Это хорошая статья. Для получения дополнительной информации нажмите здесь.
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Математика в искусстве: гравюра Альбрехта Дюрера на медной пластине Melencolia I , 1514. Математические ссылки включают компас для геометрии , магический квадрат и усеченный ромбоэдр , а измерения указываются с помощью шкалы и песочных часов . [1]
Каркасное рисунок [2] вазы в виде тела вращения [2] по Paolo Учелло . 15 век

Математика и искусство связаны разными способами. Сама математика описывается как искусство, движимое красотой . Математику можно различить в таких искусствах, как музыка , танцы , живопись , архитектура , скульптура и текстиль . Однако эта статья посвящена математике в изобразительном искусстве.

Математика и искусство имеют давние исторические отношения. Художники использовали математику с 4 века до нашей эры, когда греческий скульптор Поликлет написал свой Канон , предписывая пропорции, предположительно основанные на соотношении 1: √ 2 для идеального обнаженного мужчины. Упорные популярные утверждения об использовании золотого сечения в древнем искусстве и архитектуре без надежных доказательств. В Италии эпохи Возрождения , Лука Пачоли написал влиятельный трактат De Divina Proportione (1509), иллюстрирована гравюрами по Леонардо да Винчи, об использовании золотого сечения в искусстве. Другой итальянский художник, Пьеро делла Франческа , развил идеи Евклида о перспективе в таких трактатах, как De Prospectiva Pingendi , и в своих картинах. Гравер Альбрехт Дюрер сделал много ссылок на математику в своей работе Melencolia I . В наше время художник-график М. К. Эшер интенсивно использовал мозаику и гиперболическую геометрию с помощью математика HSM Coxeter , в то время как движение Де Стиджа во главе с Тео ван Дусбургом иПит Мондриан явно любил геометрические формы. Математика вдохновила текстильные искусства, такие как квилтинг , вязание , вышивка крестиком , вязание крючком , вышивка , ткачество , производство турецких и других ковров , а также килим . В исламском искусстве симметрии очевидны в таких разнообразных формах, как персидский гирих и марокканская плитка зеллидж, каменные ширмы, пронизанные могольскими джали , и широко распространенные своды мукарна .

Математика напрямую повлияла на искусство с помощью концептуальных инструментов, таких как линейная перспектива , анализ симметрии и математических объектов, таких как многогранники и лента Мёбиуса . Магнус Веннингер создает красочные звездчатые многогранники , первоначально использовавшиеся как модели для обучения. Математические концепции, такие как рекурсия и логический парадокс, можно увидеть в картинах Рене Магритта и в гравюрах М.К. Эшера. Компьютерное искусство часто использует фракталы, включая множество Мандельброта , а иногда исследует другие математические объекты, такие какклеточные автоматы . Спорно, художник Дэвид Хокни утверждал , что художники Возрождения и далее сделали использование Lucida камеры , чтобы сделать точные представления сцен; архитектор Филип Стедман также утверждал, что Вермеер использовал камеру-обскуру в своих отчетливо наблюдаемых картинах.

Другие взаимосвязи включают алгоритмический анализ произведений искусства с помощью рентгеновской флуоресцентной спектроскопии , открытие того, что традиционные батики из разных регионов Явы имеют разные фрактальные измерения , и стимулы для математических исследований, особенно теории перспективы Филиппо Брунеллески , которая в конечном итоге привела к Жирару. Дезарг «ы проективной геометрии . Настойчивый взгляд, основанный, в конечном счете, на пифагорейском представлении о гармонии в музыке, утверждает, что все было упорядочено Числом, что Бог - это геометрия мира, и поэтому геометрия мира священна .

Происхождение: от Древней Греции до эпохи Возрождения [ править ]

Дополнительная информация: Художественные каноны пропорций тела.

Канон и симметрия Поликлета [ править ]

Римская копия в мраморе Дорифора , первоначально бронзовый Поликлет
Дополнительная информация: Polykleitos

Поликлет старший (ок. 450–420 до н. Э.) Был греческим скульптором из школы Аргоса и современником Фидия . Его работы и статуи состояли в основном из бронзы и изображали спортсменов. По словам философа и математика Ксенократа , Поликлет считается одним из самых важных скульпторов классической античности за его работу над Дорифором и статуей Геры в Герайоне Аргос . [3] Хотя его скульптуры не так известны, как скульптуры Фидия, ими очень восхищаются. В своем каноне, трактат, который он написал, чтобы задокументировать "идеальные" пропорции обнаженного мужчины, Поликлетос предлагает нам математический подход к скульптуре человеческого тела. [3]

Сам канон был утерян, но предполагается, что Поликлет использовал последовательность пропорций, где каждая длина равна диагонали квадрата, нарисованного на его предшественнике, 1: √ 2 (примерно 1: 1.1412). [4]

Влияние канона Поликлета огромно в классической греческой , римской и ренессансной скульптуре, причем многие скульпторы следуют предписаниям Поликлета. Хотя ни одна из оригинальных работ Поликлета не сохранилась, римские копии демонстрируют его идеал физического совершенства и математической точности. Некоторые ученые утверждают, что мысль Пифагора повлияла на Канон Поликлета. [5] Canon применяет основные математические понятия греческой геометрии, такие как соотношение, пропорция, и symmetria(По-гречески «гармоничные пропорции») и превращает его в систему, способную описывать человеческую форму посредством серии непрерывных геометрических прогрессий . [4]

Перспектива и пропорции [ править ]

Основная статья: Перспектива (графика)
Эксперимент Брунеллески с линейной перспективой

В классические времена, вместо того, чтобы уменьшать удаленные фигуры с помощью линейной перспективы , художники определяли размеры объектов и фигур в соответствии с их тематической важностью. В средние века некоторые художники использовали обратную перспективу для особого акцента. Мусульманский математик Альхазен (Ибн аль-Хайтам) описал теорию оптики в своей « Книге оптики» в 1021 году, но никогда не применял ее к искусству. [6] В эпоху Возрождения возродилась классическая греческая и римская культура и идеи, в том числе изучение математики для понимания природы и искусства.. Два основных мотива подтолкнули художников позднего средневековья и эпохи Возрождения к математике. Во-первых, художникам нужно было придумать, как изобразить трехмерные сцены на двухмерном холсте. Во-вторых, как философы, так и художники были убеждены, что математика является истинной сущностью физического мира и что всю вселенную, включая искусства, можно объяснить в геометрических терминах. [7]

Зачатки перспективы пришли с Джотто (1266/7 - 1337), который попытался рисовать в перспективе, используя алгебраический метод, чтобы определить расположение далеких линий. В 1415 году итальянский архитектор Филиппо Брунеллески и его друг Леон Баттиста Альберти продемонстрировали геометрический метод применения перспективы во Флоренции, используя аналогичные треугольники, сформулированные Евклидом, для определения видимой высоты удаленных объектов. [8] [9] Перспективные картины Брунеллески утеряны, но картина Святой Троицы Мазаччо показывает его принципы в действии. [6] [10] [11]

Паоло Уччелло новаторски использовал перспективу в битве при Сан-Романо (ок. 1435–1460).

Итальянский художник Паоло Уччелло (1397–1475) был очарован перспективой, как показано на его картинах «Битва при Сан-Романо» (ок. 1435–1460): сломанные копья удобно лежат вдоль перспективных линий. [12] [13]

Художник Пьеро делла Франческа (ок. 1415–1492) стал примером этого нового сдвига в итальянском мышлении эпохи Возрождения. Он был опытным математиком и геометром , писал книги по твердой геометрии и перспективе , в том числе De prospectiva pingendi (О перспективе живописи) , Trattato d'Abaco (Трактат о абаках ) и De quinque corporibus regularibus (О пяти правильных телах) . [14] [15] [16] Историк Вазари в своей книге «Жизни художников» называет Пьеро «величайшим геометром своего времени или, возможно, всех времен».[17] Интерес Piero в перспективе можно увидеть в его картинахвключая полиптих Перуджи , [18] в алтарный Сане Агостино и бичевание Христа . Его работы по геометрии оказали влияние на более поздних математиков и художников, в том числе на Луку Пачоли в его « Де божественной пропорции» и Леонардо да Винчи . Пьеро изучал классическую математику и труды Архимеда . [19] Его учили коммерческой арифметике в «школах счётов»; его сочинения отформатированы как школьные учебники на счетах [20], возможно, включая книгу Леонардо Пизано ( Фибоначчи ) 1202 года.Liber Abaci . Линейная перспектива только-только вводилась в художественный мир. Альберти объяснил в своей работе 1435 De pictura : «Лучи света движутся по прямым линиям от точек наблюдаемой сцены к глазу, образуя своего рода пирамиду с глазом в качестве вершины». Картина, построенная в линейной перспективе, представляет собой поперечное сечение этой пирамиды. [21]

В « De Prospectiva Pingendi» Пьеро преобразовывает свои эмпирические наблюдения за тем, как аспекты фигуры меняются с точки зрения точки зрения, в математические доказательства. Его трактат начинается в духе Евклида: он определяет точку как «малейшую вещь, которую может постичь глаз». [a] [7] Он использует дедуктивную логику, чтобы привести читателя к перспективному представлению трехмерного тела. [22]

Художник Дэвид Хокни утверждал в своей книге « Тайные знания: заново открывая утраченные техники старых мастеров», что художники начали использовать камеру lucida с 1420-х годов, что привело к внезапному изменению точности и реализма, и что эта практика была продолжена крупными художниками, включая Энгр , Ван Эйк и Караваджо . [23] Критики расходятся во мнениях относительно того, был ли прав Хокни. [24] [25] Кроме того , архитектор Филип Стэдман утверждал спорно [26] , что Вермеер использовал другое устройство, то камера - обскура, чтобы помочь ему создать его отчетливо наблюдаемые картины. [27]

В 1509 году Лука Пачоли (ок. 1447–1517) опубликовал « Де дивина пропорции» о математических и художественных пропорциях , в том числе на человеческом лице. Леонардо да Винчи (1452–1519) иллюстрировал текст гравюрами правильных тел, когда учился у Пачоли в 1490-х годах. Рисунки Леонардо, вероятно, являются первыми иллюстрациями скелетных твердых тел. [28] Они, такие как ромбокубооктаэдр , были одними из первых, кто был нарисован, чтобы продемонстрировать перспективу путем наложения друг на друга. В работе обсуждается перспектива в работах Пьеро делла Франческа , Мелоццо да Форли иМарко Пальмеццано . [29] Да Винчи изучил Сумму Пачоли , из которой скопировал таблицы пропорций. [30] В « Моне Лизе» и «Тайной вечере» работы да Винчи включают линейную перспективу с точкой схода, чтобы обеспечить кажущуюся глубину. [31] Последний ужин построен в узком соотношении 12: 6: 4: 3, как Рафаэль «S Школа Афин , который включает в себя Пифагор с таблеткой идеальных соотношений, священных для пифагорейцев. [32] [33] В « Витрувианском человеке» Леонардо выразил идеи римского архитектора.Витрувий , изобретательно показавший мужскую фигуру дважды и центрирующий его как в круге, так и в квадрате. [34]

Еще в XV веке криволинейная перспектива нашла свое отражение в картинах художников, заинтересованных в искажении изображения. Ян ван Эйк «s 1434 Arnolfini Портрета содержит выпуклое зеркало с отражениями людей в сцене, [35] в то время как Пармиджанино » s Автопортрет в выпуклом зеркале , гр. 1523–1524 гг., В центре изображено почти неискаженное лицо художника с сильно изогнутым фоном и рукой художника по краю. [36]

Трехмерное пространство может быть убедительно представлено в искусстве, как и в техническом рисунке , другими средствами, кроме перспективы. Наклонные проекции , в том числе кавалерийская перспектива (использовавшаяся французскими военными художниками для изображения укреплений в 18 веке), постоянно и повсеместно использовались китайскими художниками с первого или второго веков до 18 века. Китайцы переняли технику из Индии, а в Древнем Риме. Косая проекция наблюдается в японском искусстве, например, в картинах укиё-э Тории Киёнага (1752–1815). [37]

  • Гравюра на дереве из картины Луки Пачоли 1509 г. " Пропорции дивины" с равносторонним треугольником на человеческом лице.

