Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Некоммутативная геометрия ( NCG ) - это раздел математики, связанный с геометрическим подходом к некоммутативным алгебрам и построением пространств , которые локально представлены некоммутативными алгебрами функций (возможно, в некотором обобщенном смысле). Некоммутативная алгебра - это ассоциативная алгебра, в которой умножение не коммутативно , то есть для которой не всегда равно ; или, в более общем смысле, алгебраическая структура, в которой одна из основных двоичных операций не является коммутативной; один также допускает дополнительные структуры, например топологию илинорма , которая, возможно, переносится некоммутативной алгеброй функций.

Мотивация [ править ]

Основная мотивация - распространить коммутативную двойственность между пространствами и функциями на некоммутативную установку. В математике пространства , имеющие геометрическую природу, могут быть связаны с числовыми функциями на них. В общем случае такие функции образуют коммутативное кольцо . Например, можно взять кольцо C ( X ) из непрерывных комплексных значных функций на топологическом пространстве X . Во многих случаях ( например , если X - компактное хаусдорфово пространство ), мы можем восстановить X по C ( X), поэтому имеет смысл сказать, что X имеет коммутативную топологию .

Более конкретно, в топологии компактные хаусдорфовы топологические пространства могут быть восстановлены из банаховой алгебры функций на пространстве ( Гельфанд – Наймарк ). В коммутативной алгебраической геометрии , алгебраические схемы локально премьер спектры коммутативных колец унитарных ( А. гротендиковы ), и схемы могут быть восстановлены из категорий квазикогерентных пучков модулей на них ( П. Габриэль -A. Rosenberg). Для топологий Гротендика когомологические свойства узла являются инвариантами соответствующей категории пучков множеств, рассматриваемых абстрактно как топос.(А. Гротендик). Во всех этих случаях пространство восстанавливается из алгебры функций или ее категорированной версии - некоторой категории пучков на этом пространстве.

Функции в топологическом пространстве можно умножать и складывать поточечно, поэтому они образуют коммутативную алгебру; на самом деле эти операции локальны в топологии базового пространства, следовательно, функции образуют пучок коммутативных колец над базовым пространством.

Мечта некоммутативной геометрии состоит в том, чтобы обобщить эту двойственность на двойственность между некоммутативными алгебрами, или пучками некоммутативных алгебр, или пучкообразными некоммутативными алгебраическими или операторно-алгебраическими структурами, и геометрическими объектами определенных видов, и дать взаимодействие между алгебраическими и их геометрическое описание через эту двойственность.

В связи с тем, что коммутативные кольца соответствуют обычным аффинным схемам, а коммутативные C * -алгебры - обычным топологическим пространствам, расширение на некоммутативные кольца и алгебры требует нетривиального обобщения топологических пространств как «некоммутативных пространств». По этой причине говорят о некоммутативной топологии , хотя этот термин имеет и другие значения.

Приложения в математической физике [ править ]

Некоторые приложения в физике элементарных частиц описаны в статьях Некоммутативная стандартная модель и Некоммутативная квантовая теория поля . Внезапный рост интереса к некоммутативной геометрии в физике последовал после предположений о ее роли в М-теории, сделанных в 1997 году [1].

Мотивация из эргодической теории [ править ]

Часть теории, разработанной Аленом Конном для работы с некоммутативной геометрией на техническом уровне, уходит корнями в более старые попытки, в частности в эргодической теории . Предложение Джорджа Макки создать теорию виртуальных подгрупп , по отношению к которой действия эргодических групп стали бы однородными пространствами расширенного типа, к настоящему моменту принято во внимание.

Некоммутативные C * -алгебры, алгебры фон Неймана [ править ]

(Формальные двойники) некоммутативных C * -алгебр теперь часто называют некоммутативными пространствами. Это по аналогии с представлением Гельфанда , который показывает , что коммутативный C * -алгебры двойственные к локально компактным хаусдорфовым пространствам . В общем, можно связать с любым C * -алгебра S топологическое пространство ˙s ; см. спектр C * -алгебры .

Для двойственности между а-конечной мерой пространств и коммутативных алгебр фон Неймана , некоммутативные алгебры фон Неймана называются некоммутативных пространств с мерой .

Некоммутативные дифференцируемые многообразия [ править ]

Гладкое риманово многообразие M - это топологическое пространство с большим количеством дополнительной структуры. По его алгебре непрерывных функций C ( M ) мы восстанавливаем M только топологически. Алгебраический инвариант, восстанавливающий риманову структуру, является спектральной тройкой . Оно строится из гладкого векторного расслоения E над M , например расслоения внешней алгебры. Гильбертово пространство L 2 ( М ,  Е ) квадратично интегрируемых сечений Е влечет за собой представление С ( М)путь умножения операторов, и мы рассмотрим неограниченный оператор D в L 2 ( M ,  E ) с компактной резольвентой (например, оператор подписи ), такими , что коммутаторы [ D ,  F ] ограничены , когда е является гладким. Недавняя глубокая теорема [2] утверждает, что M как риманово многообразие может быть восстановлено по этим данным.

