Гильбертовы C*-модули — это математические объекты , которые обобщают понятие гильбертова пространства (которое само по себе является обобщением евклидова пространства ), поскольку они наделяют линейное пространство « скалярным произведением », которое принимает значения в C*-алгебре . Гильбертовские C*-модули были впервые введены в работе Ирвинга Капланского в 1953 году , развившего теорию коммутативных алгебр с единицей (хотя Капланский заметил, что предположение об единичном элементе не является «жизненно важным»). [1]В 1970-х годах теория была расширена на некоммутативные C*-алгебры независимо Уильямом Линдаллом Пашке [2] и Марком Риффелем , последний в статье, которая использовала гильбертовы C*-модули для построения теории индуцированных представлений C*- алгебры. [3] Гильбертовы C*-модули имеют решающее значение для формулировки Каспаровым KK-теории , [4] и обеспечивают правильную основу для расширения понятия Морита-эквивалентности на C*-алгебры. [5] Их можно рассматривать как обобщение векторных расслоений на некоммутативные C*-алгебры, и как таковые они играют важную роль в некоммутативной геометрии , особенно вC*-алгебраическая квантовая теория групп , [6] [7] и группоидные C*-алгебры.
Пусть A — C*-алгебра (не предполагается коммутативной или унитальной), ее инволюция обозначена *. Скалярный A -модуль (или предгильбертов A -модуль ) представляет собой комплексное линейное пространство E , снабженное совместимой структурой правого A -модуля вместе с отображением
Пополнение нормы E , по-прежнему обозначаемое E , называется гильбертовым A -модулем или гильбертовым C*-модулем над C*-алгеброй A . Неравенство Коши – Шварца подразумевает, что скалярный продукт непрерывен по норме и, следовательно, может быть продолжен до завершения.
Аналогично, если { e λ } является приближенной единицей для A ( сеть самосопряженных элементов A , для которых a e λ и e λ a стремятся к a для каждого a в A ), то для x в E
тогда замыкание < E , E > является двусторонним идеалом в A . Двусторонние идеалы являются С*-подалгебрами и поэтому обладают приближенными единицами. Можно проверить, что E < E , E > плотно в E . В случае, когда < E , E > плотно в A , E называется полным . Обычно это не так.
Комплексное гильбертово пространство H является гильбертовым C - модулем относительно своего скалярного произведения, причем комплексные числа представляют собой C*-алгебру с инволюцией, заданной комплексным сопряжением .