  • Камера lucida используется. Scientific American , 1879 год.

  • Иллюстрация художника, использующего камеру-обскуру . 17-го века

  • Пропорция: Leonardo «s Витрувианский человек , гр. 1490

  • Брунеллески «Теория х перспективы : Мазаччо » s Тринита , гр. 1426–1428 гг., В базилике Санта-Мария-Новелла

  • Диаграмма из картины Леона Баттисты Альберти 1435 г. Делла Питтура , с колоннами в перспективе на сетке

  • Линейная перспектива в " Бичевании Христа" Пьеро делла Франческа , ок. 1455–1460

  • Криволинейная перспектива : выпуклое зеркало в Ян ван Эйк «s Арнольфини Портрет , 1434

  • Пармиджанино , Автопортрет в выпуклом зеркале , ок. 1523–1524

  • Пифагор с планшетом соотношений, в Рафаэль «S Школа Афин , 1509

  • Косая проекция : Вход и двор яменя . Фрагмент свитка о Сучжоу, созданного Сюй Яном по заказу императора Цяньлуна . 18-ый век

  • Косая проекция : женщины играют в настольные игры сёги , го и бан-сугороку . Картина Тории Киёнага , Япония, ок. 1780 г.

Золотое сечение [ править ]

Дополнительная информация: Список работ, оформленных с использованием золотого сечения.

Золотое сечение (примерно равно 1,618) , как известно Евклида . [38] Золотое сечение настойчиво утверждается [39] [40] [41] [42] в наше время, что оно использовалось в искусстве и архитектуре древними в Египте, Греции и других местах, без надежных доказательств. [43] Это утверждение может быть связано с путаницей с «золотой серединой», которая для древних греков означала «избегание излишеств в любом направлении», а не соотношение. [43] Пирамидологи с девятнадцатого века спорили о сомнительных математических основаниях золотого сечения в дизайне пирамид. [Ь] Парфенон, храм V века до нашей эры в Афинах, как утверждается, использует золотое сечение на фасаде и плане этажа, [46] [47] [48], но эти утверждения также опровергнуты измерениями. [43] Великая мечеть Кайруан в Тунисе аналогично Утверждалось использовать золотое сечение в его конструкции, [49] , но отношение не появляется в оригинальных частях мечети. [50] Историк архитектуры Фредерик Макоди Лунд в 1919 году утверждал, что Шартрский собор (12 век), Нотр-Дам в Лаоне (1157–1205) и Нотр-Дам де Пари (1160) спроектированы в соответствии сзолотое сечение , [51] рисование линий регулятора, чтобы сделать его случай. Другие ученые утверждают, что до работы Пачоли в 1509 году золотое сечение было неизвестно художникам и архитекторам. [52] Например, высота и ширина фасада Нотр-Дам в Лаоне имеют соотношение 8/5 или 1,6, а не 1,618. Такие соотношения Фибоначчи быстро становится трудно отличить от золотого сечения. [53] После Пачоли золотое сечение более заметно в произведениях искусства, в том числе в « Моне Лизе» Леонардо . [54]

Другое соотношение, единственное другое морфическое число [55], было названо пластическим числом [c] в 1928 году голландским архитектором Хансом ван дер Лааном (первоначально на французском языке названо le nombre radiant ). [56] Его значение является решением кубического уравнения

,

иррациональное число, равное примерно 1,325. По словам архитектора Ричарда Падована , у этого есть характерные соотношения3/4 и 1/7, которые определяют пределы человеческого восприятия в отношении одного физического размера к другому. Ван дер Лаан использовал эти соотношения при проектировании церкви аббатства Святого Бенедиктусберга 1967 года в Нидерландах. [56]

  • Основание: гипотенуза (b: a) отношения для пирамиды Хуфу могут быть: 1: φ ( треугольник Кеплера ), 3: 5 ( треугольник 3-4-5 ) или 1: 4 / π

  • Предполагаемые соотношения: Нотр-Дам в Лаоне

  • Золотые прямоугольники наложены на Мона Лизу

  • Церковь аббатства Святого Бенедиктусберга 1967 года работы Ханса ван дер Лаана имеет пластичные пропорции чисел .

Плоские симметрии [ править ]

Дополнительная информация: плоская симметрия , группа обоев , исламские геометрические узоры и килим.
Мощное присутствие: [57] ковер с двойным медальоном. Центральная Анатолия (Конья - Карапынар), рубеж 16-17 веков. Мечеть Аладдина

Плоская симметрия на протяжении тысячелетий использовалась в таких произведениях искусства, как ковры , решетки, текстиль и плитка. [58] [59] [60] [61]

Многие традиционные ковры, будь то ворсовые или плоские килимы , разделены на центральное поле и обрамляющую кайму; оба могут иметь симметрию, хотя в коврах ручной работы они часто слегка нарушены мелкими деталями, вариациями рисунка и изменениями цвета, вносимыми ткачихой. [58] В килимах из Анатолии используемые мотивы обычно симметричны. Обычно присутствует и общая компоновка с такими схемами, как полосы, полосы, чередующиеся с рядами мотивов, и упакованные массивы примерно шестиугольных мотивов. Поле обычно выкладывается в виде обоев с группой обоев, такой как pmm, а граница может быть выложена как фриз из группы фризов.pm11, pmm2 или pma2. Турецкие и среднеазиатские килимы часто имеют три и более границ в разных группах фризов. Ткачи, безусловно, стремились к симметрии, не зная ее математики. [58] Математик и теоретик архитектуры Никос Салингарос предполагает, что «мощное присутствие» [57] (эстетический эффект) «большого ковра» [57], такого как лучшие ковры с двумя медальонами из Коньи 17-го века, создается математическими методами. методы, связанные с теориями архитектора Кристофера Александра. Эти техники включают в себя создание пары противоположностей; противоположные значения цвета; геометрическое различение областей с помощью дополнительных форм или уравновешивания направленности острых углов; обеспечение мелкомасштабной сложности (от уровня узла и выше) и симметрии как малого, так и большого размера; повторяющиеся элементы в иерархии разных масштабов (с соотношением примерно 2,7 от каждого уровня к следующему). Салингарос утверждает, что «все успешные ковры удовлетворяют как минимум девяти из десяти вышеупомянутых правил», и предполагает, что можно создать метрику из этих правил. [57]

Изысканные решетки встречаются в индийских изделиях Джали , вырезанных из мрамора для украшения гробниц и дворцов. [59] Китайские решетки, всегда обладающие некоторой симметрией, существуют в 14 из 17 групп обоев; они часто имеют зеркальную, двойную зеркальную или вращательную симметрию. У некоторых есть центральный медальон, а у некоторых есть кайма в группе фризов. [62] Многие китайские решетки были проанализированы математически Дэниелом С. Даем; он определяет Сычуань как центр ремесла. [63]

Гирихская плитка

Симметрии широко используются в текстильных искусствах, включая квилтинг , [60] вязание , [64] вышивку крестиком , вязание крючком , [65] вышивку [66] [67] и ткачество , [68] где они могут быть чисто декоративными или могут быть знаками положение дел. [69] Вращательная симметрия встречается в круглых структурах, таких как купола ; они иногда искусно украшены симметричными узорами внутри и снаружи, как, например, в мечети шейха Лотфоллы 1619 года в Исфахане . [70]Предметы вышивки и кружева, такие как скатерти и скатерти, сделанные с использованием бобин или плетения фриволите , могут иметь широкий спектр отражательной и вращательной симметрии, которые исследуются математически. [71]

Исламское искусство использует симметрию во многих своих формах искусства, особенно в гирихах . Они сформированы с использованием набора из пяти форм плитки, а именно правильного десятиугольника, удлиненного шестиугольника, галстука-бабочки, ромба и правильного пятиугольника. Все стороны этих плиток имеют одинаковую длину; и все их углы кратны 36 ° (π / 5 радиан ), что обеспечивает пяти- и десятикратную симметрию. Плитки украшены полосами (гирих), обычно более заметными, чем границы плитки. В 2007 году физики Питер Лу и Пол Стейнхардт утверждали, что гирих напоминает квазикристаллические мозаики Пенроуза . [72] Сложная геометрияПлитка зеллидж - отличительный элемент марокканской архитектуры. [61] Хранилища Мукарнаса трехмерны, но были спроектированы в двух измерениях с чертежами геометрических ячеек. [73]

  • Хотамис килим (деталь), центральная Анатолия , начало 19 века

  • Деталь парчи времен династии Мин с использованием скошенного гексагонального узора решетки

  • Мраморная решетка Джаали на могиле Салима Чишти , Фатехпур Сикри , Индия

  • Симметрии : гобелен с флорентийским узором Барджелло

  • Потолок мечети шейха Лотфоллы , Исфахан , 1619 г.

  • Ротационная симметрия в кружевах : фриволит работа

  • Плитки гирих : узоры в крупном и мелком масштабе на полотне из святилища Дарб-и Имам , Исфахан, 1453 г.

