В произвольном топологическом пространстве, класс замкнутых множеств с пустым интерьером состоит именно из границ в плотных открытых множествах . Эти наборы в определенном смысле «пренебрежимо малы». Некоторые примеры - конечные множества в гладких кривых на плоскости и собственные аффинные подпространства в евклидовом пространстве . Если топологическое пространство является пространством Бэра , то это «большое», что означает , что он не является счетным объединением из ничтожных подмножеств . Например, трехмерное евклидово пространство не является счетным объединением своих аффинных плоскостей.
Определение
Точное определение пространства Бэра претерпевало небольшие изменения на протяжении всей истории, в основном из-за преобладающих потребностей и точек зрения. Топологическое пространство называется пространством Бэра, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
Каждое непустое открытое подмножество не является скудным подмножеством ; [5]
Каждое подходящее подмножество плотно в ;
Объединение любой счетной коллекции из замкнутых нигде не плотных подмножеств (т.е. каждого замкнутое подмножества имеет пустой интерьер ) имеет пустую внутренность; [5]
Каждое пересечение счетного числа плотных открытых множеств в плотно в ; [5]
Если объединение счетного числа замкнутых подмножеств имеет внутреннюю точку, то хотя бы одно из замкнутых подмножеств должно иметь внутреннюю точку;
Каждая точка в имеет окрестность, которая является пространством Бэра (согласно любому определяющему условию, кроме этого). [5]
Таким же образом является пространство Бэра тогда и только тогда, когда оно «локально является пространством Бэра».
Достаточные условия
Теорема Бэра о категории
Основная статья: Теорема Бэра о категории
Теорема Бэра о категории дает достаточные условия для того, чтобы топологическое пространство было пространством Бэра. Это важный инструмент в топологии и функциональном анализе .
( BCT1 ) Каждое полное псевдометрическое пространство является пространством Бэра. [5] В более общем смысле , каждое топологическое пространство, гомеоморфно к открытому подмножеству полного псевдометрики пространства является пространством Бэра. В частности, всякое вполне метризуемое пространство является пространством Бэра.
( BCT2 ) Каждое локально компактное хаусдорфово пространство (или, в более общем смысле, любое локально компактное трезвое пространство ) является пространством Бэра.
BCT1 показывает, что каждое из следующего является пространством Бэра:
Пространство из действительных чисел
Пространство иррациональных чисел , которое гомеоморфно к Бэра пространства в теории множеств ω ω {\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}
Каждое компактное хаусдорфово пространство является пространством Бэра.
В частности, множество Кантора является пространством Бэра.
Действительно, каждый польский космос .
BCT2 показывает, что любое многообразие является пространством Бэра, даже если оно не паракомпактно и, следовательно, не метризуемо . Например, длинная очередь второй категории.
Другие достаточные условия
Произведение полных метрических пространств - это пространство Бэра. [5]
Топологическое векторное пространство является nonmeagre тогда и только тогда , когда она является пространством Бэра, [5] , которое происходит тогда и только тогда , когда каждое замкнутое сбалансированы поглощая подмножество имеет непустое интерьер. [6]
Примеры
Пространство из действительных чисел с обычной топологией, является пространством Бэра, и поэтому второй категории в себе. В рациональных числах являются первой категорией и иррациональные числа имеют вторую категорию в .
Другой большой класс пространств Бэра - алгебраические многообразия с топологией Зарисского . Например, пространство комплексных чисел, открытые множества которых являются дополнениями к исчезающим множествам многочленов, является алгебраическим многообразием с топологией Зарисского. Обычно это обозначается .
Множество Кантора является пространством Бэра, и поэтому второй категории самого по себе, но первой категории в интервале с обычной топологией.
Вот пример набора второй категории с мерой Лебега :
где есть последовательность , которая перечисляет на рациональные числа .
Обратите внимание, что пространство рациональных чисел с обычной топологией, унаследованной от действительных чисел , не является пространством Бэра, поскольку оно представляет собой объединение счетного числа замкнутых множеств без внутренних, синглтонов .
Не пример
Один из первых не-примеров исходит из индуцированной топологии рациональных чисел внутри вещественной прямой со стандартной евклидовой топологией . Учитывая индексацию рациональных чисел натуральными числами, так что это биекция, и let where, которое является открытым, плотным подмножеством в
Then, поскольку пересечение каждого открытого множества в пусто, пространство не может быть пространством Бэра.
Характеристики
Каждое непустое пространство Бэра само по себе имеет вторую категорию, и каждое пересечение счетного числа плотных открытых подмножеств непусто, но обратное ни одно из них не верно, как показывает топологическая непересекающаяся сумма рациональных чисел и единичный интервал
Каждое открытое подпространство пространства Бэра является пространством Бэра.
Учитывая семейство из непрерывных функций = с пределом точечен Если пространство Бэра , то точками , где не непрерывен является множеством скудного в и множестве точек , где непрерывно плотно в Частном случае этого является принцип равномерной ограниченности .
Замкнутое подмножество пространства Бэра не обязательно является Бэром.
Произведение двух пространств Бэра не обязательно является Бэром. Однако существуют достаточные условия, которые гарантируют, что произведение произвольного числа пространств Бэра снова будет бэровским.
^ a b c d e f g Narici & Beckenstein 2011 , стр. 371–423.
^ Wilansky 2013 , стр. 60.
использованная литература
Бэр, Рене-Луи (1899), Sur les fonctions de variables réelles, Annali di Mat. Сер. 3 3 , 1–123.
Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Прентис-Холл . ISBN 0-13-181629-2.
Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498 . OCLC 840293704 .
Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства. II . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 237 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Хаворт, RC; Маккой, Р.А. (1977), Baire Spaces , Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
внешние ссылки
Энциклопедия математики статья о пространстве Бэра