Граф C * -алгебра

В математике , А граф С * -алгебра является универсальным С * -алгебра построен из ориентированного графа . Графовые C * -алгебры являются прямым обобщением алгебр Кунца и алгебр Кунца-Кригера, но было показано, что класс графовых C * -алгебр включает также несколько других широко изучаемых классов C * -алгебр. В результате графовые C * -алгебры обеспечивают общую основу для исследования многих хорошо известных классов C * -алгебр, которые ранее изучались независимо. Помимо других преимуществ, это обеспечивает контекст, в котором можно формулировать теоремы, которые применяются одновременно ко всем этим подклассам и содержат конкретные результаты для каждого подкласса как особые случаи.

Хотя графовые C * -алгебры включают множество примеров, они предоставляют класс C * -алгебр, которые удивительно поддаются изучению и гораздо более управляемы, чем общие C * -алгебры. Граф не только определяет связанную C * -алгебру, задавая отношения для генераторов, но также предоставляет полезный инструмент для описания и визуализации свойств C * -алгебры. Это визуальное качество привело к тому, что графовые C * -алгебры стали называть «операторными алгебрами, которые мы можем видеть». ^{[1] [2]} Другое преимущество графовых C * -алгебр состоит в том, что большая часть их структуры и многие из их инвариантов могут быть легко вычислены. Используя данные, поступающие из графа, можно определить, обладает ли ассоциированная C * -алгебра определенными свойствами, описать решетку идеалов и вычислить K-теоретические инварианты.

Терминология графа [ править ]

Терминология графов, используемая C * -алгебраистами, немного отличается от терминологии, используемой теоретиками графов. Термин граф обычно используется для обозначения ориентированного графа, состоящего из счетного набора вершин , счетного набора ребер и карт, идентифицирующих диапазон и источник каждого ребра, соответственно. Вершина называется стоком, когда ; т.е. нет ребер с источником . Вершина называется бесконечным эмиттером, если она бесконечна; т.е. имеется бесконечно много ребер с источником . Вершина называется особой вершиной.${\ displaystyle E = (E ^ {0}, E ^ {1}, r, s)}$${\ displaystyle E ^ {0}}$${\ displaystyle E ^ {1}}$${\ displaystyle r, s: E ^ {1} \ rightarrow E ^ {0}}$${\ displaystyle v \ in E ^ {0}}$${\ Displaystyle s ^ {- 1} (v) = \ emptyset}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v \ in E ^ {0}}$${\ displaystyle s ^ {- 1} (v)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle v}$если это либо сток, либо бесконечный эмиттер, и вершина называется правильной вершиной, если она не является особой вершиной. Обратите внимание, что вершина является правильной тогда и только тогда, когда количество ребер с источником конечно и не равно нулю. Граф называется конечным по строкам, если он не имеет бесконечных эмиттеров; т. е. если каждая вершина является либо правильной вершиной, либо стоком.${\ displaystyle v}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle v}$

Путь представляет собой конечную последовательность ребер с для всех . Бесконечный путь является счетно бесконечная последовательность ребер с для всех . Цикл представляет собой путь с , а выход за цикл ребро таким образом, что и для некоторых . Цикл называется простым циклом, если для всех .${\ Displaystyle е_ {1} е_ {2} \ ldots е_ {п}}$${\ Displaystyle г (е_ {я}) = s (е_ ​​{я + 1})}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п-1}$${\ Displaystyle е_ {1} е_ {2} \ ldots}$${\ Displaystyle г (е_ {я}) = s (е_ ​​{я + 1})}$${\ Displaystyle я \ в \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle е_ {1} е_ {2} \ ldots е_ {п}}$${\ Displaystyle г (е_ {п}) = s (е_ ​​{1})}$${\ Displaystyle е_ {1} е_ {2} \ ldots е_ {п}}$${\ displaystyle f \ in E ^ {1}}$${\ Displaystyle s (е) = s (е_ ​​{я})}$${\ displaystyle f \ neq e_ {i}}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п}$${\ Displaystyle е_ {1} е_ {2} \ ldots е_ {п}}$${\ Displaystyle s (е_ ​​{я}) \ neq s (е_ ​​{1})}$${\ Displaystyle 2 \ Leq я \ Leq п}$

Следующие два важных условия графов возникают при изучении C * -алгебр графов.