Это наводит на мысль, что можно определить некоммутативное риманово многообразие как спектральную тройку ( A ,  H ,  D ), состоящую из представления C * -алгебры A в гильбертовом пространстве H вместе с неограниченным оператором D на H с компактным резольвентный, такой , что [ D ,  ] ограничен для всех а в некоторой плотной подалгебре A . Исследования спектральных троек ведутся очень активно, и было построено много примеров некоммутативных многообразий.

Некоммутативные аффинные и проективные схемы [ править ]

По аналогии с двойственностью между аффинными схемами и коммутативными кольцами , мы определим категорию некоммутативных аффинных схем как двойственная категории ассоциативных колец унитарных. В этом контексте есть определенные аналоги топологии Зарисского, так что можно приклеивать такие аффинные схемы к более общим объектам.

Существуют также обобщения конуса и Proj коммутативного градуированного кольца, имитирующие теорему Серра о Proj. А именно, категория квазикогерентных пучков O-модулей на Proj коммутативной градуированной алгебры эквивалентна категории градуированных модулей над кольцом, локализованных на подкатегории Серра градуированных модулей конечной длины; аналогичная теорема существует и для когерентных пучков, когда алгебра нётерова. Эта теорема распространяется как определение некоммутативной проективной геометрии по Артин и JJ Чжан, [3] , которые также добавить некоторые общие теоретико-кольцевые условия (например , Артина- Schelter регулярность).

Многие свойства проективных схем распространяются на этот контекст. Например, существует аналог знаменитой двойственности Серра для некоммутативных проективных схем Артина и Чжана. [4]

А.Л. Розенберг создал довольно общую относительную концепцию некоммутативной квазикомпактной схемы (над базовой категорией), абстрагируя исследование Гротендика морфизмов схем и покрытий в терминах категорий квазикогерентных пучков и плоских функторов локализации. [5] Существует также другой интересный подход через теорию локализации, созданный Фредом Ван Ойстейеном , Люком Уиллаертом и Аленом Вершореном, где основная концепция - это концепция схематической алгебры . [6] [7]

Инварианты для некоммутативных пространств [ править ]

Некоторые из мотивирующих вопросов теории связаны с распространением известных топологических инвариантов на формальные двойники некоммутативных (операторных) алгебр и другими заменами и кандидатами в некоммутативные пространства. Одной из основных отправных точек направления Алена Конна в некоммутативной геометрии является его открытие новой теории гомологий, связанной с некоммутативными ассоциативными алгебрами и некоммутативными операторными алгебрами, а именно циклических гомологий и их отношений с алгебраической K-теорией (в основном через Конна– Карта персонажей Черна).

Теория характеристических классов гладких многообразий была распространена на спектральные тройки с использованием средств операторной K-теории и циклических когомологий . Некоторые обобщения ставших классическими теорем об индексе позволяют эффективно извлекать числовые инварианты из спектральных троек. Фундаментальный характеристический класс в циклических когомологиях, коцикл JLO , обобщает классический характер Черна .

Примеры некоммутативных пространств [ править ]

  • В формулировке фазового пространства квантовой механики, симплектическое фазовое пространство из классической механики является деформируется в некоммутативном фазовом пространстве , порожденного операторов координаты и импульса .
  • Некоммутативна стандартная модель является планируемым расширением стандартной модели физики элементарных частиц.
  • В некоммутативном торе , деформация алгебры функций обычного тора, может быть задана структурой спектральной тройки. Этот класс примеров интенсивно изучался и до сих пор используется в качестве тестового примера для более сложных ситуаций.
  • Спейс Снайдера [8]
  • Некоммутативные алгебры, возникающие из слоений .
  • Примеры, относящиеся к динамическим системам, возникающие из теории чисел , такие как сдвиг Гаусса на цепных дробях, приводят к появлению некоммутативных алгебр, которые, как представляется, имеют интересную некоммутативную геометрию.

См. Также [ править ]

  • Коммутативность
  • Формулировка фазового пространства
  • Мойял продукт
  • Нечеткая сфера
  • Некоммутативная алгебраическая геометрия
  • Некоммутативная топология

Примечания [ править ]