  • Тесселяция : мозаичная плитка зуллидж в медресе Бу Инания , Фес , Марокко

  • Комплексная геометрия и разбиения muqarnas сводов в Мечети шейха Лютфуллу, Исфахан

  • План архитектора свода квартала Мукарнас. Свиток Топкапы

  • Туника инков Тупа из Перу , 1450–1540 гг., Ткань Анд , символизирующая высокое положение [69]

Многогранники [ править ]

Первый печатная иллюстрация ромбокубооктаэдра , по Леонардо да Винчи , опубликованная в De Divina Proportione , 1509

В Платоновых тела и другие многогранники являются повторяющейся темой в западном искусстве. Они встречаются, например, в мраморной мозаике с изображением маленького звездчатого додекаэдра , приписываемого Паоло Уччелло, в полу базилики Сан-Марко в Венеции; [12] в диаграммах Леонардо да Винчи правильных многогранников, сделанных в качестве иллюстраций к книге Луки Пачоли 1509 года «Божественная пропорция» ; [12] как стеклянный ромбокубооктаэдр на портрете Пачоли Якопо де Барбари, написанном в 1495 году; [12] в усеченном многограннике (и различных других математических объектах) у Альбрехта Дюрерагравюра Меленколия I ; [12] и в картине Сальвадора Дали « Тайная вечеря», на которой Христос и его ученики изображены внутри гигантского додекаэдра . [74]

Альбрехт Дюрер (1471–1528) был немецким гравером эпохи Возрождения, который внес важный вклад в многогранную литературу в своей книге 1525 года Underweysung der Messung (Образование в области измерения) , предназначенной для обучения предметам линейной перспективы , геометрии в архитектуре , Платоновых тел и правильные многоугольники . Дюрер, вероятно, находился под влиянием работ Луки Пачоли и Пьеро делла Франческа во время своих поездок в Италию . [75] Хотя примеры перспективы в Underweysung der Messungнедоразвиты и содержат неточности, многогранники подробно обсуждаются. Дюрер также первым ввел в текст идею многогранных сетей , многогранников, развернутых в плоское положение для печати. [76] Дюрер опубликовал еще одну влиятельную книгу о человеческих пропорциях под названием Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Четыре книги о человеческих пропорциях) в 1528 году. [77]

Сальвадор Дали «s Распятие (Corpus Hypercubus) , 1954, изображает Христа на математической сети в виде гиперкуба , (холст , масло, 194.3 × 123.8 см, Музей искусств Метрополитен , Нью - Йорк) [78] [79]

На знаменитой гравюре Дюрера « Меленколия I» изображен разочарованный мыслитель, сидящий у усеченного треугольного трапеции и магического квадрата . [1] Эти два объекта и гравюра в целом были предметом более современной интерпретации, чем содержание почти любой другой гравюры, [1] [80] [81] включая двухтомную книгу Питера-Клауса Шустер [82] и влиятельная дискуссия в монографии Дюрера Эрвина Панофски . [1] [83]

« Corpus Hypercubus» Сальвадора Дали изображает развернутую трехмерную сеть для гиперкуба , также известного как тессеракт ; Разворачивание тессеракта в эти восемь кубов аналогично разворачиванию сторон куба в крестообразную форму из шести квадратов, здесь представляющих божественную перспективу с четырехмерным правильным многогранником. [79] [78]

Фрактальные измерения [ править ]

Батики из Суракарты , Ява, как и этот образец меча parang klithik , имеют фрактальную размерность от 1,2 до 1,5.

Традиционная индонезийский воск сопротивляться батик конструкция на ткани сочетает изобразительные мотивы (например, цветочные и растительные элементы) с абстрактными и несколько хаотических элементами, в том числе неточностей в применении воска сопротивления, и случайной вариации , введенной растрескивание воска. Дизайн батика имеет фрактальную размерность от 1 до 2, различающуюся в зависимости от региона. Например, батик Чиребона имеет фрактальную размерность 1,1; батики Джокьякарты и Суракарты (Соло) в Центральной Яве имеют фрактальную размерность от 1,2 до 1,5; и батик из Lasem на северном побережье Явы и из Tasikmalayaв Западной Яве фрактальная размерность составляет от 1,5 до 1,7. [84]

Работы капельного рисования современного художника Джексона Поллока также отличаются своей фрактальной размерностью. Его номер 14 1948 года имеет размерность 1,45, подобную береговой линии, в то время как его более поздние картины имели последовательно более высокие фрактальные измерения и, соответственно, более сложные узоры. Одна из его последних работ, « Голубые полюсы» , создавалась за шесть месяцев и имеет фрактальную размерность 1,72. [85]

Сложные отношения [ править ]

Астроном Галилео Галилей в своей книге Il Saggiatore писал, что «[Вселенная] написана на языке математики , а ее символы - треугольники, круги и другие геометрические фигуры». [86] Художники, которые стремятся и стремятся изучать природу, должны сначала, по мнению Галилея, полностью понимать математику. Математики же, наоборот, стремились интерпретировать и анализировать искусство через призму геометрии и рациональности. Математик Фелипе Кукер предполагает, что математика, и особенно геометрия, является источником правил для «художественного творчества, основанного на правилах», хотя и не единственным. [87] Некоторые из многих составляющих сложного отношения [88] описаны ниже.

Математик Дж. Х. Харди определил набор критериев математической красоты .

Математика как искусство [ править ]

Основная статья: Математическая красота

Математик Джерри П. Кинг описывает математику как искусство, заявляя, что «ключи к математике - это красота и элегантность, а не скучность и техническая сторона», и что красота является движущей силой математических исследований. [89] Кинг цитирует эссе математика Дж. Харди 1940 г. «Извинения математика» . В нем Харди обсуждает, почему он считает две теоремы о классических временах первоклассными, а именно доказательство Евклида , что существует бесконечно много простых чисел , и доказательство того, что квадратный корень из 2 иррационален . Кинг сравнивает это последнее с критериями математической элегантности Харди : "серьезность, глубина, общность, неожиданность, неизбежность и экономия »(курсив Кинга) и описывает доказательство как« эстетически приятное ». [90] Венгерский математик Пол Эрдёш согласился, что математика обладает красотой, но рассмотрел причины, не поддающиеся объяснению:« Почему числа красивые? Это все равно, что спросить, почему Девятая симфония Бетховена прекрасна. Если вы не понимаете почему, никто не может вам сказать. Я знаю, что числа прекрасны » [91]

Математические инструменты для искусства [ править ]

Дополнительная информация: Список математических художников , фрактального искусства и компьютерного искусства.

Математику можно найти во многих искусствах, таких как музыка , танцы , [92] живопись , архитектура и скульптура . Каждый из них тесно связан с математикой. [93] Среди связей с изобразительным искусством математика может предоставить художникам инструменты, такие как правила линейной перспективы, описанные Бруком Тейлором и Иоганном Ламбертом , или методы начертательной геометрии , которые сейчас применяются в программном моделировании твердых тел, датировании обратно к Альбрехту Дюреру и Гаспару Монжу . [94] Художники из Луки Пачоли вСредние века, Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер в эпоху Возрождения использовали и развили математические идеи в своих художественных работах. [93] [95] Использование перспективы началось, несмотря на некоторые зародыши в архитектуре Древней Греции, с итальянских художников, таких как Джотто в 13 веке; такие правила, как точка схода, были впервые сформулированы Брунеллески примерно в 1413 году [6], его теория повлияла на Леонардо и Дюрера. Работа Исаака Ньютона над оптическим спектром повлияла на теорию цвета Гете.и в свою очередь , художников , таких как Филипп Отто Рунге , JMW Тернер , [96] в прерафаэлитов и Кандинского . [97] [98] Художники также могут анализировать симметрию сцены. [99] Инструменты могут применяться математиками, изучающими искусство, или художниками, вдохновленными математикой, такими как М.С. Эшер (вдохновленный HSM Coxeter ) и архитектор Фрэнк Гери , который более сдержанно утверждал, что компьютерное проектирование позволило ему выразить себя в совершенно новый способ. [100]

Octopod - Микаэль Хвидтфельдт Кристенсен. Алгоритмическое искусство, созданное с помощью программного обеспечения Structure Synth

Художник Ричард Райт утверждает, что математические объекты, которые можно построить, можно рассматривать либо «как процессы для моделирования явлений», либо как произведения « компьютерного искусства ». Он рассматривает природу математической мысли, отмечая, что фракталы были известны математикам за столетие до того, как были признаны таковыми. В заключение Райт заявляет, что уместно подвергать математические объекты любым методам, используемым для «примирения с культурными артефактами, такими как искусство, напряжением между объективностью и субъективностью, их метафорическими значениями и характером репрезентативных систем». Он приводит в качестве примеров изображение из множества Мандельброта , изображение, сгенерированное алгоритмом клеточного автомата , икомпьютерное изображение, и обсуждает со ссылкой на тест Тьюринга , могут ли алгоритмические продукты быть искусством. [101] Сашо Калайдзиевски « Математика и искусство: Введение в визуальную математику» использует аналогичный подход, рассматривая подходящие темы визуальной математики, такие как мозаики, фракталы и гиперболическая геометрия. [102]

Некоторые из первых произведений компьютерного искусства были созданы Десмондом Полом Генри «Drawing Machine 1», аналоговой машиной, основанной на компьютере бомбового прицела и выставленной в 1962 году. [103] [104] Машина была способна создавать сложные, абстрактные , асимметричные, криволинейные, но повторяющиеся линейные рисунки. [103] [105] Совсем недавно Хамид Надери Еганех создал формы, напоминающие объекты реального мира, такие как рыбы и птицы, используя формулы, которые последовательно меняются, чтобы нарисовать семейства кривых или наклонных линий. [106] [107] [108] Такие художники, как Микаэль Хвидтфельдт Кристенсен, создают произведениягенеративное или алгоритмическое искусство путем написания сценариев для программной системы, такой как Structure Synth : художник эффективно направляет систему для применения желаемой комбинации математических операций к выбранному набору данных. [109] [110]

  • Математическая скульптура Вирсавии Гроссман , 2007 г.

  • Fractal скульптура: дд 3D Fraktal 03 / H / по Хартмут Skerbisch , 2003

  • Слово Фибоначчи : фрагмент картины Самуэля Монье, 2009 г.

  • Изображение компьютерного искусства, созданное Десмондом Полом Генри «Машина для рисования 1», выставка 1962 г.

  • «Птица в полете » Хамида Надери Еганеха , 2016 г., построенная с использованием семейства математических кривых.

От математики к искусству [ править ]

Протокубизм : картина Пабло Пикассо « Les Demoiselles d'Avignon » 1907 года использует проекцию четвертого измерения, чтобы показать фигуру как в анфас, так и в профиль. [111]
Дополнительная информация: протокубизм , мозаика , М. К. Эшер , математика складывания бумаги , а также математика и искусство волокна.

Математик и физик - теоретик Анри Пуанкаре «s Наука и гипотеза была широко прочитана кубистов , в том числе Пабло Пикассо и Жан Метцингером . [112] [113] Будучи хорошо знаком с работами Бернхарда Римана по неевклидовой геометрии, Пуанкаре более чем осознавал, что евклидова геометрия - это лишь одна из многих возможных геометрических конфигураций, а не абсолютная объективная истина. Возможное существование четвертого измерения вдохновило художников поставить под сомнение классическую перспективу Возрождения : неевклидова геометриястала реальной альтернативой. [114] [115] [116] Представление о том, что живопись может быть выражена математически, в цвете и форме, способствовало развитию кубизма, художественного движения, которое привело к абстрактному искусству . [117] Метцингер в 1910 году писал: «[Пикассо] излагает свободную мобильную перспективу, из которой гениальный математик Морис Принст вывел целую геометрию». [118] Позже Метцингер писал в своих мемуарах:

Морис Принст часто присоединялся к нам ... как художник он концептуализировал математику, как эстетик он обращался к n- мерным континуумам. Он любил интересовать художников новыми взглядами на пространство , открытыми Шлегелем и некоторыми другими. Ему это удалось. [119]

Стремление создавать обучающие или исследовательские модели математических форм естественным образом создает объекты, обладающие симметрией и удивительными или приятными формами. Некоторые из них вдохновили художников, таких как дадаисты Ман Рэй , [120] Марсель Дюшан [121] и Макс Эрнст , [122] [123] и вслед за Ман Рэем Хироши Сугимото . [124]

