В математике , К. К. -теория является общим обобщением обоих K-гомологии и K-теории как аддитивный бивариантным функтор на разъемном С * -алгебрами . Это понятие было введено российским математиком Геннадием Каспаровым [1] в 1980 году.
Он находился под влиянием концепции Атьи из модулей Фредгольма для теоремы об индексе Атьи-Зингера и классификация расширений в C * -алгебр по Лоуренс Г. Браун , Р. Г. Дуглас и Питер Артур Fillmore в 1977 году [2] В свою очередь , , он имел большой успех в операторном алгебраическом формализме теории индекса и классификации ядерных C * -алгебр , поскольку он был ключом к решению многих проблем операторной K-теории, таких как, например, простое вычисление из K -группы. Кроме того, это сыграло важную роль в развитии гипотезы Баума – Конна.и играет решающую роль в некоммутативной топологии .
За KK- теорией последовала серия аналогичных бифункторных конструкций, таких как E -теория и бивариантная периодическая циклическая теория , большинство из которых имеют больше теоретико-категорийных особенностей или относятся к другому классу алгебр, а не к отделимому C * - алгебры или объединение групповых действий .
Определение [ править ]
Следующее определение довольно близко к тому, что было первоначально дано Каспаровым. Это форма, в которой большинство KK-элементов возникает в приложениях.
Пусть A и B - сепарабельные C * -алгебры, где B также считается σ-унитальной. Множество циклов - это множество троек ( H , ρ, F ), где H - счетно порожденный градуированный гильбертовый модуль над B , ρ - * -представление A на H в виде четных ограниченных операторов, коммутирующих с B , и F является ограниченным оператором в Н степени 1 который снова коммутирует с B . От них требуется выполнение условия, что
для a в A - все B -компактные операторы. Цикл называется вырожденным, если все три выражения равны 0 для всех a .
Два цикла называются гомологичными или гомотопными, если существует цикл между A и IB , где IB обозначает C * -алгебру непрерывных функций из [0,1] в B , такую, что существует четный унитарный оператор из 0-конец гомотопии к первому циклу и унитарный оператор от 1-конца гомотопии ко второму циклу.
КК-группа КК (А, В) между А и В , затем определяется как набор циклов по модулю Гомотопический. Он становится абелевой группой при операции прямого суммирования бимодулей в качестве сложения и класса вырожденных модулей в качестве ее нейтрального элемента.
Существуют различные, но эквивалентные определения KK-теории, в частности, определение, данное Иоахимом Кунцем [3], которое исключает бимодуль и «фредгольмовский» оператор F из рисунка и полностью делает акцент на гомоморфизме ρ. Более точно его можно определить как множество гомотопических классов
- ,
из * гомоморфизмов из засекречивания алгебры Qa квази -гомоморфизмов в С * -алгеброй компактных операторов бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства тензорны с B . Здесь qA определяется как ядро отображения C * -алгебраического свободного произведения A * A множества A с самим собой на A, определяемое тождеством обоих факторов.
Свойства [ править ]
Когда один принимает C * -алгебра С комплексных чисел в качестве первого аргумента KK , как в KK ( C , B ) эта добавка группа естественно изоморфна K 0 -группа К 0 ( B ) второго аргумента B . В точке Cuntz зрения, K 0 -класс B не что иное, как гомотопический класс * гомоморфизмов из комплексных чисел стабилизации B . Аналогично, если взять алгебру C 0 ( R) Из непрерывных функций на вещественной прямой распадающейся на бесконечности в качестве первого аргумента, полученной группы KK ( C 0 ( R ), В ) естественно изоморфна с K 1 ( B ).
Важным свойством КК -теории является так называемое произведение Каспарова , или композиционное произведение,
- ,
которое является билинейным относительно аддитивных групповых структур. В частности, каждый элемент KK ( A , B ) дает гомоморфизм K * ( A ) → K * ( B ) и другой гомоморфизм K * ( B ) → K * ( A ).
Произведение гораздо проще определить в картине Кунца, учитывая, что существуют естественные отображения из QA в A и из B в K ( H ) ⊗ B, которые индуцируют KK -эквивалентности.
Композиционное произведение дает новую категорию , объекты которой задаются сепарабельными C * -алгебрами, а морфизмы между ними задаются элементами соответствующих KK-групп. Более того, любой * -гомоморфизм A в B индуцирует элемент из KK ( A , B ), и это соответствие дает функтор из исходной категории сепарабельных C * -алгебр в . Приблизительно внутренние автоморфизмы алгебр становятся тождественными морфизмами в .
Этот функтор универсален среди точных расщепляемых , гомотопически инвариантных и стабильных аддитивных функторов на категории сепарабельных C * -алгебр. Любая такая теория удовлетворяет периодичности Ботта в надлежащем смысле, поскольку удовлетворяет .
Далее продукт Каспарова можно обобщить до следующего вида:
В качестве частных случаев он содержит не только K-теоретическое чашечное произведение , но также K-теоретическое чашечное произведение , крест, наклонное произведение и произведение расширений.
Заметки [ править ]
- ^ Г. Каспаров. Операторный K-функтор и расширения C * -алгебр. Изв. Акад. Наук. СССР сер. Мат. 44 (1980), 571-636
- ^ Браун, LG; Дуглас, Р.Г.; Филлмор, PA, "Расширения C * -алгебр и K-гомологии", Annals of Mathematics (2) 105 (1977), no. 2, 265–324. Руководство по ремонту 0458196
- ^ J. Cuntz. Новый взгляд на KK-теорию. K-Теория 1 (1987), 31-51
Ссылки [ править ]
- Б. Блэкадар, Операторные алгебры: теория C * -алгебр и алгебр фон Неймана , Энциклопедия математических наук 122 , Springer (2005)
- А. Конн, Некоммутативная геометрия , Academic Press (1994)
Внешние ссылки [ править ]
- KK-теория в nLab
- Электронная теория в nLab