  1. ^ Конн, Ален; Дуглас, Майкл Р.; Шварц, Альберт (1998-02-05). «Некоммутативная геометрия и теория матриц». Журнал физики высоких энергий . 1998 (2): 003. arXiv : hep-th / 9711162 . Bibcode : 1998JHEP ... 02..003C . DOI : 10.1088 / 1126-6708 / 1998/02/003 . ISSN  1029-8479 . S2CID  7562354 .
  2. ^ Конн, Ален (2008). «О спектральной характеризации многообразий». arXiv : 0810.2088 [ math.OA ].
  3. ^ Артин, М .; Чжан, JJ (1994). «Некоммутативные проективные схемы». Успехи в математике . Elsevier BV. 109 (2): 228–287. DOI : 10,1006 / aima.1994.1087 . ISSN 0001-8708 . 
  4. ^ Yekutieli Амнон; Чжан, Джеймс Дж. (1 марта 1997 г.). «Двойственность Серра для некоммутативных проективных схем» . Труды Американского математического общества . Американское математическое общество (AMS). 125 (3): 697–708. DOI : 10,1090 / s0002-9939-97-03782-9 . ISSN 0002-9939 . 
  5. ^ Л. Розенберг, Некоммутативные схемы, Compositio Mathematica 112 (1998) 93--125, DOI ; Базовые пространства некоммутативных схем, препринт MPIM2003-111, dvi , ps ; Лекция ИИГС Некоммутативные схемы и пространства (февраль 2000 г.): видео
  6. ^ Фредди ван Ойстэйен, Алгебраическая геометрия ассоциативных алгебр, ISBN 0-8247-0424-X - Нью-Йорк: Деккер, 2000. - 287 с. - (Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 232) 
  7. ^ Ван Ойстэйен, Фред; Уилларт, Люк (1995). «Топология Гротендика, когерентные пучки и теорема Серра для схематических алгебр» (PDF) . Журнал чистой и прикладной алгебры . Elsevier BV. 104 (1): 109–122. DOI : 10.1016 / 0022-4049 (94) 00118-3 . ЛВП : 10067/124190151162165141 . ISSN 0022-4049 .  
  8. ^ Снайдер, Хартланд С. (1947-01-01). «Квантованное пространство-время». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 71 (1): 38–41. Bibcode : 1947PhRv ... 71 ... 38S . DOI : 10.1103 / Physrev.71.38 . ISSN 0031-899X . 

Ссылки [ править ]

  • Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5
  • Конн, Ален ; Марколли, Матильда (2008), «Прогулка в некоммутативном саду», приглашение к некоммутативной геометрии , World Sci. Publ., Hackensack, NJ, pp. 1–128, arXiv : math / 0601054 , Bibcode : 2006math ...... 1054C , MR  2408150
  • Конн, Ален ; Марколли, Матильда (2008), Некоммутативная геометрия, квантовые поля и мотивы (PDF) , Публикации коллоквиума Американского математического общества, 55 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4210-2, MR  2371808
  • Gracia-Bondia, Jose M; Фигероа, Гектор; Варилли, Джозеф C (2000), Элементы некоммутативной геометрии , Birkhauser, ISBN 978-0-8176-4124-5
  • Ланди, Джованни (1997), Введение в некоммутативные пространства и их геометрию , Конспект лекций по физике. New Series m: Monographs, 51 , Berlin, New York: Springer-Verlag , arXiv : hep-th / 9701078 , Bibcode : 1997hep.th .... 1078L , ISBN 978-3-540-63509-3, MR  1482228
  • Ван Ойстэйен, Фред; Вершорен, Ален (1981), Некоммутативная алгебраическая геометрия , Лекционные заметки по математике, 887 , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-11153-5

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Консани, Катерина ; Конн, Ален , ред. (2011), Некоммутативная геометрия, арифметика и смежные темы. Материалы 21-го заседания Японо-американского математического института (JAMI), проходившего в Университете Джона Хопкинса, Балтимор, Мэриленд, США, 23–26 марта 2009 г. , Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-1-4214-0352-6, Zbl  1245,00040
  • Гренсинг, Герхард (2013). Структурные аспекты квантовой теории поля и некоммутативной геометрии . Хакенсак Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 978-981-4472-69-2.

Внешние ссылки [ править ]

  • Введение в квантовую геометрию Михо Дюркевича
  • Гинзбург, Виктор (2005). «Лекции по некоммутативной геометрии». arXiv : math / 0506603 .
  • Халхали, Масуд (2004). «Очень простая некоммутативная геометрия». arXiv : math / 0408416 .
  • Марколли, Матильда (2004). «Лекции по арифметической некоммутативной геометрии». arXiv : math / 0409520 .
  • Мадоре, Дж. (2000). «Некоммутативная геометрия для пешеходов». Классическая и квантовая нелокальность : 111. arXiv : gr-qc / 9906059 . Bibcode : 2000cqnl.conf..111M . DOI : 10.1142 / 9789812792938_0007 . ISBN 978-981-02-4296-1. S2CID  15595586 .
  • Массон, Тьерри (2006). «Неформальное введение в идеи и концепции некоммутативной геометрии». arXiv : math-ph / 0612012 . (Более простое введение, но все еще довольно техническое)
  • Некоммутативная геометрия на arxiv.org
  • MathOverflow, Теории некоммутативной геометрии
  • Маханта, Снигдхаян (2005). «О некоторых подходах к некоммутативной алгебраической геометрии». arXiv : math / 0501166 .
  • Сарданашвили, Г. (2009). «Лекции по дифференциальной геометрии модулей и колец». arXiv : 0910.1515 [ math-ph ].
  • Некоммутативная геометрия и физика частиц