В математике , топологическое пространство называется σ-компактным , если оно является объединением счетного множества компактных подпространств . [1]
Пространство называется σ-локально компактным, если оно одновременно σ-компактно и локально компактно . [2]
Свойства и примеры
- Каждое компактное пространство σ-компактно, и каждое σ-компактное пространство линделёфово (т. Е. Каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие ). [3] Обратные импликации неверны, например, стандартное евклидово пространство ( R n ) σ-компактно, но не компактно [4], а топология нижнего предела на вещественной прямой линделефовская, но не σ-компактная. [5] Фактически, топология счетного дополнения на любом несчетном множестве линделефова, но не σ-компактна и не локально компактна. [6] Однако верно, что любое локально компактное пространство Линделёфа σ-компактно.
- Хаусдорфово , бэровский , что также σ-компактно, должно быть локально компактными по меньшей мере в одной точке.
- Если G - топологическая группа и G локально компактна в одной точке, то G локально компактна всюду. Следовательно, предыдущее свойство говорит нам, что если G - σ-компактная хаусдорфова топологическая группа, которая также является пространством Бэра, то G локально компактна. Это показывает, что для хаусдорфовых топологических групп, которые также являются пространствами Бэра, σ-компактность влечет локальную компактность.
- Из предыдущего свойства следует, например, что R ω не является σ-компактным: если бы оно было σ-компактным, оно обязательно было бы локально компактным, поскольку R ω - топологическая группа, которая также является пространством Бэра.
- Каждое гемикомпактное пространство σ-компактно. [7] Обратное, однако, неверно; [8], например, пространство рациональных чисел с обычной топологией σ-компактно, но не гемикомпактно.
- Продукт из конечного числа а-компактных пространств σ-компактно. Однако произведение бесконечного числа σ-компактных пространств может не быть σ-компактным. [9]
- Σ-компактное пространство X является второй категории (соответственно Бэра) , если и только если множество точек , в которых есть Х локально компактно не пусто (соответственно плотная) в X . [10]
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур-младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
- Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.