В физике , теории Калуцы-Клейна ( теория KK ) является классической единой теории поля в гравитации и электромагнетизма построен вокруг идеи пятого измерения за пределы обычного четыре пространства и времени и считается важным предшественником теории струн . У Гуннара Нордстрема была более ранняя похожая идея. Но в этом случае к электромагнитному векторному потенциалу был добавлен пятый компонент, представляющий ньютоновский гравитационный потенциал и записывающий уравнения Максвелла в пяти измерениях. [1]
Пятимерная (5D) теория развивалась в три этапа. Первоначальная гипотеза исходила от Теодора Калуцы , который отправил свои результаты Эйнштейну в 1919 году [2] и опубликовал их в 1921 году. [3] Калуца представил чисто классическое расширение общей теории относительности на 5D с метрическим тензором из 15 компонентов. 10 компонентов отождествляются с четырехмерной метрикой пространства-времени, четыре компонента с электромагнитным векторным потенциалом и один компонент с неидентифицированным скалярным полем, иногда называемым « радионом » или «дилатоном». Соответственно, уравнения Эйнштейна 5D выхода в 4D уравнения поля Эйнштейна , то уравнения Максвелла для электромагнитного поля , а уравнение для скалярного поля. Калуца также ввел гипотезу «состояния цилиндра», согласно которой ни один компонент пятимерной метрики не зависит от пятого измерения. Без этого предположения вводятся члены, включающие производные полей по пятой координате. Эта дополнительная степень свободы такова, что уравнения поля полностью переменной 5D теории относительности становятся невероятно сложными. Стандартная физика 4D, кажется, проявляет состояние цилиндра и соответствующую более простую математику.
В 1926 году Оскар Клейн дал классической пятимерной теории Калуцы квантовую интерпретацию [4] [5] в соответствии с недавними открытиями Гейзенберга и Шредингера. Кляйн выдвинул гипотезу о том, что пятое измерение свернуто и микроскопично, чтобы объяснить состояние цилиндра. Кляйн предположил, что геометрия дополнительного пятого измерения может иметь форму круга с радиусом10 -30 см . [5] Кляйн также внес вклад в классическую теорию, предоставив должным образом нормализованную 5D-метрику. [4] Работа над теорией поля Калуцы продолжалась в 1930-е годы Эйнштейном и его коллегами из Принстона.
В 1940-х годах классическая теория была завершена, и полные уравнения поля, включая скалярное поле, были получены тремя независимыми исследовательскими группами: [6] Тири, [7] [8] [9], работавшими во Франции над его диссертацией под руководством Лихнеровича; Джордан, Людвиг и Мюллер в Германии, [10] [11] [12] [13] [14] с критическим вкладом Паули и Фирца; и Шеррер [15] [16] [17], работающий в одиночку в Швейцарии. Работа Джордана привела к скалярно-тензорной теории Бранса – Дике ; [18] Бранс и Дике, очевидно, не знали о Тири и Шеррере. Полные уравнения Калуцы в условиях цилиндра довольно сложны, и большинство англоязычных обзоров, а также английские переводы Тири содержат некоторые ошибки. Тензоры кривизны для полных уравнений Калуцы были вычислены с использованием программного обеспечения тензорной алгебры в 2015 году [19], подтвердив результаты Феррари [20] и Кокеро и Эспозито-Фарезе. [21] 5D ковариантная форма источников энергии-импульса рассматривается Уильямсом. [22]
Гипотеза Калуцы
В своей статье 1921 года [3] Калуца установил все элементы классической пятимерной теории: метрику, уравнения поля, уравнения движения, тензор энергии-импульса и условие цилиндра. Без свободных параметров он просто расширяет общую теорию относительности до пяти измерений. Начнем с гипотезы о форме пятимерной метрики., где латинские индексы охватывают пять измерений. Также введем четырехмерную метрику пространства-времени, где греческие индексы охватывают обычные четыре измерения пространства и времени; 4-векторотождествляется с электромагнитным векторным потенциалом; и скалярное поле. Затем разложите 5D-метрику так, чтобы 4D-метрика была обрамлена электромагнитным векторным потенциалом со скалярным полем на пятой диагонали. Это можно представить как:
- .
Точнее можно написать
где индекс указывает пятую координату по соглашению, даже если первые четыре координаты имеют индекс 0, 1, 2 и 3. Связанная обратная метрика
- .