Эннепер появляется как дадаизм : математический объект 1934 года Ман Рэя

Ман Рэй сфотографировал некоторые математические модели в Институте Анри Пуанкаре в Париже, в том числе Objet mathematique (математический объект). Он отметил, что это представляет собой поверхности Эннепера с постоянной отрицательной кривизной , полученной из псевдосферы . Эта математическая основа была для него важна, поскольку позволяла ему отрицать, что объект был «абстрактным», вместо этого заявляя, что он был таким же реальным, как писсуар, который Дюшан превратил в произведение искусства. Ман Рэй признал, что формула объекта [поверхность Эннепера] «ничего не значила для меня, но сами формы были такими же разнообразными и аутентичными, как и все в природе». Он использовал свои фотографии математических моделей в качестве рисунков в своей серии, которую он делал наПьесы Шекспира , такие как его картина 1934 года « Антоний и Клеопатра» . [125] Репортер Джонатан Китс, пишущий в ForbesLife , утверждает, что Ман Рэй сфотографировал «эллиптические параболоиды и конические точки в том же чувственном свете, что и его фотографии Кики де Монпарнас », и «гениально перепрофилирует крутые математические вычисления, чтобы раскрыть топология желания ». [126] Скульпторы двадцатого века, такие как Генри Мур , Барбара Хепворт и Наум Габо, черпали вдохновение из математических моделей. [127] Мур написал о своей книге «Мать и дитя» 1938 года.: «Несомненно, источником моих струнных фигур был Музей науки  ... Я был очарован математическими моделями, которые я видел там ... Это было не научное исследование этих моделей, а способность смотреть сквозь струны, как с птичьей клетке и видеть одну форму внутри другой, что меня взволновало ». [128]

Тео ван Дусбург «s Шесть моментов в развитии плоскости в пространство , 1926 или 1929

Художники Тео ван Дусбург и Пит Мондриан основали движение De Stijl , которое они хотели «создать визуальный словарь, состоящий из элементарных геометрических форм, понятных для всех и адаптированных к любой дисциплине». [129] [130] Многие из их работ явно состоят из линейчатых квадратов и треугольников, иногда также с кругами. Художники De Stijl работали в живописи, мебели, дизайне интерьеров и архитектуре. [129] После распада De Stijl Ван Дусбург основал движение Avant-garde Art Concret , описав свою арифметическую композицию 1929–1930 годов., серия из четырех черных квадратов по диагонали квадратного фона, как «структура, которой можно управлять, определенная поверхность без случайных элементов или индивидуального каприза», но «не лишенная духа, не лишенная универсального и не лишенная .. «пусто, так как есть все, что укладывается в внутренний ритм». Искусствовед Глэдис Фабр отмечает, что в картине работают две прогрессии: растущие черные квадраты и чередующийся фон. [131]

Математика мозаики , многогранников, формования пространства и саморегулирования предоставила художнику-графику М.К. Эшеру (1898–1972) материалы на всю жизнь для его гравюр на дереве. [132] [133] В « Эскизе Альгамбры» Эшер показал, что искусство можно создавать с помощью многоугольников или правильных форм, таких как треугольники, квадраты и шестиугольники. Эшер использовал неправильные многоугольники при мозаике плоскости и часто использовал отражения, отражения скольжения и переводы.для получения дополнительных рисунков. Многие из его работ содержат невозможные конструкции, созданные с использованием геометрических объектов, которые создают противоречие между перспективной проекцией и трехмерностью, но приятны для человеческого зрения. Книга Эшера « Восхождение и спуск» основана на « невозможной лестнице », созданной ученым-медиком Лайонелом Пенроузом и его сыном, математиком Роджером Пенроузом . [134] [135] [136]

Некоторые из многочисленных мозаичных рисунков Эшера были вдохновлены беседами с математиком HSM Coxeter о гиперболической геометрии . [137] Эшера особенно интересовали пять конкретных многогранников, которые много раз встречаются в его работах. В платонической твердые -tetrahedrons, кубы, октаэдры, додекаэдр и икосаэдров-особенно заметно в Порядком и Хаосом и четырех правильных многогранников . [138] Эти звездчатые фигуры часто находятся внутри другой фигуры, что еще больше искажает угол обзора и форму многогранников и обеспечивает многогранную перспективную иллюстрацию. [139]

Визуальная сложность математических структур, таких как мозаика и многогранники, вдохновила на создание множества математических произведений. Стюарт Коффин делает многогранные головоломки в редких и красивых лесах; Джордж У. Харт работает над теорией многогранников и лепит предметы, вдохновленные ими; Магнус Веннингер создает «особенно красивые» модели сложных звездчатых многогранников . [140]

Искаженные перспективы анаморфоза исследуются в искусстве с XVI века, когда Ганс Гольбейн Младший включил сильно искаженный череп в свою картину 1533 года «Послы» . С тех пор многие художники, в том числе Эшер, прибегли к анаморфным трюкам. [141]

Математика топологии в наше время вдохновила нескольких художников. Скульптор Джон Робинсон (1935–2007) создал такие произведения, как « Гордиев узел» и « Полосы дружбы» , демонстрируя теорию узлов в полированной бронзе. [7] Другие работы Робинсона исследуют топологию торов . Книга Бытия основана на кольцах Борромео - наборе из трех кругов, ни два из которых не связаны, но в которых всю структуру нельзя разобрать без разрушения. [142] Скульптор Геламан Фергюсон создает сложные поверхности и другие топологические объекты.. [143] Его работы представляют собой визуальные представления математических объектов; Восьмеричный путь основан на проективной специальной линейной группе PSL (2,7) , конечной группе из 168 элементов. [144] [145] Скульптор Батшеба Гроссман также основывает свою работу на математических структурах. [146] [147] Художник Нельсон Сайерс использует математические концепции и теоремы в своем искусстве, от топосов и схем до теоремы о четырех цветах и иррациональности числа π . [148]

В рамках исследовательского проекта в области гуманитарных наук исследуются связи между математикой и искусством через ленту Мебиуса , флексагоны , оригами и панорамную фотографию. [149]

Математические объекты, включая многообразие Лоренца и гиперболическую плоскость , были созданы с использованием волоконных искусств, включая вязание крючком. [d] [151] Американская ткачиха Ада Дитц написала в 1949 году монографию « Алгебраические выражения в тканях ручной работы» , в которой определяла образцы ткачества, основанные на расширении многомерных полиномов . [152] Математик Дайна Тайминя продемонстрировала особенности гиперболической плоскости путем вязания крючком в 2001 году. [153] Это побудило Маргарет и Кристин Вертхайм связать крючком коралловый риф., состоящий из множества морских животных, таких как голожаберники , формы которых основаны на гиперболических плоскостях. [154] Математик Дж. К. П. Миллер использовал клеточный автомат Правила 90 для создания гобеленов, изображающих как деревья, так и абстрактные узоры из треугольников. [155] «Математики» [156] Пэт Эшфорт и Стив Пламмер используют в своем обучении вязаные версии математических объектов, такие как гексафлексагоны , хотя их губка Менгера оказалась слишком сложной для вязания и была сделана из пластикового холста. [157] [158]Их проект "mathghans" (афганцы для школ) ввел вязание в британские учебные программы по математике и технологиям. [159] [160]

  • Четырехмерное пространство в кубизме : « Traité élémentaire de géométrie à quatre sizes » Эспри Жуффре 1903 года . [161] [e]

  • Де Стидж : Геометрическая композиция I Тео ван Дусбурга (натюрморт) , 1916 г.

  • От педагогики к искусству: Магнус Веннингер с некоторыми из его звездчатых многогранников , 2009 г.

  • Лента Мёбиуса шарф вязания крючком , 2007

  • Анаморфизм : Послы по Ганса Гольбейна Младшего , 1533, с сильно искаженным черепом на переднем плане

  • Связанный крючком коралловый риф : множество животных, смоделированных Маргарет и Кристин Вертхайм в виде гиперболических плоскостей с различными параметрами . Риф Фер , Тюбинген, 2013 г.

Семиотика шутка: Рене Магритта «s La состояние Человеческой 1933

Иллюстрирование математики [ править ]

Передняя поверхность Giotto «s Stefaneschi Триптих , 1320 иллюстрирует рекурсию .
Деталь кардинала Стефанески, держащего триптих

Моделирование - далеко не единственный способ проиллюстрировать математические концепции. Триптих Стефанески Джотто , 1320, иллюстрирует рекурсию в форме mise en abyme ; на центральной панели триптиха внизу слева изображена коленопреклоненная фигура кардинала Стефанески, держащего триптих в качестве подношения. [163] Джорджио Кирико «s метафизические картины , такие , как его 1917 Great Метафизический интерьер изучить вопрос об уровне представительства в искусстве, изображая картины в его картинах. [164]

Искусство может служить примером логических парадоксов, как в некоторых картинах сюрреалиста Рене Магритта , которые можно рассматривать как семиотические шутки о путанице между уровнями. В « La condition humaine» (1933) Магритт изображает мольберт (на реальном холсте), плавно поддерживающий вид из окна, обрамленного «настоящими» занавесками на картине. Точно так же Галерея печати Эшера (1956) - это гравюра, на которой изображен искаженный город, который содержит галерею, которая рекурсивно содержит изображение, и так до бесконечности . [165] Магритт использовал сферы и кубоиды, чтобы по-другому искажать реальность, раскрашивая их рядом с домами в своем 1931 году.Ментальная арифметика, как если бы они были детскими кирпичиками, но размером с дом. [166] The Guardian заметил, что «жуткий образ игрушечного городка» предсказывал узурпацию модернизмом «уютных традиционных форм», но также играл с человеческой склонностью искать закономерности в природе . [167]

Диаграмма очевидного парадокса, воплощенного в литографической галерее М.С. Эшера 1956 года , как это обсуждалось Дугласом Хофштадтером в его книге 1980 года « Гедель, Эшер, Бах» [168]

Последняя картина Сальвадора Дали, Хвост Ласточкино (1983), был частью серии вдохновлен Рене Тома «s теории катастроф . [169] Испанский художник и скульптор Пабло Палазуэло (1916–2007) сосредоточился на исследовании формы. Он разработал стиль, который описал как геометрию жизни и геометрию всей природы. Состоящий из простых геометрических фигур с детальным рисунком и раскраской, в таких работах, как Angular I и Automnes , Палазуэло выразил себя в геометрических преобразованиях. [7]

Художник Адриан Грей практикует балансировку камней , используя трение и центр тяжести, чтобы создавать поразительные и, казалось бы, невозможные композиции. [170]

Литография Печать Галерея по Эшер , 1956

Однако художники не обязательно воспринимают геометрию буквально. Как пишет Дуглас Хофштадтер в своих размышлениях о человеческом мышлении в 1980 году, Гедель, Эшер, Бах , используя (среди прочего) математику искусства: «Разница между рисунком Эшера и неевклидовой геометрией состоит в том, что в последней можно понять Для неопределенных терминов могут быть найдены интерпретации, в результате чего получается понятная целостная система, тогда как для первых конечный результат несовместим с чьим-либо представлением о мире, как бы долго человек ни смотрел на картинки ». Хофштадтер обсуждает парадоксальную, казалось бы, литографию Галерея печатиМ. С. Эшера; он изображает приморский город, содержащий картинную галерею, которая, кажется, содержит картину приморского города, где есть «странная петля или запутанная иерархия» уровней реальности в изображении. Самого художника, замечает Хофштадтер, не видно; его действительность и его отношение к литографии не парадоксальны. [168] Центральная пустота изображения также привлекла интерес математиков Барта де Смита и Хендрика Ленстры , которые предположили, что оно может содержать копию самого себя с эффектом Дросте , повернутую и уменьшенную; это было бы еще одной иллюстрацией рекурсии помимо отмеченной Хофштадтером. [171] [172]

Анализ истории искусства [ править ]

