В математике , некоммутативная топология представляет собой термин , используемый для связи между топологическими и C * -алгебраическими понятиями. Этот термин имеет свои истоки в теореме Гельфанда-Наймарка , что предполагает двойственность в категории в локально компактных хаусдорфовых пространств и категории коммутативной C * -алгебр. Некоммутативная топология связана с аналитической некоммутативной геометрией .
Примеры [ править ]
Предпосылка некоммутативной топологии состоит в том, что некоммутативную C * -алгебру можно рассматривать как алгебру комплекснозначных непрерывных функций на «некоммутативном пространстве», которое не существует классически. Некоторые топологические свойства могут быть сформулированы как свойства C * -алгебр без ссылки на коммутативность или лежащее в основе пространство, и поэтому имеют немедленное обобщение. Среди них:
- компактность ( единичная )
- σ-компактность ( σ-унитальная )
- измерение ( реальный или стабильный ранг )
- связность (без проекции )
- экстремально несвязные пространства ( AW * -алгебры )
Отдельным элементам коммутативной C * -алгебры соответствуют непрерывные функции. Таким образом, определенные типы функций могут соответствовать определенным свойствам C * -алгебры. Например, самосопряженные элементы коммутативной C * -алгебры соответствуют действительнозначным непрерывным функциям. Кроме того , прогнозы (т.е. Самосопряженных идемпотенты ) соответствует индикаторным функциям из замкнутых множеств .
Категориальные конструкции приводят к некоторым примерам. Например, копроизведение пространств является дизъюнктным объединением и, таким образом, соответствует прямой сумме алгебр , которая является произведением C * -алгебр. Точно так же топология произведения соответствует копроизведению C * -алгебр, тензорному произведению алгебр . В более специализированном контексте компактификации топологий соответствуют унитизации алгебр. Таким образом, одноточечная компактификация соответствует минимальной унитизации C * -алгебр, компактификация Стоуна – Чеха соответствует алгебре множителей , а наборы коронысоответствует алгебрам короны .
Существуют определенные примеры свойств, в которых возможны множественные обобщения, и неясно, какое из них предпочтительнее. Например, меры вероятности могут соответствовать состояниям или состояниям трассы. Поскольку в коммутативном случае все состояния являются пустыми следовыми состояниями, неясно, необходимо ли условие следа, чтобы быть полезным обобщением.
K-теория [ править ]
Одним из основных примеров этой идеи является обобщение топологической K-теории на некоммутативные C * -алгебры в форме операторной K-теории .
Дальнейшим развитием этого направления является двухвариантная версия K-теории, называемая KK-теорией , которая имеет композиционный продукт
из которых кольцевая структура в обычной K-теории является частным случаем. Продукт дает структуру категории для KK. Это было связано с соответствиями алгебраических многообразий. [1]
Ссылки [ править ]
- ^ Конн, Ален ; Консани, Катерина ; Marcolli, Матильда (2007), "Некоммутативная геометрия и мотивы: термодинамика", endomotives достижений в области математики , 214 (2): 761-831, Arxiv : math.QA/0512138 , DOI : 10.1016 / j.aim.2007.03. 006 , Руководство MR 2349719
