},\Gamma (A)),K_{1}(A),T^{+}(A),\rho _{A}\;),}$

где T ⁺ ( A ) — следовые положительные линейные функционалы в слабо-*-топологии, ρA — естественное спаривание между T ⁺ ( _A ) и K0 ₍ A ) .

Первоначальная гипотеза Эллиотта утверждала, что инвариант Эллиотта классифицирует простые унитальные сепарабельные ядерные C*-алгебры.

В литературе можно найти несколько гипотез такого рода с соответствующими модифицированными/уточненными инвариантами Эллиотта.

Алгебры фон Неймана

В родственном контексте приближенно конечномерная или гиперконечная алгебра фон Неймана является алгеброй с сепарабельным предуальным и содержит слабо плотную AF C*-алгебру. Мюррей и фон Нейман показали, что с точностью до изоморфизма существует единственный гиперконечный фактор типа II _{1 .} Конн получил аналогичный результат для фактора II _{∞ .} Пауэрс показал семейство неизоморфных гиперконечных факторов типа III с мощностью континуума. Сегодня у нас есть полная классификация гиперфинитных факторов.

Примечания

использованная литература

• Браттели, Ола. (1972), Индуктивные пределы конечномерных C*-алгебр , Trans. амер. Мат. соц. 171 , 195-234.
• Дэвидсон, К.Р. (1996), C*-алгебры на примере , Монографии Полевого института 6 , Американское математическое общество.
• Effros, EG , Handelman, DE, and Shen CL (1980), Группы измерений и их аффинные представления , Amer. Дж. Матем. 102 , 385-402.
• Эллиотт, Г.А. (1976), О классификации индуктивных пределов последовательностей полупростых конечномерных алгебр , J. Algebra 38 , 29-44.
• Эллиотт, Г.А. и Томс, А.С. (2008), Свойства регулярности в программе классификации сепарабельных аменабельных C-алгебр , Bull. амер. Мат. соц. 45 , 229-245.
• Филлмор, Пенсильвания (1996), Руководство пользователя по операторным алгебрам , Wiley-Interscience.
• Рёрдам, М. (2002), Классификация ядерных C*-алгебр , Энциклопедия математических наук 126 , Springer-Verlag.

внешняя ссылка

• «AF-алгебра» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]