Это разложение является довольно общим, и все члены безразмерны. Затем Калуца применяет к этой метрике аппарат стандартной общей теории относительности . Уравнения поля получены из пятимерных уравнений Эйнштейна , а уравнения движения - из пятимерной геодезической гипотезы. Полученные в результате уравнения поля дают уравнения как общей теории относительности, так и электродинамики; уравнения движения обеспечивают четырехмерное геодезическое уравнение и закон силы Лоренца , и обнаруживается, что электрический заряд отождествляется с движением в пятом измерении.
Гипотеза для метрики подразумевает инвариантный пятимерный элемент длины :
Уравнения поля из гипотезы Калуцы
Уравнения поля 5-мерной теории никогда не были адекватно предоставлены Калуцой или Клейном, потому что они игнорировали скалярное поле. Полные уравнения поля Калуцы обычно приписываются Тири [8], который получил уравнения вакуумного поля, хотя Калуца [3] первоначально предоставил тензор энергии-импульса для своей теории, а Тири включил тензор энергии-напряжения в свою диссертацию. Но, как описал Гоннер [6], несколько независимых групп работали над уравнениями поля в 1940-х годах и ранее. Тири, возможно, наиболее известен только потому, что Эпплквист, Чодос и Фройнд предоставили английский перевод в их обзорной книге. [23] Applequist et al. также предоставил английский перевод статьи Калуцы. Иорданские документы не переведены на английский язык. [10] [11] [13] Первые правильные уравнения поля Калуцы на английском языке, включая скалярное поле, были предоставлены Уильямсом. [19]
Чтобы получить уравнения поля 5D, соединения 5D рассчитываются по метрике 5D , а 5D тензор Риччи рассчитывается из 5D соединений.
Классические результаты Тири и других авторов предполагают состояние цилиндра:
- .
Без этого предположения уравнения поля становятся намного более сложными, обеспечивая гораздо больше степеней свободы, которые можно отождествить с различными новыми полями. Пол Вессон и его коллеги пытались ослабить условие цилиндра, чтобы получить дополнительные члены, которые можно отождествить с полями материи [24], для которых Калуца [3] в противном случае вручную вставил тензор энергии-импульса.
Первоначальной гипотезе Калуцы было возражением использовать пятое измерение только для того, чтобы отрицать его динамику. Но Тири утверждал [6], что интерпретация закона силы Лоренца в терминах 5-мерной геодезической сильно противоречит пятому измерению независимо от состояния цилиндра. Поэтому большинство авторов использовали условие цилиндра при выводе уравнений поля. Кроме того, обычно предполагаются уравнения вакуума, для которых
где
а также
Уравнения вакуумного поля, полученные таким образом Тири [8] и группой Жордана [10] [11] [13] , следующие.
Полевое уравнение для получается из
где , где , и где является стандартной четырехмерной ковариантной производной. Это показывает, что электромагнитное поле является источником скалярного поля. Обратите внимание, что скалярное поле не может быть установлено постоянным без ограничения электромагнитного поля. В более ранних трактовках Калуцы и Кляйна не было адекватного описания скалярного поля и не учитывались подразумеваемые ограничения на электромагнитное поле, предполагающие постоянное скалярное поле.
Полевое уравнение для получается из
Оно имеет форму вакуумных уравнений Максвелла, если скалярное поле постоянно.
Полевое уравнение для четырехмерного тензора Риччи получается из
где стандартный 4D скаляр Риччи.
Это уравнение показывает замечательный результат, названный «чудом Калуцы», когда точная форма для тензора электромагнитного напряжения-энергии возникает из 5-мерных вакуумных уравнений в качестве источника в 4-мерных уравнениях: поле из вакуума. Это соотношение позволяет окончательно идентифицироватьс электромагнитным векторным потенциалом. Следовательно, поле необходимо масштабировать с помощью константы преобразования. такой, что .
Приведенное выше соотношение показывает, что мы должны иметь
где - гравитационная постоянная и- проницаемость свободного пространства . В теории Калуцы гравитационную постоянную можно понимать как константу электромагнитной связи в метрике. Также существует тензор энергии-импульса для скалярного поля. Скалярное поле ведет себя как переменная гравитационная постоянная с точки зрения модуляции связи энергии электромагнитного напряжения с кривизной пространства-времени. Знакв метрике фиксируется соответствием с четырехмерной теорией, так что плотности электромагнитной энергии положительны. Часто предполагается, что пятая координата пространственноподобна по своей сигнатуре в метрике.