Алгоритмический анализ изображений произведений искусства, например, с помощью рентгеновской флуоресцентной спектроскопии , может раскрыть информацию об искусстве. Такие техники могут открывать изображения в слоях краски, которые позже покрывает художник; помочь историкам искусства визуализировать произведение искусства до того, как оно потрескается или поблекнет; помочь отличить копию от оригинала или отличить стиль мазка мастера от стиля его учеников. [173] [174]

Макс Эрнст делает фигуры Лиссажу , Нью - Йорк, 1942

Джексон Поллок «s капельной картины стиль [175] имеет определенную фрактальную размерность ; [176] среди художников, которые, возможно, повлияли на управляемый хаосом Поллока , [177] Макс Эрнст рисовал фигуры Лиссажу напрямую, размахивая проколотым ведром с краской над холстом. [178]

Специалист по информатике Нил Доджсон исследовал, можно ли описать картины с полосками Бриджит Райли математически, и пришел к выводу, что, хотя расстояние разделения могло «дать некоторую характеристику», а глобальная энтропия работала на некоторых картинах, автокорреляция не сработала, поскольку образцы Райли были нерегулярными. Лучше всего работала локальная энтропия, которая хорошо коррелировала с описанием, данным искусствоведом Робертом Куделкой. [179]

В книге американского математика Джорджа Биркгофа « Эстетическая мера» 1933 года предлагается количественный показатель эстетического качества произведения искусства. Он не пытается измерить коннотации произведения, например, что может означать картина, а ограничивается «элементами порядка» многоугольной фигуры. Биркгоф сначала объединяет (в сумме) пять таких элементов: существует ли вертикальная ось симметрии; есть ли оптическое равновесие; сколько у него симметрий вращения; насколько фигурка похожа на обои; и есть ли неудовлетворительные особенности, такие как слишком близкое расположение двух вершин. Эта метрика O принимает значение от −3 до 7. Вторая метрика C, считает элементы фигуры, которая для многоугольника - это количество различных прямых, содержащих хотя бы одну из его сторон. Биркгоф затем определяет его эстетическую меру красоты объекта как O / C . Это можно интерпретировать как баланс между удовольствием, которое доставляет объект, и количеством усилий, необходимых для его восприятия. Предложение Биркгофа подвергалось различной критике, не в последнюю очередь за попытку включить красоту в формулу, но он никогда утверждал, что сделал это. [180]

Стимулы к математическим исследованиям [ править ]

Дополнительная информация: Проективная геометрия и математика складывания бумаги

Искусство иногда стимулировало развитие математики, например, когда теория перспективы Брунеллески в архитектуре и живописи положила начало циклу исследований, которые привели к работе Брука Тейлора и Иоганна Генриха Ламберта по математическим основам перспективного рисунка [181] и, в конечном итоге, к математика проективной геометрии в Дезарг и Понселе . [182]

Японское искусство оригами складывания бумаги было математически переработано Томоко Фусе с использованием модулей , конгруэнтных кусочков бумаги, таких как квадраты, и превращения их в многогранники или мозаики. [183] Складывание бумаги было использовано в 1893 году Т. Сундара Рао в его « Геометрических упражнениях в складывании бумаги» для демонстрации геометрических доказательств. [184] В математике складывания бумаги была изучена в теореме Маекава в , [185] теорема Кавасаки , [186] и Правил Фудзиты . [187]

  • Стимул к проективной геометрии : диаграмма Альберти , показывающая круг в перспективе как эллипс . Делла Питтура, 1435–146 гг.

  • «Математическое оригами : Весна в действие » Джеффа Бейнона, сделанное из одного бумажного прямоугольника. [188]

Иллюзия к оп-арту [ править ]

Дополнительная информация: Оп-арт
В Fraser спиральки иллюзия , названный в честь сэра Джеймса Фрейзера , который открыл его в 1908 году.

Оптические иллюзии, такие как спираль Фрейзера, разительно демонстрируют ограниченность человеческого зрительного восприятия, создавая то, что историк искусства Эрнст Гомбрих назвал «загадочным трюком». Черные и белые веревки, образующие спирали , на самом деле представляют собой концентрические круги . Оп-арт середины двадцатого века или стиль оптического искусства в живописи и графике использовали такие эффекты, чтобы создать впечатление движения и мигающих или вибрирующих узоров, которые можно увидеть в работах таких художников, как Бриджит Райли , Спирос Хоремис [189] и Виктор Вазарели . [190]

Сакральная геометрия [ править ]

Дополнительная информация: Сакральная геометрия и математика и музыка

Направление искусства из Древней Греции и далее рассматривает Бога как геометрию мира, а следовательно, геометрию мира как священную. Вера в то, что Бог создал Вселенную согласно геометрическому плану, имеет древние корни. Плутарх приписал эту веру Платону , написав, что «Платон сказал, что Бог постоянно геометрически» ( Convivialium disputationum , liber 8,2). С тех пор этот образ повлиял на западную мысль. Платоническая концепция, в свою очередь, произошла от пифагорейского представления о гармонии в музыке, где ноты были расположены в идеальных пропорциях, соответствующих длине струн лиры; действительно, пифагорейцы считали, что все устроено Числом. Точно так же в платонической мыслиправильные или платоновые твердые тела диктуют пропорции, встречающиеся в природе и в искусстве. [191] [192] Освещение в Codex Vindobonensis 13-го века показывает, что Бог рисует вселенную с помощью пары циркуля, что может относиться к стиху из Ветхого Завета: «Когда Он основал небеса, я был там: когда он поставь циркуль на лицо бездны »(Притчи 8:27),. [193] В 1596 году астроном-математик Иоганн Кеплер смоделировал Вселенную как набор вложенных Платоновых тел, определив относительные размеры орбит планет. [193] Уильям Блейк «s Предвечного ( с изображением Уризена, Воплощение Блейка разума и закона) и его картина физика Исаака Ньютона , обнаженного, сгорбленного и рисующего с помощью компаса, используют символизм компасов для критики традиционного разума и материализма как ограниченного взгляда. [194] [195] Распятие Сальвадора Дали 1954 года (Corpus Hypercubus) изображает крест в виде гиперкуба , представляющего божественную перспективу с четырьмя измерениями, а не с обычными тремя. [79] В «Таинстве Тайной вечери» Дали (1955) Христос и его ученики изображены внутри гигантского додекаэдра . [196]

  • Бог-геометр. Codex Vindobonensis , c. 1220

  • Творение с подшипником Pantocrator . Библия Святого Луи , ок. 1220–40

  • Иоганн Кеплер «ы Платоническая твердое вещества модель планетарного расстояния в Солнечной системе от Тайны мироздания , 1596

  • Уильям Блейк " Ветхий днями" , 1794 г.

  • Ньютон Уильяма Блейка , ок. 1800

См. Также [ править ]

  • Математика и архитектура
  • Музыка и математика

Примечания [ править ]