Условие (L): у каждого цикла на графике есть выход.

Условие (K): в графе нет вершины, которая находится ровно на одном простом цикле. Эквивалентно, граф удовлетворяет условию (K) тогда и только тогда, когда каждая вершина в графе не имеет циклов или находится на двух или более простых циклах.

Отношения Кунца-Кригера и универсальное свойство [ править ]

Cuntz-Кригер -семейства${\ displaystyle E}$ представляет собой набор в C * -алгебра таким образом, что элементы являются частичными изометриями с взаимно ортогональными диапазонами, элементы взаимно ортогональных проекций, и следующие три соотношения ( так называемых отношениями Cuntz-Кригер ) являются довольный:${\ displaystyle \ {s_ {e}, p_ {v}: e \ in E ^ {1}, v \ in E ^ {0} \}}$${\ displaystyle \ {s_ {e}: e \ in E ^ {1} \}}$${\ displaystyle \ {p_ {v}: v \ in E ^ {0} \}}$

1. (CK1) для всех ,${\displaystyle s_{e}^{*}s_{e}=p_{r(e)}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$
2. (CK2), если является правильной вершиной, и${\displaystyle p_{v}=\sum _{s(e)=v}s_{e}s_{e}^{*}}$${\displaystyle v}$
3. (CK3) для всех .${\displaystyle s_{e}s_{e}^{*}\leq p_{s(e)}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$

Графическая C * -алгебра, соответствующая , обозначаемая , определяется как C * -алгебра, порожденная семейством Кунца-Кригера , универсальным в том смысле, что всякий раз, когда оно является семейством Кунца-Кригера в C * -алгебре существует -гомоморфизм с для всех и для всех . Существование для любого графа было установлено Кумджианом, Паском и Ребурном. ^[3] Единственность (с точностью до -изоморфизма) непосредственно следует из универсального свойства.${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \{t_{e},q_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle *}$${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$${\displaystyle \phi (s_{e})=t_{e}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle \phi (p_{v})=q_{v}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle *}$

Соглашение о направлении края [ править ]

Важно знать, что существуют конкурирующие соглашения относительно «направления краев» в отношениях Кунца-Кригера. На протяжении всей этой статьи и в том виде, в каком эти соотношения сформулированы выше, мы используем соглашение, впервые установленное в основополагающих статьях о C * -алгебрах графов. ^{[3] [4]} Альтернативное соглашение, которое используется в книге Реберна CBMS по алгебрам графов, ^[5] меняет местами карту диапазона и исходную карту в отношениях Кунца-Кригера. Эффект этого изменения состоит в том, что C * -алгебра графа для одного соглашения равна C * -алгебре графа с обращенными ребрами при использовании другого соглашения.${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

Конечные графы [ править ]

В соотношениях Кунца-Кригера (CK2) накладывается только на правильные вершины. Более того, если - правильная вершина, то (CK2) влечет, что (CK3) выполняется в . Кроме того, если является стоком, то (CK3) остается в вакууме . Таким образом, если является конечным по строкам графом, отношение (CK3) является лишним, а набор частичных изометрий с взаимно ортогональными диапазонами и взаимно ортогональными проекциями является семейством Кунца-Кригера тогда и только тогда, когда соотношение в (CK1) выполняется в точке всех ребер в и соотношение в (CK2) выполняется во всех вершинах в${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$это не раковины. Тот факт, что отношения Кунца-Кригера принимают более простую форму для строковых конечных графов, имеет технические последствия для многих результатов в этом предмете. В случае конечных строк не только легче доказать результаты, но и упрощаются формулировки теорем при описании C * -алгебр конечных по строкам графов. Исторически сложилось так, что большая часть ранних работ над графовыми C * -алгебрами выполнялась исключительно в случае конечных строк. Даже в современной работе, где разрешены бесконечные эмиттеры и рассматриваются C * -алгебры общих графов, обычно конечный по строкам случай теоремы формулируется отдельно или как следствие, поскольку результаты часто более интуитивно понятны и прозрачны в этом случае. ситуация.

