В математике , AW * -алгебра является алгебраическим обобщением W * -алгебры . Они были введены Ирвингом Каплански в 1951 году. [1] Как операторные алгебры , алгебры фон Неймана, среди всех C * -алгебр , обычно обрабатываются одним из двух способов: они являются двойственным пространством некоторого банахова пространства , и они определяются в значительной степени по их прогнозам. Идея AW * -алгебр состоит в том, чтобы отказаться от первого, топологического, условия и использовать только последнее, алгебраическое, условие.
Определение
Напомним, что проекция C * -алгебры - это самосопряженный идемпотентный элемент . AC * -алгебра A является AW * -алгеброй, если для любого подмножества S в A левый аннулятор
порождается как левый идеал некоторой проекцией p из A , и аналогично правый аннигилятор порождается как правый идеал некоторой проекцией q :
- .
Следовательно, AW * -алгебра - это C * -алгебра, которая одновременно является бэровским * -кольцом .
Исходное определение Капланского гласит, что AW * -алгебра - это C * -алгебра такая, что (1) любое множество ортогональных проекций имеет точную верхнюю границу и (2) каждая максимальная коммутативная C * -подалгебра порождается своей прогнозы. Первое условие гласит, что проекции имеют интересную структуру, а второе условие гарантирует, что проекций достаточно, чтобы они были интересными. [1] Отметим, что второе условие эквивалентно тому, что каждая максимальная коммутативная C * -подалгебра монотонно полна.
Теория структуры
Многие результаты, касающиеся алгебр фон Неймана, переносятся на AW * -алгебры. Например, AW * -алгебры можно классифицировать по поведению их проекций и разложить на типы . [2] В качестве другого примера, нормальные матрицы с элементами в AW * -алгебре всегда можно диагонализовать. [3] AW * -алгебры также всегда имеют полярное разложение . [4]
Однако есть также способы, которыми AW * -алгебры ведут себя иначе, чем алгебры фон Неймана. [5] Например, AW * -алгебры типа I могут проявлять патологические свойства [6], хотя Капланский уже показал, что такие алгебры с тривиальным центром автоматически являются алгебрами фон Неймана.
Коммутативный случай
Коммутативная C * -алгебра является AW * -алгеброй тогда и только тогда, когда ее спектр является стоунановским пространством . Via Stone дуальность , коммутативная AW * -алгебры таким образом , соответствует полным булевым алгебрам . Проекции коммутативной AW * -алгебры образуют полную булеву алгебру, и, наоборот, любая полная булева алгебра изоморфна проекциям некоторой коммутативной AW * -алгебры.
Рекомендации
- ^ a b Каплански, Ирвинг (1951). «Проекции в банаховых алгебрах». Анналы математики . 53 (2): 235–249. DOI : 10.2307 / 1969540 .
- ^ Бербериан, Стерлинг (1972). Кольца Бэра . Springer.
- ^ Хойнен, Крис; Рейес, Мануэль Л. (2013). «Диагонализирующие матрицы над AW * -алгебрами». Журнал функционального анализа . 264 (8): 1873–1898. arXiv : 1208.5120 . DOI : 10.1016 / j.jfa.2013.01.022 .
- ^ Ара, Пере (1989). «Левая и правая проекции эквивалентны в C * -алгебрах Рикарта». Журнал алгебры . 120 (2): 433–448. DOI : 10.1016 / 0021-8693 (89) 90209-3 .
- ^ Райт, Дж. Д. Мейтленд. «AW * -алгебра» . Springer.
- ^ Одзава, Масанао (1984). «Неединственность мощности однородных AW * -алгебр». Труды Американского математического общества . 93 : 681–684. DOI : 10.2307 / 2045544 .