В присутствии вещества условие 5D-вакуума не может быть допущено. Действительно, Калуца этого не предполагал. Полные уравнения поля требуют вычисления 5D тензора Эйнштейна
как видно из восстановления тензора электромагнитного напряжения-энергии выше. Тензоры кривизны 5D сложны, и большинство англоязычных обзоров содержат ошибки либо в или же , как и английский перевод. [8] См. [19] для получения полного набора 5D тензоров кривизны в условиях цилиндра, вычисленных с помощью программного обеспечения тензорной алгебры.
Уравнения движения из гипотезы Калуцы.
Уравнения движения получены из пятимерной геодезической гипотезы [3] в терминах 5-скорости:
Это уравнение может быть преобразовано несколькими способами, и оно было изучено в различных формах авторами, включая Калуцу, [3] Паули, [25] Гросс и Перри, [26] Гегенберг и Кунстаттер, [27] и Вессон и Понсе де Леон. , [28] но поучительно преобразовать его обратно в обычный четырехмерный элемент длины, который связан с 5-мерным элементом длины как указано выше:
Тогда 5D геодезическое уравнение может быть записано [29] для пространственно-временных компонент 4-скорости,
Термин квадратичный по обеспечивает 4D геодезическое уравнение плюс некоторые электромагнитные термины:
Член линейный по обеспечивает закон силы Лоренца :
Это еще одно выражение «калужского чуда». Та же самая гипотеза для 5D-метрики, которая обеспечивает электромагнитное напряжение-энергию в уравнениях Эйнштейна, также обеспечивает закон силы Лоренца в уравнении движения наряду с уравнением геодезической 4D. Однако соответствие закону силы Лоренца требует, чтобы мы отождествляли компонент 5-скорости вдоль пятого измерения с электрическим зарядом:
где масса частицы и - электрический заряд частицы. Таким образом, электрический заряд понимается как движение по пятому измерению. Тот факт, что закон силы Лоренца может быть понят как геодезическая в 5-ти измерениях, был для Калуцы основной мотивацией для рассмотрения 5-мерной гипотезы даже при наличии эстетически неприятного состояния цилиндра.
Но есть проблема: термин, квадратичный по
Если в скалярном поле нет градиента, член, квадратичный по исчезает. Но в противном случае из приведенного выше выражения следует
Для элементарных частиц . Термин квадратичный подолжно доминировать в уравнении, возможно, в противоречии с опытом. Это был главный недостаток 5-мерной теории, как ее видел Калуца, [3], и он дает некоторые обсуждения в своей оригинальной статье.
Уравнение движения для особенно прост в условиях цилиндра. Начнем с альтернативной формы уравнения геодезических, записанного для ковариантной 5-скорости:
Это означает, что в условиях цилиндра - константа 5-мерного движения:
Гипотеза Калуцы о тензоре энергии-импульса вещества
Калуца [3] предложил 5D тензор материальных напряжений формы
где - это плотность и элемент длины определено выше.
Тогда пространственно-временная компонента дает типичный тензор энергии напряжения «пыли»:
Смешанный компонент обеспечивает 4-токовый источник для уравнений Максвелла:
Подобно тому, как пятимерная метрика включает 4-мерную метрику, обрамленную электромагнитным векторным потенциалом, 5-мерный тензор напряжения-энергии включает 4-мерный тензор напряжения-энергии, обрамленный векторным 4-током.
Квантовая интерпретация Клейна
Первоначальная гипотеза Калуцы представляла собой чисто классические и расширенные открытия общей теории относительности. Ко времени выступления Кляйна открытия Гейзенберга, Шредингера и де Бройля привлекали большое внимание. В статье Klein's Nature [5] было высказано предположение, что пятое измерение является замкнутым и периодическим, и что отождествление электрического заряда с движением в пятом измерении можно интерпретировать как стоячие волны длины волныподобно электронам вокруг ядра в модели атома Бора. Тогда квантование электрического заряда можно было бы хорошо понять в терминах целых кратных пятимерного импульса. Комбинируя предыдущий результат Калуцы для в терминах электрического заряда и соотношения де Бройля для импульса Клейн [5] получил выражение для 0-й моды таких волн:
где - постоянная Планка. Кляйн нашел см, и тем самым объяснение состояния цилиндра при этом небольшом значении.