Примеры [ править ]

Графовая C * -алгебра была вычислена для многих графов. Наоборот, для некоторых классов C * -алгебр было показано, как построить граф, C * -алгебра которого -изоморфна или эквивалентна Морите данной C * -алгебре этого класса.${\displaystyle *}$

В следующей таблице показан ряд ориентированных графов и их C * -алгебр. Мы используем соглашение, согласно которому двойная стрелка, проведенная от одной вершины к другой и помеченная, указывает на то, что существует счетное бесконечное число ребер от первой вершины до второй.${\displaystyle \infty }$

Направленный график ${\displaystyle E}$	Граф C * -алгебра ${\displaystyle C^{*}(E)}$
	${\displaystyle \mathbb {C} }$, комплексные числа
	${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$комплекснозначные непрерывные функции на окружности ${\displaystyle \mathbb {T} }$
	${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$, матрицы с элементами в${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
	${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, компактные операторы в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве
	${\displaystyle M_{n}(C(\mathbb {T} ))}$, матрицы с элементами в${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$
	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$, алгебра Кунца, порожденная изометриями${\displaystyle n}$
	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\infty }}$, алгебра Кунца, порожденная счетным числом изометрий
	${\displaystyle {\mathcal {K}}^{1}}$, унитизация алгебры компактных операторов ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$
	${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, алгебра Теплица

Было показано, что класс графовых C * -алгебр содержит различные классы C * -алгебр. C * -алгебры в каждом из следующих классов могут быть реализованы как C * -алгебры графов с точностью до -изоморфизма:${\displaystyle *}$

• Алгебры Кунца
• Алгебры Кунца-Кригера
• конечномерные C * -алгебры
• стабильные AF-алгебры

C * -алгебры в каждом из следующих классов могут быть реализованы как C * -алгебры графов с точностью до эквивалентности по Морите:

• AF-алгебры ^[6]
• Алгебры Кирхберга со свободной K ₁ -группой

Соответствие графа C * -алгебраическим свойствам [ править ]

Один замечательный аспект C * -алгебр графов состоит в том, что граф не только описывает отношения для генераторов , но также можно показать, что различные теоретико-графические свойства алгебры эквивалентны C * -алгебраическим свойствам . Действительно, большая часть изучения C * -алгебр графов связана с разработкой словаря для соответствия между этими свойствами и установлением теорем вида «Граф обладает определенным теоретико-графовым свойством тогда и только тогда, когда C * -алгебра обладает соответствующим C * -алгебраическим свойством ". В следующей таблице представлен краткий список некоторых наиболее известных эквивалентов.${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$

Собственностью ${\displaystyle E}$	Собственностью ${\displaystyle C^{*}(E)}$
${\displaystyle E}$ конечный граф.	${\displaystyle C^{*}(E)}$ конечномерно.
Множество вершин конечно.${\displaystyle E^{0}}$	${\displaystyle C^{*}(E)}$является унитальным (т. е. содержит мультипликативную единицу).${\displaystyle C^{*}(E)}$
${\displaystyle E}$ не имеет циклов.	${\displaystyle C^{*}(E)}$ является алгеброй AF.
${\displaystyle E}$ удовлетворяет следующим трем свойствам: Условие (L), для каждой вершины и каждого бесконечного пути существует направленный путь из в вершину на , и${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha }$ для каждой вершины и каждой особой вершины существует направленный путь от до${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$	${\displaystyle C^{*}(E)}$ это просто.
${\displaystyle E}$ удовлетворяет следующим трем свойствам: Условие (L), для каждой вершины в существует путь от до цикла.${\displaystyle v}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$	Каждая наследственная подалгебра в содержит бесконечную проекцию. (Когда это просто, это эквивалентно чистой бесконечности.)${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle C^{*}(E)}$