  1. ^ В Piero итальянец: "Una Cosa танто picholina Quanto е возможно объявление ochio comprendere".
  2. ^ Отношение высоты наклона к половине длины основания составляет 1,619, что составляет менее 1% от золотого сечения, что подразумевает использование треугольника Кеплера (угол лица 51 ° 49 '). [43] [44] Более вероятно, что пирамиды были построены из треугольника 3-4-5 (угол лицевой стороны 53 ° 8 '), известного из Математического папируса Райнда ; или с треугольником с отношением основания к гипотенузе 1: 4 / π (угол при вершине 51 ° 50 '). [45]
  3. ^ « Пластик » назвал способность принимать выбранную трехмерную форму.
  4. ^ Изображения и видео Hinke Osinga «s вязаный Лоренц КОЛЛЕКТОРА достигли международных теленовости, как можно видеть в связанном сайте. [150]
  5. ^ Морис Принсет дал копию Пабло Пикассо , которого на альбомах Авиньонские девицы иллюстрируют влияние Jouffret в. [112] [162]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d Ziegler, Günter M. (3 декабря 2014 г.). «Многогранник Дюрера: 5 теорий, объясняющих сумасшедший куб Меленколии» . Хранитель . Проверено 27 октября 2015 года .
  2. ^ а б Коломбо, К .; Дель Бимбо, А .; Перничи, Ф. (2005). «Метрическая 3D реконструкция и получение текстуры поверхностей вращения из единого неоткалиброванного вида». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу . 27 (1): 99–114. CiteSeerX 10.1.1.58.8477 . DOI : 10.1109 / TPAMI.2005.14 . PMID 15628272 . S2CID 13387519 .   
  3. ^ a b Стюарт, Эндрю (ноябрь 1978 г.). «Поликлет из Аргоса,» Сто греческих Скульпторы: Их карьера и Сохранившаяся завод». Журнал эллинистических исследований . 98 : 122-131. DOI : 10,2307 / 630196 . JSTOR 630196 . 
  4. ^ a b Тобин, Ричард (октябрь 1975 г.). « Канон Поликлита». Американский журнал археологии . 79 (4): 307–321. DOI : 10.2307 / 503064 . JSTOR 503064 . 
  5. Перейти ↑ Raven, JE (1951). «Поликлит и пифагореизм». Classical Quarterly . 1 (3–4): 147–. DOI : 10.1017 / s0009838800004122 .
  6. ^ а б в О'Коннор, JJ; Робертсон, EF (январь 2003 г.). «Математика и искусство - перспектива» . Сент-Эндрюсский университет . Проверено 1 сентября 2015 года .
  7. ^ a b c d Эммер, Мишель, изд. (2005). Визуальный разум II . MIT Press. ISBN 978-0-262-05048-7.
  8. ^ Вазари, Джорджо (1550). Жития художников . Торрентино. п. Глава о Брунеллески.
  9. ^ Альберти, Леон Баттиста ; Спенсер, Джон Р. (1956) [1435]. О живописи . Издательство Йельского университета.
  10. ^ Филд, СП (1997). Изобретение бесконечности: математика и искусство в эпоху Возрождения . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-852394-9.
  11. ^ Уиткомб, Кристофер LCE "Ресурсы истории искусства" . Проверено 5 сентября 2015 года .
  12. ^ a b c d e Харт, Джордж У. «Многогранники в искусстве» . Проверено 24 июня 2015 года .
  13. ^ Каннингем, Лоуренс; Райх, Джон; Фихнер-Ратус, Лоис (1 января 2014 г.). Культура и ценности: обзор западных гуманитарных наук . Cengage Learning. п. 375. ISBN 978-1-285-44932-6. которые иллюстрируют увлечение Уччелло перспективой. Сражающиеся бойцы вступают в бой на поле битвы, усеянном сломанными копьями, которые упали почти по сетке и нацелены на точку схода где-то вдалеке.
  14. ^ делла Франческа, Пьеро (1942) [ок. 1474]. Г. Никко Фасола (ред.). De prospectiva pingendi . Флоренция.
  15. ^ делла Франческа, Пьеро (1970) [Пятнадцатый век]. Г. Арриги (ред.). Trattato d'Abaco . Пиза.
  16. ^ делла Франческа, Пьеро (1916). Дж. Манчини (ред.). L'Opera "De corporibus regularibus" Пьетро Франчески детто делла Франческа узурпата да фра Лука Пачоли .
  17. ^ Вазари, Джорджио (1878). Г. Миланези (ред.). Le Opere, том 2 . п. 490.
  18. ^ Zuffi, Стефано (1991). Пьеро делла Франческа . L'Unità - Mondadori Arte. п. 53 .
  19. ^ Хит, TL (1908). Тринадцать книг стихий Евклида . Издательство Кембриджского университета. п. 97 .
  20. ^ Грендлер, П. (1995). М.А. Лавин (ред.). Что Пьеро узнал в школе: народное образование пятнадцатого века . Пьеро делла Франческа и его наследие . Университетское издательство Новой Англии. С. 161–176.
  21. ^ Альберти, Леон Баттиста ; Грейсон, Сесил (пер.) (1991). Кемп, Мартин (ред.). О живописи . Пингвин Классика.
  22. ^ Петерсон, Марк. «Геометрия Пьеро делла Франческа» . В Книге I, после некоторых элементарных построений, вводящих идею о том, что видимый размер объекта представляет собой фактически его угол, обращенный к глазу, и обращаясь к Книгам I и VI Элементов Евклида и Оптике Евклида, он обращается в Предложении 13 к изображение квадрата, лежащего на земле перед зрителем. Что на самом деле должен рисовать художник? После этого объекты строятся в квадрате (например, мозаика для представления плиточного пола), и соответствующие объекты строятся в перспективе; в Книге II призмы установлены над этими плоскими объектами, чтобы представлять дома, колонны и т.д .; но в основе метода лежит исходный квадрат, из которого следует все остальное.
  23. ^ Хокни, Дэвид (2006). Секретные знания: открытие утерянных техник старых мастеров . Темза и Гудзон. ISBN 978-0-500-28638-8.
  24. ^ Ван Рипер, Фрэнк. «Осветленная бомба Хокни в художественном учреждении» . Вашингтон Пост . Проверено 4 сентября 2015 года .
  25. ↑ Марр, Эндрю (7 октября 2001 г.). «Чего не видел глаз» . Хранитель . Проверено 4 сентября 2015 года .
  26. ↑ Янсон, Джонатан (25 апреля 2003 г.). «Интервью с Филипом Стедманом» . Essential Vermeer . Проверено 5 сентября 2015 года .
  27. Перейти ↑ Steadman, Philip (2002). Камера Вермеера: раскрывая правду, скрывающуюся за шедеврами . Оксфорд. ISBN 978-0-19-280302-3.
  28. ^ Харт, Джордж . "Многогранники Луки Пачоли" . Проверено 13 августа 2009 года .
  29. ↑ Моррис, Родерик Конвей (27 января 2006 г.). «Ренессанс Пальмеццано: художник выходит из тени» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 22 июля 2015 года .
  30. ^ Калтер, Пол. «Геометрия и искусство. Блок 1» . Дартмутский колледж . Проверено 13 августа 2009 года .
  31. ^ Брицио, Анна Мария (1980). Леонардо Художник . Макгроу-Хилл.
  32. ^ Ladwein, Майкл (2006). Леонардо да Винчи, Тайная вечеря: космическая драма и акт искупления . Издательство Temple Lodge. С. 61–62. ISBN 978-1-902636-75-7.
  33. ^ Тернер, Ричард А. (1992). Изобретая Леонардо . Альфред А. Кнопф.
  34. ^ Wolchover, Натали (31 января 2012). «Леонардо да Винчи скопировал своего знаменитого« Витрувианского человека »?» . NBC News . Проверено 27 октября 2015 года .
  35. ^ Criminisi, A .; Kempz, M .; Канг, С.Б. (2004). «Отражения реальности у Яна ван Эйка и Роберта Кампена» (PDF) . Исторические методы . 37 (3): 109–121. DOI : 10.3200 / hmts.37.3.109-122 . S2CID 14289312 .  
  36. ^ Cucker, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. С. 299–300, 306–307. ISBN 978-0-521-72876-8.
  37. ^ Cucker, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. С. 269–278. ISBN 978-0-521-72876-8.
  38. ^ Джойс, Дэвид Э. (1996). «Элементы Евклида, книга II, предложение 11» . Университет Кларка . Проверено 24 сентября 2015 года .
  39. ^ Сегерс, MJ; Longacre, JJ; Дестефано, Джорджия (1964). «Золотая пропорция и красота». Пластическая и реконструктивная хирургия . 34 (4): 382–386. DOI : 10.1097 / 00006534-196410000-00007 . S2CID 70643014 . 
  40. ^ Mainzer, Клаус (1996). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки . Вальтер де Грюйтер. п. 118.
  41. ^ «Математические свойства в античных театрах и амфитеатрах» . Архивировано из оригинала 15 июля 2017 года . Проверено 29 января 2014 .
  42. ^ "Архитектура: Эллипс?" . The-Colosseum.net . Проверено 29 января 2014 .
  43. ^ a b c d Марковский, Джордж (январь 1992 г.). «Заблуждения о золотом сечении» (PDF) . Журнал математики колледжа . 23 (1): 2–19. DOI : 10.2307 / 2686193 . JSTOR 2686193 . Архивировано из оригинального (PDF) 2008-04-08 . Проверено 26 июня 2015 .  
  44. ^ Taseos, Сократ Г. (1990). Назад в 3104 г. до н.э. до Великой пирамиды . SOC Publishers.
  45. ^ Gazale Мидхат (1999). Гномон: от фараонов до фракталов . Европейский журнал физики . 20 . Издательство Принстонского университета. п. 523. Bibcode : 1999EJPh ... 20..523G . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 20/6/501 . ISBN 978-0-691-00514-0.
  46. ^ Хантли, HE (1970). Божественная пропорция . Дувр.
  47. ^ Hemenway, Прия (2005). Божественная пропорция: Phi в искусстве, природе и науке . Стерлинг. п. 96.
  48. ^ Покупайте онлайн <br> <br> Лилиана. «Математика Парфенона» . Математический журнал . Проверено 24 июня 2015 года .
  49. ^ Boussora, Kenza; Мазуз, Саид (весна 2004 г.). «Использование золотого сечения в Большой мечети Кайруана» . Сетевой журнал Nexus . 6 (1): 7–16. DOI : 10.1007 / s00004-004-0002-у .Геометрическая техника построения золотого сечения, кажется, определила основные решения пространственной организации. Золотое сечение неоднократно появляется в некоторых частях обмеров здания. Он проявляется в общей пропорции плана и в размерах молитвенного пространства, двора и минарета. Наличие золотого сечения в некоторых частях мечети Кайруан указывает на то, что элементы, разработанные и созданные с использованием этого принципа, могли быть реализованы в то же время.
  50. ^ Бринкворт, Питер; Скотт, Пол (2001). «Место математики». Учитель математики Австралии . 57 (3): 2.
  51. ^ Chanfón Олмос, Carlos (1991). Curso sobre Proporción. Процедуры регуляторов ан конструксион . Convenio de intercambio Unam – Uady. Мексика - Мерика.
  52. ^ Ливио, Марио (2002). «Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире» . Золотое сечение: история Фи . Bibcode : 2002grsp.book ..... L .
  53. ^ Смит, Норман А.Ф. (2001). "Собороведение: инженерия или история" (PDF) . Труды Общества Ньюкоменов . 73 : 95–137. DOI : 10.1179 / tns.2001.005 . S2CID 110300481 . Архивировано из оригинального (PDF) 11 декабря 2015 года.  
  54. ↑ Маквей, Карен (28 декабря 2009 г.). «Почему золотое сечение радует глаз: американский академик утверждает, что знает секреты искусства» . Хранитель . Проверено 27 октября 2015 года .
  55. ^ Aarts, J .; Fokkink, R .; Круйцер, Г. (2001). «Морфические числа» (PDF) . Nieuw Arch. Wiskd . 5. 2 (1): 56–58.
  56. ^ а б Падован, Ричард (2002). Уильямс, Ким; Франсиско Родригес, Хосе (ред.). "Дом Ханса Ван Дер Лаана и пластиковое число" . Nexus IV: Архитектура и математика : 181–193.
  57. ^ a b c d Салингарос, Никос (ноябрь 1996 г.). «Жизнь ковра: применение правил Александра» . 8-я Международная конференция по восточным коврам .Перепечатано в Eiland, M .; Пиннер, М., ред. (1998). Восточные ковры и текстиль Исследование V . Данвилл, Калифорния: Конференция по восточным коврам.
  58. ^ a b c Cucker, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. С. 89–102. ISBN 978-0-521-72876-8.