В статье Кляйна Zeitschrift für Physik того же года [4] дается более подробное рассмотрение, в котором явно используются методы Шредингера и де Бройля. Она воспроизводила большую часть классической теории Калуцы, описанной выше, а затем перешла в квантовую интерпретацию Клейна. Кляйн решил волновое уравнение, подобное Шредингеру, используя разложение по пятимерным волнам, резонирующим в замкнутом, компактном пятом измерении.
Интерпретация квантовой теории поля
Интерпретация теории групп
В 1926 году Оскар Кляйн предположил, что четвертое пространственное измерение свернуто в круг с очень маленьким радиусом , так что частица, перемещающаяся на небольшое расстояние вдоль этой оси, вернется туда, где она началась. Расстояние, которое может пройти частица, прежде чем она достигнет своего начального положения, называется размером измерения. Это дополнительное измерение представляет собой компактное множество , и построение этого компактного измерения называется компактификацией .
В современной геометрии, дополнительное пятое измерение можно понимать как круг группы U (1) , так как электромагнетизм , по существу может быть сформулирована в виде калибровочной теории на расслоении , на окружности пучка , с калибровочной группой U (1). В теории Калуцы – Клейна эта группа предполагает, что калибровочная симметрия - это симметрия круговых компактных размеров. Как только эта геометрическая интерпретация будет понята, относительно просто заменить U (1) общей группой Ли . Такие обобщения часто называют теориями Янга – Миллса . Если проводится различие, то теории Янга – Миллса возникают в плоском пространстве-времени, тогда как Калуца – Клейн рассматривает более общий случай искривленного пространства-времени. Базовое пространство теории Калуцы – Клейна не обязательно должно быть четырехмерным пространством-временем; это может быть любое ( псевдо ) риманово многообразие , или даже суперсимметричное многообразие, или орбифолд, или даже некоммутативное пространство .
Конструкцию можно примерно описать следующим образом. [30] Начнем с рассмотрения главного расслоения P с калибровочной группой G над многообразием M. Учитывая связность на расслоении, метрику на базовом многообразии и калибровочно-инвариантную метрику на касательной к каждому слою, можно построить метрику расслоения, определенную на всем расслоении. Вычисляя скалярную кривизну этой метрики расслоения, мы обнаруживаем, что она постоянна на каждом слое: это «чудо Калуцы». Не нужно было явно накладывать условие цилиндра или компактифицировать: по предположению калибровочная группа уже компактна. Затем эта скалярная кривизна берется за плотность лагранжиана и, исходя из этого, строится действие Эйнштейна – Гильберта для расслоения в целом. Уравнения движения, уравнения Эйлера – Лагранжа , могут быть затем получены путем рассмотрения того, где действие является стационарным по отношению к вариациям либо метрики на базовом многообразии, либо калибровочной связности. Вариации относительно базовой метрики дают уравнения поля Эйнштейна на базовом многообразии, где тензор энергии-импульса задается кривизной ( напряженностью поля ) калибровочной связи. С другой стороны, действие стационарно по отношению к вариациям калибровочной связи именно тогда, когда калибровочная связь решает уравнения Янга – Миллса . Таким образом, применяя единственную идею: принцип наименьшего действия к единственной величине: скалярной кривизне на расслоении (в целом), можно получить одновременно все необходимые уравнения поля как для пространства-времени, так и для калибровочного поля.
В качестве подхода к объединению сил, это просто применить теорию Калуцы-Клейн в попытке унифицировать тяжести с сильными и электрослабыми силами, используя группу симметрии стандартной модели , SU (3) × SU (2 ) × U (1) . Однако попытка превратить эту интересную геометрическую конструкцию в добросовестную модель реальности терпит неудачу по ряду вопросов, включая тот факт, что фермионы должны вводиться искусственным путем (в несуперсимметричных моделях). Тем не менее, KK остается важным пробным камнем в теоретической физике и часто включается в более сложные теории. Он изучается сам по себе как объект геометрического интереса в K-теории .
Даже в отсутствие полностью удовлетворительной основы теоретической физики идея исследования дополнительных, компактифицированных измерений представляет значительный интерес в сообществах экспериментальной физики и астрофизиков . Можно сделать множество прогнозов с реальными экспериментальными последствиями (в случае больших дополнительных измерений и искаженных моделей ). Например, исходя из простейших принципов, можно было бы ожидать наличия стоячих волн в дополнительном компактифицированном измерении (ах). Если пространственное дополнительное измерение радиуса R , инвариантная масса таких стоячих волн будет М п = NH / Rc с п на целом число , ч быть постоянной Планка и с к скорости света . Этот набор возможных значений массы часто называют башней Калуцы – Клейна . Точно так же в теории теплового квантового поля компактификация евклидова временного измерения приводит к частотам Мацубары и, таким образом, к дискретизированному спектру тепловой энергии.