Действие датчика [ править ]

Универсальное свойство производит естественное действие группы окружности на следующем: Если это универсальный Cuntz-Krieger -семейства, то для любого унимодулярного комплексного числа , коллекция является Cuntz-Krieger -семейства и универсальное свойство подразумевает , что существует a -гомоморфизм с для всех и для всех . Для каждого -гомоморфизм является обратным к , и , следовательно , является изоморфизмом. Это дает сильно непрерывное действие путем определения . Калибровочное действие иногда называют каноническим калибровочным действием на${\displaystyle \mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle \{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle \{zs_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle *}$${\displaystyle \gamma _{z}:C^{*}(E)\to C^{*}(E)}$${\displaystyle \gamma _{z}(s_{e})=zs_{e}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle \gamma _{z}(p_{v})=p_{v}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle *}$${\displaystyle \gamma _{\overline {z}}}$${\displaystyle \gamma _{z}}$${\displaystyle \gamma _{z}}$${\displaystyle \gamma :\mathbb {T} \to \operatorname {Aut} C^{*}(E)}$${\displaystyle \gamma (z):=\gamma _{z}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle C^{*}(E)}$. Важно отметить , что каноническое действие калибра зависит от выбора генераторной Cuntz-Krieger -семейства . Каноническое калибровочное действие - фундаментальный инструмент в изучении . Он появляется в формулировках теорем, а также используется негласно как технический прием в доказательствах.${\displaystyle E}$${\displaystyle \{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$

Теоремы единственности [ править ]

Существуют две хорошо известные теоремы единственности для C * -алгебр графов: калибровочно-инвариантная теорема единственности и теорема единственности Кунца-Кригера. Теоремы единственности являются фундаментальными результатами в изучении C * -алгебр графов и служат краеугольным камнем теории. Каждый обеспечивает достаточные условия для инъективности -гомоморфизма из в C * -алгебру. Следовательно, теоремы единственности могут использоваться, чтобы определить, когда C * -алгебра, порожденная семейством Кунца-Кригера, изоморфна ; в частности, если является C * -алгеброй, порожденной -семейством Кунца-Кригера , универсальное свойство порождает сюръективный -гомоморфизм , и каждая теорема единственности дает условия, при которых${\displaystyle *}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle *}$${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$${\displaystyle \phi }$инъективно, а значит, изоморфизм. Формальные формулировки теорем единственности следующие:

Калибровочно-инвариантная теорема единственности: пусть будет граф, и пусть будет ассоциированной графовой C * -алгеброй. If является C * -алгеброй и является -гомоморфизмом, удовлетворяющим следующим двум условиям:${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$${\displaystyle *}$

1. существует такое калибровочное действие , что для всех , где обозначает каноническое калибровочное действие на , и${\displaystyle \beta :\mathbb {T} \to \operatorname {Aut} A}$${\displaystyle \phi \circ \beta _{z}=\gamma _{z}\circ \phi }$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle C^{*}(E)}$
2. ${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$для всех ,${\displaystyle v\in E^{0}}$

то инъективно.${\displaystyle \phi }$

Теорема Кунца-Кригера единственности: пусть - граф, удовлетворяющий условию (L), и пусть - ассоциированная C * -алгебра графов. Если является C * -алгеброй и является -гомоморфизмом с для всех , то инъективен.${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$${\displaystyle *}$${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle \phi }$