  59. ^ a b Лернер, Мартин (1984). Пламя и лотос: искусство Индии и Юго-Восточной Азии из собраний Кроноса (Каталог выставки под ред.). Метрополитен-музей.
  60. ^ а б Эллисон, Элейн; Вентерс, Диана (1999). Математические лоскутные одеяла: шитье не требуется . Ключевой учебный план.
  61. ^ а б Кастера, Жан Марк; Пеурио, Франсуаза (1999). Арабески. Декоративное искусство в Марокко . Осуществление художественного творчества. ISBN 978-2-86770-124-5.
  62. ^ Cucker, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. С. 103–106. ISBN 978-0-521-72876-8.
  63. Перейти ↑ Dye, Daniel S. (1974). Китайские конструкции решетки . Дувр. С.  30–39 .
  64. ^ Belcastro, сара-мари (2013). «Приключения в математическом вязании» . Американский ученый . 101 (2): 124. DOI : 10,1511 / 2013.101.124 .
  65. ^ Taimina, Дайна (2009). Связанные крючком приключения с гиперболическими плоскостями . А.К. Петерс. ISBN 978-1-56881-452-0.
  66. ^ Снук, Барбара. Флорентийская вышивка . Скрибнер, второе издание 1967 г.
  67. ^ Уильямс, Эльза С. Барджелло: флорентийский холст . Ван Ностранд Рейнхольд, 1967.
  68. ^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри К. (май 1980 г.). «Атлас и саржа: введение в геометрию тканей». Математический журнал . 53 (3): 139–161. DOI : 10.2307 / 2690105 . hdl : 10338.dmlcz / 104026 . JSTOR 2690105 . 
  69. ^ a b Гэмвелл, Линн (2015). Математика и искусство: история культуры . Издательство Принстонского университета. п. 423. ISBN. 978-0-691-16528-8.
  70. ^ Бейкер, Патрисия Л .; Смит, Хилари (2009). Иран (3-е изд.). Путеводители Брэдта. п. 107. ISBN 978-1-84162-289-7.
  71. ^ Ирвин, Вероника; Раски, Франк (2014). «Разработка математической модели для бобинного кружева». Журнал математики и искусств . 8 (3–4): 95–110. arXiv : 1406.1532 . Bibcode : 2014arXiv1406.1532I . DOI : 10.1080 / 17513472.2014.982938 . S2CID 119168759 . 
  72. ^ Лу, Питер Дж .; Стейнхардт, Пол Дж. (2007). «Десятиугольные и квазикристаллические плитки в средневековой исламской архитектуре». Наука . 315 (5815): 1106–1110. Bibcode : 2007Sci ... 315.1106L . DOI : 10.1126 / science.1135491 . PMID 17322056 . S2CID 10374218 .  
  73. ^ ван ден Хувен, Саския; ван дер Вин, Маартье. "Мукарнас-математика в исламском искусстве" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 27 сентября 2013 года . Проверено 15 января 2016 .
  74. ^ Марковский, Джордж (март 2005). «Рецензия на книгу: Золотое сечение » (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 52 (3): 344–347.
  75. Перейти ↑ Panofsky, E. (1955). Жизнь и искусство Альбрехта Дюрера . Принстон.
  76. ^ Харт, Джордж В. "Многогранники Дюрера" . Проверено 13 августа 2009 года .
  77. ^ Дюрер, Альбрехт (1528). Hierinn sindrogriffen vier Bucher von menschlicher Пропорция . Нюренберг . Проверено 24 июня 2015 года .
  78. ^ a b Руди Ракер, Четвертое измерение: к геометрии высшей реальности , Courier Corporation, 2014, ISBN 0486798194 
  79. ^ a b c "Распятие (Corpus Hypercubus)" . Метрополитен-музей . Проверено 5 сентября 2015 года .
  80. ^ Шрайбер, П. (1999). «Новая гипотеза о загадочном многограннике Дюрера в его медной гравюре« Меленколия I » ». Historia Mathematica . 26 (4): 369–377. DOI : 10.1006 / hmat.1999.2245 .
  81. ^ Доджсон, Кэмпбелл (1926). Альбрехт Дюрер . Лондон: Общество Медичи. п. 94.
  82. ^ Шустер, Питер-Клаус (1991). Melencolia I: Dürers Denkbild . Берлин: Gebr. Манн Верлаг. С. 17–83.
  83. ^ Панофски, Эрвин ; Клибански, Раймонд ; Саксл, Фриц (1964). Сатурн и меланхолия . Основные книги.
  84. ^ Лукман, Мухамад; Хариади, Юн; Дестиарманд, Ахмад Халдани (2007). «Батик-фрактал: от традиционного искусства до современной сложности». Proceeding Generative Art X, Милан, Италия .
  85. ^ Ouellette, Дженнифер (ноябрь 2001). «Фракталы Поллока» . Откройте для себя журнал . Проверено 26 сентября 2016 года .
  86. ↑ Галилей, Галилей (1623). Пробирщик ., как переведено у Дрейка, Стиллмана (1957). Открытия и мнения Галилея . Doubleday. С.  237–238 . ISBN 978-0-385-09239-5.
  87. ^ Cucker, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. п. 381. ISBN. 978-0-521-72876-8.
  88. ^ Cucker, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. п. 10. ISBN 978-0-521-72876-8.
  89. ^ Король, Джерри П. (1992). Искусство математики . Фосетт Колумбайн. С. 8–9. ISBN 978-0-449-90835-8.
  90. ^ Король, Джерри П. (1992). Искусство математики . Фосетт Колумбайн. С. 135–139. ISBN 978-0-449-90835-8.
  91. ^ Девлин, Кейт (2000). "У математиков разные мозги?" . Математический ген: как эволюционировало математическое мышление и почему числа похожи на сплетни . Основные книги. п. 140. ISBN 978-0-465-01619-8.
  92. Перейти ↑ Wasilewska, Katarzyna (2012). «Математика в мире танца» (PDF) . Мосты . Проверено 1 сентября 2015 года .
  93. ^ a b Малькевич, Иосиф. «Математика и искусство» . Американское математическое общество . Проверено 1 сентября 2015 года .
  94. ^ Malkevitch, Джозеф. «Математика и искусство. 2. Математические инструменты для художников» . Американское математическое общество . Проверено 1 сентября 2015 года .
  95. ^ «Математика и искусство: хорошее, плохое и красивое» . Математическая ассоциация Америки . Дата обращения 2 сентября 2015 .
  96. ^ Коэн, Луиза (1 июля 2014 г.). «Как вращать цветовое колесо, Тернер, Малевич и другие» . Галерея Тейт . Проверено 4 сентября 2015 года . Cite journal requires |journal= (help)
  97. ^ Кемп, Мартин (1992). Наука об искусстве: оптические темы в западном искусстве от Брунеллески до Сёра . Издательство Йельского университета. ISBN 978-968-867-185-6.
  98. ^ Гейдж, Джон (1999). Цвет и культура: практика и значение от античности до абстракции . Калифорнийский университет Press. п. 207. ISBN. 978-0-520-22225-0.
  99. ^ Malkevitch, Джозеф. «Математика и искусство. 3. Симметрия» . Американское математическое общество . Проверено 1 сентября 2015 года .
  100. ^ Malkevitch, Джозеф. «Математика и искусство. 4. Художники-математики и художники-математики» . Американское математическое общество . Проверено 1 сентября 2015 года .
  101. ^ Райт, Ричард (1988). «Некоторые вопросы развития компьютерного искусства как математического вида искусства». Леонардо . 1 (Electronic Art, дополнительный выпуск): 103–110. DOI : 10.2307 / 1557919 . JSTOR 1557919 . 
  102. ^ Kalajdzievski, Сашо (2008). Математика и искусство: введение в визуальную математику . Чепмен и Холл. ISBN 978-1-58488-913-7.
  103. ^ a b Беддард, Хонор (26 мая 2011 г.). «Компьютерное искусство в V&A» . Музей Виктории и Альберта . Проверено 22 сентября 2015 года .
  104. ^ «Компьютер делает рисунки: тысячи линий в каждом». Хранитель. 17 сентября 1962 г. в Беддарде, 2015.
  105. ^ O'Hanrahan, Элейн (2005). Машины для рисования: машина создавала рисунки доктора Д.П. Генри в связи с концептуальными и технологическими разработками в области машинного искусства (Великобритания, 1960–1968). Неопубликованный MPhil. Диссертация . Университет Джона Мура, Ливерпуль. в Беддарде, 2015.
  106. ^ Bellos, Alex (24 февраля 2015). «Улов дня: математик сети странной, сложной рыбы» . Хранитель . Проверено 25 сентября 2015 года .
  107. ^ " " Птица в полете (2016), "Хамид Надери Еганех" . Американское математическое общество . 23 марта 2016 . Проверено 6 апреля 2017 года .
  108. Рианна Чанг, Стефи (18 сентября 2015 г.). «Следующий да Винчи? Математический гений, использующий формулы для создания фантастических произведений искусства» . CNN .
  109. Перейти ↑ Levin, Golan (2013). «Генеративные художники» . CMUEMS . Проверено 27 октября 2015 года .Это включает ссылку на Hvidtfeldts Syntopia .
  110. ^ Веростко, Роман . «Алгористы» . Проверено 27 октября 2015 года .
  111. ^ Cucker, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. С. 315–317. ISBN 978-0-521-72876-8.
  112. ^ a b Миллер, Артур I. (2001). Эйнштейн, Пикассо: пространство, время и красота, вызывающая хаос . Нью-Йорк: Основные книги. п. 171 . ISBN 978-0-465-01860-4.
  113. ^ Миллер, Артур I. (2012). Insights of Genius: образы и творчество в науке и искусстве . Springer. ISBN 978-1-4612-2388-7.
  114. ^ Хендерсон, Линда Дэлримпл (1983). Четвертое измерение и неевклидова геометрия в современном искусстве . Издательство Принстонского университета.
  115. ^ Antliff, Марк; Leighten, Патрисия Ди (2001). Кубизм и культура (PDF) . Темза и Гудзон. [ постоянная мертвая ссылка ]
  116. ^ Эверделл, Уильям Р. (1997). Первые современные: профили в истоках мысли двадцатого века . Издательство Чикагского университета. п. 312 . ISBN 978-0-226-22480-0.
  117. ^ Грин, Кристофер (1987). Кубизм и его враги, современные движения и реакция во французском искусстве, 1916–1928 . Издательство Йельского университета. С. 13–47.
  118. ↑ Метцингер, Жан (октябрь – ноябрь 1910 г.). "Note sur la peinture". Сковорода : 60.в Миллере (2001). Эйнштейн, Пикассо . Основные книги. п. 167 .
  119. ^ Метцингер, Жан (1972). Le cubisme était né . Éditions Présence. С. 43–44.в Ферри, Люк (1993). Homo Aestheticus: изобретение вкуса в демократическую эпоху . Роберт Де Лоаиза, пер. Издательство Чикагского университета. п. 215 . ISBN 978-0-226-24459-4.
  120. ^ «Уравнения Ман Рэя – человека: путешествие от математики к Шекспиру. 7 февраля - 10 мая 2015 г.» . Коллекция Филлипса . Проверено 5 сентября 2015 года .
  121. ^ Адкок, Крэйг (1987). «Эротизм Дюшана: математический анализ» . Iowa Research Online . 16 (1): 149–167.
  122. ^ Старейшина, Р. Брюс (2013). ДАДА, сюрреализм и кинематографический эффект . Издательство Университета Уилфрида Лорье. п. 602. ISBN. 978-1-55458-641-7.
  123. ^ Таббс, Роберт (2014). Математика в литературе и искусстве ХХ века: содержание, форма, смысл . JHU Press. п. 118. ISBN 978-1-4214-1402-7.
  124. ^ «Концептуальные формы и математические модели Хироши Сугимото 7 февраля - 10 мая 2015 г.» . Коллекция Филлипса . Проверено 5 сентября 2015 года .
  125. ^ Таббс, Роберт (2014). Математика в литературе и искусстве ХХ века . Джона Хопкинса. С. 8–10. ISBN 978-1-4214-1380-8.
  126. ↑ Китс, Джонатон (13 февраля 2015 г.). «Посмотрите, как Ман Рэй сделал эллиптические параболоиды эротическими на этой выставке фотографий коллекции Филлипса» . Forbes . Проверено 10 сентября 2015 года .
  127. ^ Gamwell, Линн (2015). Математика и искусство: история культуры . Издательство Принстонского университета. С. 311–312. ISBN 978-0-691-16528-8.
  128. ^ Hedgecoe, Джон, изд. (1968). Генри Мур: Текст на его скульптуре . Генри Спенсер Мур . Саймон и Шустер. п. 105.
  129. ^ а б "Де Стейл" . Глоссарий Тейт . Тейт . Проверено 11 сентября 2015 года .
  130. ^ Curl, Джеймс Стивенс (2006). Словарь архитектуры и ландшафтной архитектуры (второе изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-860678-9.