Однако подход Кляйна к квантовой теории ошибочен [ необходима цитата ] и, например, приводит к вычисленной массе электрона порядка массы Планка . [31]
Примеры экспериментальных поисков включают работу коллаборации CDF , которая повторно проанализировала данные коллайдера частиц для выявления эффектов, связанных с большими дополнительными измерениями / деформированными моделями .
Бранденбергер и Вафа предположили, что в ранней Вселенной космическая инфляция заставляет три пространственных измерения расширяться до космологических размеров, в то время как остальные измерения пространства остаются микроскопическими.
Теория пространства-времени-материи
Одним из конкретных вариантов теории Калуцы-Клейна является теория пространства-времени-материи или теория индуцированной материи , в основном провозглашенная Полом Вессоном и другими членами Консорциума пространства-времени-материи. [32] В этой версии теории отмечается, что решения уравнения
можно переформулировать так, чтобы в четырех измерениях эти решения удовлетворяли уравнениям Эйнштейна
с точным видом T μν, вытекающим из условия плоской Риччи на пятимерном пространстве. Другими словами, цилиндрическое состояние предыдущей разработки отбрасывается, и теперь энергия-напряжение получается из производных 5D-метрики по пятой координате. Поскольку обычно понимают, что тензор энергии-импульса возникает из-за концентраций материи в четырехмерном пространстве, вышеупомянутый результат интерпретируется как утверждение, что четырехмерная материя индуцируется геометрией в пятимерном пространстве.
В частности, солитонные решенияМожно показать, что она содержит метрику Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера как в формах с преобладанием излучения (ранняя вселенная), так и в формах с преобладанием материи (позднее вселенная). Можно показать, что общие уравнения достаточно согласуются с классическими тестами общей теории относительности, чтобы быть приемлемыми с точки зрения физических принципов, при этом оставляя при этом значительную свободу для предоставления интересных космологических моделей .
Геометрическая интерпретация
Теория Калуцы – Клейна имеет особенно элегантное геометрическое изложение. В определенном смысле это похоже на обычную гравитацию в свободном пространстве , за исключением того, что она выражается в пяти измерениях вместо четырех.
Уравнения Эйнштейна
Уравнения, описывающие обычную гравитацию в свободном пространстве, можно получить из действия , применив вариационный принцип к определенному действию . Пусть М будет ( псевдо- ) риманова многообразия , которые могут быть приняты в качестве пространства - времени в ОТО . Если g - метрика на этом многообразии, действие S ( g ) определяется как
где R ( g ) - скалярная кривизна, а vol ( g ) - элемент объема . Применяя вариационный принцип к действию
получаем в точности уравнения Эйнштейна для свободного пространства:
Здесь R ij - тензор Риччи .
Уравнения Максвелла
В отличие от этого уравнения Максвелла , описывающие электромагнетизм могут быть поняты , чтобы быть уравнения Ходжевы из в основной U (1) -расслоением или окружности пучка со световодом U (1) . То есть электромагнитное поле является гармонической 2-формой в пространстведифференцируемых 2-форм на многообразии. В отсутствие зарядов и токов уравнения Максвелла в свободном поле имеют вид
где - звездный оператор Ходжа .
Геометрия Калуцы – Клейна
Для построения теории Калуцы – Клейна выбирается инвариантная метрика на окружности то есть волокно U (1)-расслоения электромагнетизма. В этом обсуждении инвариантная метрика - это просто метрика , инвариантная относительно вращений окружности. Предположим, эта метрика дает кругу общую длину. Затем рассматриваются метрики на пачке которые согласованы как с метрикой слоя, так и с метрикой на подлежащем многообразии . Условия согласованности:
- Проекция в вертикальное подпространство необходимо согласовать с метрикой на слое над точкой на многообразии .
- Проекция в горизонтальное подпространство в касательном пространстве в точке должен быть изоморфен метрике на в .
Действие Калуцы – Клейна для такой метрики дается формулой
Скалярная кривизна, записанная в компонентах, затем расширяется до
где - обратный ход проекции пучка волокон. Связь на пучке волокон связана с напряженностью электромагнитного поля как
То, что такая связь существует всегда, даже для расслоений произвольно сложной топологии, является результатом гомологии и, в частности, K-теории . Применяя теорему Фубини и интегрируя по слою, получаем
Варьируя действие по отношению к компоненту , мы возвращаемся к уравнениям Максвелла. Применение вариационного принципа к базовой метрике, получаем уравнения Эйнштейна
с Тензор энергии быть дано
иногда называют тензором напряжений Максвелла .
