Реальный ранг (C * -алгебры)

В математике , то реальный ранг из C * -алгебра является некоммутативен аналогом Размерности Лебега . Это понятие впервые было введено Лоуренсом Г. Брауном и Герт К. Педерсен . ^[1]

Определение

Вещественный ранг унитальной C * -алгебры A - это наименьшее неотрицательное целое число n , обозначенное RR ( A ), такое, что для каждого ( n + 1) -набора ( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ) из самосопряжённых элементов а и любого е > 0, существует ( п + 1) -кратного ( у ₀ , у ₁ , ..., у _п ) самосопряженных элементов таким образом, что является обратимым и ${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} у_ {я} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ lVert \ sum _ {я = 0} ^ {n} (x_ {i} -y_ {i}) ^ {2} \ rVert <\ varepsilon}$ . Если такого целого числа не существует, то реальный ранг A бесконечен. Вещественный ранг неунитальной C * -алгебры определяется как действительный ранг ее унитализации .

Сравнения с размером

Если X - локально компактное хаусдорфово пространство , то RR ( C ₀ ( X )) = dim ( X ), где dim - размерность покрытия Лебега X по Лебегу . В результате реальный ранг считается некоммутативным обобщением размерности, но реальный ранг может сильно отличаться от размерности. Например, большинство некоммутативных торов имеют вещественный ранг ноль, несмотря на то, что они являются некоммутативной версией двумерного тора . Для локально компактных хаусдорфовых пространств нульмерность равносильна полной несвязности . Аналогичное соотношение неверно для C * -алгебр; покаAF-алгебры имеют вещественный ранг ноль, обратное неверно. Формулы, относящиеся к размерности, не могут быть обобщены для реального ранга. Например, Браун и Педерсен предположили, что RR ( A ⊗ B ) ≤ RR ( A ) + RR ( B ), поскольку верно, что dim ( X × Y ) ≤ dim ( X ) + dim ( Y ). Они доказали частный случай, что если A является AF и B имеет вещественный ранг нуль, то A ⊗ B имеет вещественный ранг нуль. Но в целом их гипотеза неверна, существуют C * -алгебры A и B с вещественным рангом нуль такие, что A ⊗ B имеет реальный ранг больше нуля. ^[2]

Реальный нулевой ранг

Особый интерес представляют C * -алгебры с вещественным рангом ноль. По определению унитарного C * -алгебра имеет реальный ранг нуля тогда и только тогда , когда обратимые самосопряженные элементы А являются плотными в самосопряжённых элементах A . Это условие эквивалентно ранее изученным условиям:

(ФС) Самосопряженные элементы А с конечным спектром плотны в самосопряжённых элементах A .
(НР) Каждый наследственная С * -подалгебра из A имеет приблизительную идентичность , состоящую из проекций .

Эта эквивалентность может быть использована , чтобы дать много примеров C * -алгебры с реальным нулевого ранга , включая AW * -алгебр , Bunce-Deddens алгебры , ^[3] и алгебры фон Неймана . В более широком смысле, простые униталъные чисто бесконечен C * -алгебры имеют реальный ранг нуля включая алгебры Cuntz и Cuntz-Кригер алгебру . Поскольку простые графовые C * -алгебры либо AF, либо чисто бесконечны, каждая простая графовая C * -алгебра имеет вещественный ранг нуль.

Нулевой вещественный ранг - свойство, замкнутое относительно взятия прямых пределов , наследственных C * -подалгебр и строгой эквивалентности Мориты . В частности, если A имеет вещественный ранг ноль, то M _n ( A ) алгебра матриц размера n × n над A имеет вещественный ранг нуль для любого целого числа n ≥ 1.

использованная литература

^ Браун, Лоуренс G ; Педерсен, Герт К. (июль 1991 г.). «C * -алгебры действительного ранга ноль» . Журнал функционального анализа . 99 (1): 131–149. DOI : 10.1016 / 0022-1236 (91) 90056-B . Zbl 0776.46026 .
^ Kodaka, Kazunori; Осака, Хироюки (июль 1995 г.). «Реальный ранг тензорных произведений C * -алгебр» . Труды Американского математического общества . 123 (7): 2213–2215. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1995-1264820-4 . Zbl 0835.46053 .
^ Блэкадар, Брюс; Кумджян, Александр (март 1985). «Косые произведения отношений и структура простых C * -алгебр». Mathematische Zeitschrift . 189 (1): 55–63. DOI : 10.1007 / BF01246943 . Zbl 0613.46049 .

[1] Браун, Лоуренс G ; Педерсен, Герт К. (июль 1991 г.). «C * -алгебры действительного ранга ноль» . Журнал функционального анализа . 99 (1): 131–149. DOI : 10.1016 / 0022-1236 (91) 90056-B . Zbl 0776.46026 .

[2] Kodaka, Kazunori; Осака, Хироюки (июль 1995 г.). «Реальный ранг тензорных произведений C * -алгебр» . Труды Американского математического общества . 123 (7): 2213–2215. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1995-1264820-4 . Zbl 0835.46053 .

[3] Блэкадар, Брюс; Кумджян, Александр (март 1985). «Косые произведения отношений и структура простых C * -алгебр». Mathematische Zeitschrift . 189 (1): 55–63. DOI : 10.1007 / BF01246943 . Zbl 0613.46049 .

[1]