Манометрическая-инвариантная теорема единственность следует , что если это Cuntz-Кригер -семейства с ненулевыми проекциями и существует действие калибра с и для всех , и , затем генерирует C * -алгебра изоморфна . Теорема единственности Кунца-Кригера показывает, что, когда граф удовлетворяет условию (L), существование калибровочного действия не требуется; если граф удовлетворяет условию (L), то любое -семейство Кунца-Кригера с ненулевыми проекциями порождает C * -алгебру, изоморфную .${\displaystyle \{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta _{z}(p_{v})=p_{v}}$${\displaystyle \beta _{z}(s_{e})=zs_{e}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle \{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$

Идеальная структура [ править ]

Идеальную структуру можно определить из . Подмножество вершин называется наследственным, если для всех , влечет . Наследственное подмножество называется насыщенным, если всякий раз, когда есть правильная вершина с , то . Насыщенные наследственные подмножества частично упорядочены по включению, и они образуют решетку с соответствием и соединением, определяемыми как наименьшее насыщенное наследственное подмножество, содержащее .${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H\subseteq E^{0}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle s(e)\in H}$${\displaystyle r(e)\in H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v}$${\displaystyle s^{-1}(v)\subseteq H}$${\displaystyle v\in H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H_{1}\wedge H_{2}:=H_{1}\cap H_{2}}$${\displaystyle H_{1}\vee H_{2}}$${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$

Если является насыщенным наследственным подмножеством, определяется как замкнутый двусторонний идеал в порожденном . Замкнутый двусторонний идеал в называется калибровочно-инвариантным, если для всех и . Калибровочно-инвариантные идеалы частично упорядочены по включению и образуют решетку с пересечением и сочленением, определяемым как идеал, порожденный . Для любого насыщенного наследственного подмножества идеал калибровочно инвариантен.${\displaystyle H}$${\displaystyle I_{H}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle \{p_{v}:v\in H\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle \gamma _{z}(a)\in C^{*}(E)}$${\displaystyle a\in I}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle I_{1}\wedge I_{2}:=I_{1}\cap I_{2}}$${\displaystyle I_{1}\vee I_{2}}$${\displaystyle I_{1}\cup I_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle I_{H}}$

Следующая теорема показывает, что калибровочно-инвариантные идеалы соответствуют насыщенным наследственным подмножествам.

Теорема: Пусть - конечный по строкам граф. Тогда имеет место следующее:${\displaystyle E}$

1. Функция является решеточным изоморфизмом решетки насыщенных наследственных подмножеств в решетку калибровочно-инвариантных идеалов в с обратным, задаваемым формулой .${\displaystyle H\mapsto I_{H}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle I\mapsto \{v\in E^{0}:p_{v}\in I\}}$
2. Для любого насыщенного наследственного подмножества , фактор является -изоморфно , где это подграф с множеством вершин и множеством ребер .${\displaystyle H}$${\displaystyle C^{*}(E)/I_{H}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle C^{*}(E\setminus H)}$${\displaystyle E\setminus H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (E\setminus H)^{0}:=E^{0}\setminus H}$${\displaystyle (E\setminus H)^{1}:=E^{1}\setminus r^{-1}(H)}$
3. Для любого насыщенного наследственного подмножества идеал эквивалентен по Морите , где - подграф с множеством вершин и множеством ребер .${\displaystyle H}$${\displaystyle I_{H}}$${\displaystyle C^{*}(E_{H})}$${\displaystyle E_{H}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{H}^{0}:=H}$${\displaystyle E_{H}^{1}:=s^{-1}(H)}$
4. Если удовлетворяет условию (K), то каждый идеал матрицы является калибровочно-инвариантным, а идеалы матрицы находятся во взаимно однозначном соответствии с насыщенными наследственными подмножествами .${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$

Desingularization [ править ]