Исходная теория определяет с метрикой волокна , и позволяет варьироваться от волокна к волокну. В этом случае связь между гравитацией и электромагнитным полем непостоянна, но имеет свое собственное динамическое поле - излучение .
Обобщения
Выше размер петли действует как константа связи между гравитационным полем и электромагнитным полем. Если базовое многообразие четырехмерно, то многообразие Калуцы – Клейна P пятимерно. Пятое измерение - это компактное пространство , которое называется компактным измерением . Техника введения компактных размеров для получения многомерного многообразия называется компактификацией . Компактификация не производит групповых действий на киральных фермионах, за исключением очень специфических случаев: размерность всего пространства должна быть 2 mod 8, а G-индекс оператора Дирака компактного пространства должен быть ненулевым. [33]
Приведенное выше развитие более или менее прямо обобщается на общие главные G -расслоения для некоторой произвольной группы Ли G, занимающей место U (1) . В таком случае теорию часто называют теорией Янга – Миллса и иногда считают синонимом. Если лежащее в основе многообразие суперсимметрично , результирующая теория является суперсимметричной теорией Янга – Миллса.
Эмпирические тесты
Официальных сообщений об экспериментальных или наблюдательных признаках дополнительных измерений не поступало. Было предложено много теоретических методов поиска для обнаружения резонансов Калуцы – Клейна с использованием массовых связей таких резонансов с топ-кварком . Однако до тех пор, пока Большой адронный коллайдер (LHC) не достигнет полной рабочей мощности, наблюдение таких резонансов маловероятно. Анализ результатов LHC в декабре 2010 года сильно ограничивает теории с большими дополнительными измерениями . [34]
Наблюдение бозона типа Хиггса на LHC устанавливает новый эмпирический тест, который может быть применен к поиску резонансов Калуцы – Клейна и суперсимметричных частиц. Петля Фейнмановские диаграммы , которые существуют во взаимодействии хиггсовской позволяют любой частице с электрическим зарядом и массой , чтобы работать в таком цикле. Частицы Стандартной модели, помимо топ-кварка и W-бозона , не вносят большого вклада в сечение, наблюдаемое в распаде H → γγ , но если появятся новые частицы за пределами Стандартной модели, они потенциально могут изменить соотношение предсказанной Стандартной модели H → γγ к экспериментально наблюдаемому сечению. Следовательно, измерение любого резкого изменения поперечного сечения H → γγ, предсказываемого Стандартной моделью, имеет решающее значение для исследования физики за ее пределами.
Другая более свежая статья от июля 2018 г. [35] дает некоторую надежду на эту теорию; в статье они оспаривают, что гравитация проникает в более высокие измерения, как в теории бран. Однако в статье показано, что электромагнитное поле и гравитация имеют одно и то же количество измерений, и этот факт подтверждает теорию Калуцы – Клейна; Вопрос о том, действительно ли количество измерений 3 + 1 или на самом деле 4 + 1, является предметом дальнейших споров.
Смотрите также
- Классические теории гравитации
- Сложное пространство-время
- Модель DGP
- Квантовая гравитация
- Компактификация (физика)
- Модель Рэндалла – Сундрама
- Матей Павшич
- Струнная теория
- Супергравитация
- Теория суперструн
Заметки
- ↑ Nordström, Gunnar (1914). «О возможности объединения гравитационного и электромагнитного полей». Phys. Zeitschr . 15 : 504.
- ^ Паис, Авраам (1982). Тонкий Господь ...: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С. 329–330.
- ^ Б с д е е г ч Калуца, Теодор (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Preuss. Акад. Wiss. Берлин. (Математика и физика) : 966–972. Bibcode : 1921SPAW ... 966K .
- ^ а б в Кляйн, Оскар (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik . 37 (12): 895–906. Bibcode : 1926ZPhy ... 37..895K . DOI : 10.1007 / BF01397481 .
- ^ а б в г Кляйн, Оскар (1926). «Атомарность электричества как закон квантовой теории» . Природа . 118 (2971): 516. Bibcode : 1926Natur.118..516K . DOI : 10.1038 / 118516a0 . S2CID 4127863 .