Drinen-Tomforde десингуляризация , часто называют просто десингуляризация , это метод , используемый , чтобы расширить результаты для C * -алгебры строк-конечных графов С * -алгебр счетных графов. Если - граф, то десингуляризация - это конечный по строкам граф такой, что Морита эквивалентен . ^[7] Дринен и Томфорде описали метод построения десингуляризации из любого счетного графа: если это счетный граф, то для каждой вершины, которая испускает бесконечное количество ребер, сначала выбирается список исходящих ребер, а затем присоединяется хвост вида${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle C^{*}(F)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle s^{-1}(v_{0})=\{e_{0},e_{1},e_{2},\ldots \}}$

to at , и, наконец, удаляются ребра из графа и перераспределяются вдоль хвоста, рисуя новое ребро от до для каждого .${\displaystyle E}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2},\ldots }$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle r(e_{i})}$${\displaystyle i=0,1,2,\ldots }$

Вот несколько примеров, которые помогут читателю понять эту конструкцию. В первом примере обратите внимание, что если это график${\displaystyle E}$

то десингуляризация задается графом${\displaystyle F}$

Для второго примера предположим, что это граф с одной вершиной и счетным бесконечным числом ребер, каждое из которых начинается и заканчивается в этой вершине. Тогда десингуляризация задается графом${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\infty }}$${\displaystyle F}$

Десингуляризация стала стандартным инструментом в теории C * -алгебр графов, ^[8] и может упростить доказательство результатов, позволяя сначала доказать результат в (обычно гораздо более простом) случае конечных строк, а затем расширить приводить к счетным графам с помощью десингуляризации, часто без особых дополнительных усилий.

Техника десингуляризации может не работать для графов, содержащих вершину, излучающую несчетное количество ребер. Однако при изучении C * -алгебр обычно ограничивается сепарабельными C * -алгебрами . Поскольку графовая C * -алгебра отделима именно тогда, когда граф является счетным, большая часть теории графовых C * -алгебр сосредоточена на счетных графах.${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$

K-теория [ править ]

K-группы C * -алгебры графов могут быть полностью вычислены в терминах информации, поступающей из графа. Если это строка-конечный граф, то матрица вершины из является матрица с входом определяется как число ребер от до . Поскольку строка конечна, имеет элементы в, а каждая строка имеет только конечное число ненулевых элементов. (Фактически, отсюда и происходит термин «конечная строка».) Следовательно, каждый столбец транспонирования содержит только конечное число ненулевых элементов, и мы получаем отображение, заданное левым умножением. Аналогично, если обозначает единичную матрицу, то${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{0}\times E^{0}}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle A_{E}(v,w)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle A_{E}^{t}}$${\displaystyle A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle E^{0}\times E^{0}}$${\displaystyle I-A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$ предоставляет карту, полученную умножением слева.

Теорема: Пусть будет конечным по строкам графом без стоков, и пусть обозначает вершинную матрицу . потом ${\displaystyle E}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle I-A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$

дает хорошо определенную карту умножением слева. Более того,

${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))\cong \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})\qquad {\text{and}}\qquad K_{1}(C^{*}(E))\cong \operatorname {ker} (I-A_{E}^{t})}$.

Кроме того, если он унитален (или, что то же самое, конечно), то изоморфизм переводит класс единицы в класс вектора в .${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E^{0}}$${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))\cong \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})}$${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))}$${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)}$${\displaystyle \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})}$

Поскольку он изоморфен подгруппе свободной группы , мы можем заключить, что это свободная группа. Можно показать, что в общем случае (т. Е. Когда разрешено содержать стоки или бесконечные эмиттеры) это остается свободной группой. Это позволяет создавать примеры C * -алгебр, которые не являются графовыми C * -алгебрами: любая C * -алгебра с несвободной K ₁ -группой не эквивалентна по Морите (и, следовательно, не изоморфна) графу C * - алгебра.${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$${\displaystyle \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$

Заметки [ править ]