- ^ а б в Геннер, Х. (2012). «Несколько замечаний о происхождении скалярно-тензорных теорий». Общая теория относительности и гравитации . 44 (8): 2077–2097. arXiv : 1204.3455 . Bibcode : 2012GReGr..44.2077G . DOI : 10.1007 / s10714-012-1378-8 . S2CID 13399708 .
- ^ Lichnerowicz, A .; Тири, MY (1947). "Проблемы расчета вариаций как в классической динамике, так и в единой чемпионской теории". Компт. Ренд. Акад. Sci. Париж . 224 : 529–531.
- ^ а б в г Тири, MY (1948). "Les équations de la théorie unitaire de Kaluza". Компт. Ренд. Акад. Sci. Париж . 226 : 216–218.
- ^ Тири, MY (1948). "Sur la régularité des champs gravitationnel et électromagnétique dans les théories unitaires". Компт. Ренд. Акад. Sci. Париж . 226 : 1881–1882.
- ^ а б в Джордан, П. (1946). "Relativistische Gravitationstheorie mit variabler Gravitationskonstante". Naturwissenschaften . 11 (8): 250–251. Bibcode : 1946NW ..... 33..250J . DOI : 10.1007 / BF01204481 . S2CID 20091903 .
- ^ а б в Jordan, P .; Мюллер, К. (1947). "Uber die Feldgleichungen der Gravitation bei variabler" Gravitationslonstante " ". Z. Naturforsch . 2а (1): 1-2. Bibcode : 1947ZNatA ... 2 .... 1J . DOI : 10.1515 / зна-1947-0102 . S2CID 93849549 .
- ^ Людвиг, Г. (1947). "Der Zusammenhang zwischen den Variationsprinzipien der projektiven und der vierdimensionalen Relativitätstheorie" . Z. Naturforsch . 2а (1): 3–5. Bibcode : 1947ZNatA ... 2 .... 3L . DOI : 10.1515 / зна-1947-0103 . S2CID 94454994 .
- ^ а б в Джордан, П. (1948). "Fünfdimensionale Kosmologie". Astron. Nachr . 276 (5–6): 193–208. Bibcode : 1948AN .... 276..193J . DOI : 10.1002 / asna.19482760502 .
- ^ Ludwig, G .; Мюллер, К. (1948). "Ein Modell des Kosmos und der Sternentstehung". Annalen der Physik . 2 (6): 76–84. Bibcode : 1948AnP ... 437 ... 76L . DOI : 10.1002 / andp.19484370106 .
- ^ Шеррер, В. (1941). "Bemerkungen zu meiner Arbeit:" Ein Ansatz für die Wechselwirkung von Elementarteilchen " ". Helv. Phys. Acta . 14 (2): 130.
- ^ Шеррер, В. (1949). "Uber den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld". Helv. Phys. Acta . 22 : 537–551.
- ^ Шеррер, В. (1950). "Uber den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld (2. Mitteilung)". Helv. Phys. Acta . 23 : 547–555.
- ^ Brans, CH; Дике, Р.Х. (1 ноября 1961 г.). «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации». Физический обзор . 124 (3): 925–935. Bibcode : 1961PhRv..124..925B . DOI : 10.1103 / PhysRev.124.925 .
- ^ а б в Уильямс, LL (2015). "Полевые уравнения и лагранжиан для метрики Калуцы, вычисленные с помощью программного обеспечения тензорной алгебры" (PDF) . Журнал гравитации . 2015 : 901870. дои : 10,1155 / 2015/901870 .
- ^ Феррари, Дж. А (1989). «О приближенном решении для заряженного объекта и экспериментальном подтверждении теории Калуцы-Клейна». Gen. Relativ. Gravit . 21 (7): 683. Bibcode : 1989GReGr..21..683F . DOI : 10.1007 / BF00759078 . S2CID 121977988 .
- ^ Coquereaux, R .; Эспозито-Фарезе, Г. (1990). "Теория Калуцы-Кляйн-Джордан-Тири снова". Annales de l'Institut Анри Пуанкаре . 52 : 113.
- ^ Уильямс, LL (2020). "Полевые уравнения и лагранжиан тензора энергии-импульса Калуцы" . Успехи математической физики . 2020 : 1263723. дои : 10,1155 / 2020/1263723 .
- ^ Аппельквист, Томас; Чодос, Алан; Фройнд, Питер GO (1987). Современные теории Калуцы – Клейна . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон – Уэсли. ISBN 978-0-201-09829-7.
- ^ Вессон, Пол С. (1999). Пространство – время – материя, современная теория Калуцы – Клейна . Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-02-3588-8.
- ^ Паули, Вольфганг (1958). Теория относительности (перевод под ред. Джорджа Филда). Нью-Йорк: Pergamon Press. С. Приложение 23.
- ^ Гросс, диджей; Перри, MJ (1983). «Магнитные монополи в теориях Калуцы – Клейна». Nucl. Phys. B . 226 (1): 29–48. Bibcode : 1983NuPhB.226 ... 29G . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (83) 90462-5 .
- ^ Gegenberg, J .; Кунштаттер, Г. (1984). «Движение заряженных частиц в пространстве-времени Калуцы – Клейна». Phys. Lett . 106A (9): 410. Bibcode : 1984PhLA..106..410G . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (84) 90980-0 .
- ^ Вессон, PS; Понсе де Леон, Дж. (1995). «Уравнение движения в космологии Калуцы – Клейна и его значение для астрофизики». Астрономия и астрофизика . 294 : 1. Bibcode : 1995A&A ... 294 .... 1W .
- ^ Уильямс, LL (2012). «Физика электромагнитного управления пространством-временем и гравитацией» . Труды 48-й конференции AIAA Joint Propulsion . AIAA 2012-3916. DOI : 10.2514 / 6.2012-3916 . ISBN 978-1-60086-935-8. S2CID 122586403 .
- ^ Дэвид Бликер, " Теория калибровки и вариационные принципы " (1982) D. Reidel Publishing (см. Главу 9 )
- ^ Равндал, Ф., Оскар Кляйн и пятое измерение, arXiv: 1309.4113 [ Physics.hist -ph]
- ^ 5Dstm.org
- ^ Л. Кастеллани и др., Супергравитация и суперструны, Том 2, глава V.11.
- ^ CMS Collaboration, "Поиск микроскопических сигнатур черных дыр на Большом адронном коллайдере", https://arxiv.org/abs/1012.3375
- ^ Ограничения на количество измерений пространства-времени из GW170817 , https://arxiv.org/abs/1801.08160
Рекомендации
- Калуца, Теодор (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Preuss. Акад. Wiss. Берлин. (Математика и физика) : 966–972. Bibcode : 1921SPAW ... 966K . https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi
- Кляйн, Оскар (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik . 37 (12): 895–906. Bibcode : 1926ZPhy ... 37..895K . DOI : 10.1007 / BF01397481 .
- Виттен, Эдвард (1981). «Поиски реалистической теории Калуцы – Клейна». Ядерная физика Б . 186 (3): 412–428. Bibcode : 1981NuPhB.186..412W . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (81) 90021-3 .
- Аппельквист, Томас; Чодос, Алан; Фройнд, Питер GO (1987). Современные теории Калуцы – Клейна . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон – Уэсли. ISBN 978-0-201-09829-7. (Включает оттиски указанных выше статей, а также других важных статей, относящихся к теории Калуцы – Клейна.)
- Дафф, MJ (1994). "Теория Калуцы – Клейна в перспективе". В Lindström, Ульф (ред.). Материалы симпозиума «Столетие Оскара Клейна». Сингапур: World Scientific. С. 22–35. ISBN 978-981-02-2332-8.
- Overduin, JM; Вессон, PS (1997). "Калуца – Клейн Гравитация". Отчеты по физике . 283 (5): 303–378. arXiv : gr-qc / 9805018 . Bibcode : 1997PhR ... 283..303O . DOI : 10.1016 / S0370-1573 (96) 00046-4 . S2CID 119087814 .
- Вессон, Пол С. (2006). Пятимерная физика: классические и квантовые последствия космологии Калуцы – Клейна . Сингапур: World Scientific. Bibcode : 2006fdpc.book ..... W . ISBN 978-981-256-661-4.
дальнейшее чтение
- Сотрудничество CDF, поиск дополнительных измерений с использованием недостающей энергии в CDF , (2004 г.) (упрощенное представление поиска дополнительных измерений на детекторе коллайдера в лаборатории физики элементарных частиц Фермилаба (CDF).)
- Джон М. Пьер, SUPERSTRINGS! Дополнительные измерения , (2003).
- Крис Поуп, Лекции по теории Калуцы – Клейна .
- Эдвард Виттен (2014). «Заметка об Эйнштейне, Бергманне и пятом измерении», arXiv : 1401.8048