  131. ^ Таббс, Роберт (2014). Математика в литературе и искусстве ХХ века: содержание, форма, смысл . JHU Press. С. 44–47. ISBN 978-1-4214-1402-7.
  132. ^ "Тур: MC Escher - Жизнь и работа" . NGA. Архивировано из оригинала 3 августа 2009 года . Проверено 13 августа 2009 года .
  133. ^ "MC Эшер" . Mathacademy.com. 1 ноября 2007 . Проверено 13 августа 2009 года .
  134. ^ Пенроуз, LS; Пенроуз Р. (1958). «Невозможные объекты: особый вид визуальной иллюзии». Британский журнал психологии . 49 (1): 31–33. DOI : 10.1111 / j.2044-8295.1958.tb00634.x . PMID 13536303 . 
  135. ^ Kirousis, Lefteris M .; Пападимитриу, Христос Х. (1985). Сложность распознавания многогранных сцен . 26-й ежегодный симпозиум по основам информатики (FOCS 1985) . С. 175–185. CiteSeerX 10.1.1.100.4844 . DOI : 10.1109 / sfcs.1985.59 . ISBN  978-0-8186-0644-1.
  136. ^ Купер, Мартин (2008). «Сговорчивость к интерпретации рисунков». Интерпретация рисования линий . Springer-Verlag. стр.  217 -230. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-229-6_9 . ISBN 978-1-84800-229-6.
  137. ^ Робертс, Шивон (2006).«Кокстеринг» с М.С. Эшером . Король бесконечного пространства: Дональд Кокстер, человек, спасший геометрию . Уокер. п. Глава 11.
  138. Перейти ↑ Escher, MC (1988). Мир М.С. Эшера . Случайный дом.
  139. ^ Эшер, MC; Вермёлен, МВт; Форд, К. (1989). Эшер о Эшере: исследование бесконечности . HN Abrams.
  140. ^ Malkevitch, Джозеф. «Математика и искусство. 5. Многогранники, мозаики и разрезы» . Американское математическое общество . Проверено 1 сентября 2015 года .
  141. ^ Marcolli, Матильда (июль 2016). Понятие пространства в математике через призму современного искусства (PDF) . Книги века. С. 23–26.
  142. ^ «Джон Робинсон» . Фонд Брэдшоу. 2007 . Проверено 13 августа 2009 года .
  143. ^ "Веб-сайт Геламана Фергюсона" . Helasculpt.com. Архивировано из оригинального 11 апреля 2009 года . Проверено 13 августа 2009 года .
  144. ^ Терстон, Уильям П. (1999). Леви, Сильвио (ред.). Восьмеричный путь: математическая скульптура Геламана Фергюсона (PDF) . Том 35: Восьмеричный путь: красота четвертой кривой Кляйна . Публикации ИИГС. С. 1–7.
  145. ^ "Обзор книги МАА о Восьмеричном Пути: Красота Кляйнской кривой четвертичности " . Maa.org. 14 ноября 1993 . Проверено 13 августа 2009 года .
  146. ^ "Математика Geek Holiday Gift Guide" . Scientific American . 23 ноября 2014 . Дата обращения 7 июня 2015 .
  147. ↑ Ханна, Ворон. "Галерея: Вирсавия Гроссман" . Журнал Симметрия . Дата обращения 7 июня 2015 .
  148. ^ Мастроянни, Брайан. «Идеальное уравнение: художник сочетает математику и искусство» . Fox News . Проверено 28 января 2021 года .
  149. ^ Флерон, Джулиан Ф .; Экке, Фолькер; фон Ренессе, Кристина; Хотчкисс, Филип К. (январь 2015 г.). Искусство и скульптура: математические исследования в гуманитарных науках (2-е изд.). Проект «Открывая искусство математики».
  150. ^ Osinga, Hinke (2005). «Вязание крючком многообразия Лоренца» . Оклендский университет. Архивировано из оригинала 10 апреля 2015 года . Проверено 12 октября 2015 года .
  151. ^ Осинга, Хинке М .; Краускопф, Бернд (2004). «Вязание крючком многообразия Лоренца» . Математический интеллект . 26 (4): 25–37. CiteSeerX 10.1.1.108.4594 . DOI : 10.1007 / BF02985416 . S2CID 119728638 .  
  152. ^ Дитц, Ада К. (1949). Алгебраические выражения в тканях ручной работы (PDF) . Луисвилл, Кентукки: Маленький ткацкий станок. Архивировано из оригинального (PDF) 22 февраля 2016 года . Проверено 26 июня 2015 .
  153. ^ Хендерсон, Дэвид; Таймина, Дайна (2001). «Связывание гиперболической плоскости крючком» (PDF) . Математический интеллигент . 23 (2): 17–28. DOI : 10.1007 / BF03026623 . S2CID 120271314 .  .
  154. ↑ Barnett, Rebekah (31 января 2017 г.). «Галерея: Что происходит, когда вы смешиваете математику, коралл и вязание крючком? Это потрясающе» . Ideas.TED.com . Проверено 28 октября 2019 года .
  155. ^ Миллер, JCP (1970). «Периодические леса низкорослых деревьев». Философские труды Лондонского королевского общества . Серия А, Математические и физические науки. 266 (1172): 63–111. Bibcode : 1970RSPTA.266 ... 63М . DOI : 10,1098 / rsta.1970.0003 . JSTOR 73779 . S2CID 123330469 .  
  156. ^ "Пэт Эшфорт и Стив Пламмер - математики" . Шерстяные мысли . Дата обращения 4 октября 2015 .
  157. ↑ Уорд, Марк (20 августа 2012 г.). «Новое изобретение вязания: математика, феминизм и металл» . BBC News . BBC . Проверено 23 сентября 2015 года .
  158. ^ Ашфорт, Пэт; Пламмер, Стив. «Губка Менгера» . Грязные мысли: в погоне за искусной математикой . Проверено 23 сентября 2015 года .
  159. ^ Ашфорт, Пэт; Пламмер, Стив. «Афганцы для школ» . Мудрые мысли: Mathghans . Проверено 23 сентября 2015 года .
  160. ^ «Mathghans с разницей» . Журнал "Просто вязание". 1 июля 2008 года Архивировано из оригинала 25 сентября 2015 года . Проверено 23 сентября 2015 года . Cite journal requires |journal= (help)
  161. ^ Jouffret, Esprit (1903). Traité élémentaire de géométrie à quatre sizes и введение à la géométrie à n Dimensions (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. OCLC 1445172 . Проверено 26 сентября 2015 года . 
  162. ^ Seckel, Hélène (1994). "Антология ранних комментариев к Les Demoiselles d'Avignon ". У Уильяма Рубина; Элен Секель; Джудит Казинс (ред.). Les Demoiselles d'Avignon . Нью-Йорк: Музей современного искусства. п. 264. ISBN 978-0-87070-162-7.
  163. ^ «Джотто ди Бондоне и помощники: триптих Стефанески» . Ватикан . Проверено 16 сентября 2015 года .
  164. ^ Gamwell, Линн (2015). Математика и искусство: история культуры . Издательство Принстонского университета. С. 337–338. ISBN 978-0-691-16528-8.
  165. ↑ Купер, Джонатан (5 сентября 2007 г.). «Искусство и математика» . Проверено 5 сентября 2015 года .
  166. ^ Hofstadter, Дуглас Р. (1980). Гедель, Эшер, Бах: вечная золотая коса . Пингвин. п. 627. ISBN 978-0-14-028920-6.
  167. ↑ Холл, Джеймс (10 июня 2011 г.). Выставка «Рене Магритт: Принцип удовольствия» . Хранитель . Проверено 5 сентября 2015 года .
  168. ^ a b Хофштадтер, Дуглас Р. (1980). Гедель, Эшер, Бах: вечная золотая коса . Пингвин. С. 98–99, 690–717. ISBN 978-0-394-74502-2.
  169. ^ Кинг, Эллиотт (2004). Адес, Рассвет (ред.). Дали . Милан: Bompiani Arte. С. 418–421.
  170. ^ "Балансировка камня" (PDF) . Ежемесячная математика (29). Июль 2013 . Проверено 10 июня 2017 .
  171. ^ де Смит, Б. (2003). "Математическая структура галереи печати Эшера". Уведомления Американского математического общества . 50 (4): 446–451.
  172. ^ Ленстра, Хендрик; Де Смит, Барт. «Применение математики к галерее печати Эшера» . Лейденский университет . Проверено 10 ноября 2015 года .
  173. ^ Stanek, Бекка (16 июня 2014). «Ван Гог и алгоритм: как математика может спасти искусство» . Журнал Time . Проверено 4 сентября 2015 года .
  174. ^ Sipics, Мишель (18 мая 2009). «Проект Ван Гога: искусство встречает математику в продолжающемся международном исследовании» . Общество промышленной и прикладной математики. Архивировано из оригинала 7 сентября 2015 года . Проверено 4 сентября 2015 года .
  175. ^ Эммерлинг, Leonhard (2003). Джексон Поллок, 1912–1956 . п. 63. ISBN 978-3-8228-2132-9.
  176. ^ Тейлор, Ричард П .; Micolich, Adam P .; Джонас, Дэвид (июнь 1999 г.). «Фрактальный анализ капельных картин Поллока» (PDF) . Природа . 399 (6735): 422. Bibcode : 1999Natur.399..422T . DOI : 10.1038 / 20833 . S2CID 204993516 . Архивировано из оригинального (PDF) 16 августа 2015 года.  
  177. ^ Тейлор, Ричард; Micolich, Adam P .; Джонас, Дэвид (октябрь 1999 г.). «Фрактальный экспрессионизм: можно ли использовать науку для дальнейшего понимания искусства?» . Мир физики . 12 (10): 25–28. DOI : 10.1088 / 2058-7058 / 12/10/21 . Архивировано из оригинала на 2012-08-05.Поллок умер в 1956 году, до того, как были обнаружены хаос и фракталы. Поэтому маловероятно, что Поллок сознательно понимал фракталы, которые он рисовал. Тем не менее, его введение фракталов было преднамеренным. Например, цвет якорного слоя был выбран для создания наиболее резкого контраста с фоном холста, и этот слой также занимает больше пространства холста, чем другие слои, предполагая, что Поллок хотел, чтобы этот сильно фрактальный якорный слой визуально доминировал над картиной. Кроме того, после того, как картины были закончены, он стыковал холст, чтобы удалить области около края холста, где плотность рисунка была менее однородной.
  178. Перейти ↑ King, M. (2002). «От Макса Эрнста до Эрнста Маха: эпистемология в искусстве и науке» (PDF) . Проверено 17 сентября 2015 года .
  179. Перейти ↑ Dodgson, NA (2012). «Математическая характеристика полосатых картин Бриджит Райли» (PDF) . Журнал математики и искусств . 5 (2–3): 89–106. DOI : 10.1080 / 17513472.2012.679468 . S2CID 10349985 . в течение начала 1980-х паттерны Райли менялись от более регулярных к более случайным (характеризуемым глобальной энтропией) без потери своей ритмической структуры (характеризуемой локальной энтропией). Это отражает описание Куделкой ее художественного развития.  
  180. ^ Cucker, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. С. 116–120. ISBN 978-0-521-72876-8.
  181. ^ Трайбергса, Андрейс (24 июля 2001). «Геометрия перспективного рисования на компьютере» . Университет Юты . Проверено 5 сентября 2015 года .
  182. ^ Gamwell, Линн (2015). Математика и искусство: история культуры . Издательство Принстонского университета. п. xviii. ISBN 978-0-691-16528-8.
  183. ^ Malkevitch, Джозеф. «Математика и искусство. 6. Оригами» . Американское математическое общество . Проверено 1 сентября 2015 года .
  184. ↑ Рао, Т. Сундара (1893). Геометрические упражнения в складывании бумаги . Аддисон.
  185. ↑ Джастин, Дж. (Июнь 1986 г.). «Математика оригами, часть 9». Британское оригами : 28–30..
  186. ^ Альсина, Claudi; Нельсен, Роджер (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . Математические экспозиции Дольчиани. 42 . Математическая ассоциация Америки . п. 57. ISBN 978-0-88385-348-1.
  187. ^ Альперин, Роджер С .; Ланг, Роберт Дж. (2009). «Аксиомы одно-, двух- и многоуровневого оригами» (PDF) . 4OSME .
  188. ↑ Мир геометрических игрушек , Origami Spring , август 2007 г.
  189. ^ Cucker, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. С. 163–166. ISBN 978-0-521-72876-8.
  190. ^ Gamwell, Линн (2015). Математика и искусство: история культуры . Издательство Принстонского университета. С. 406–410. ISBN 978-0-691-16528-8.
  191. ^ Ghyka, Matila (2003). Геометрия искусства и жизни . Дувр. стр. ix – xi. ISBN 978-0-486-23542-4.
  192. ^ Лоулор, Роберт (1982). Сакральная геометрия: философия и практика . Темза и Гудзон. ISBN 978-0-500-81030-9.
  193. ^ а б Калтер, Пол (1998). «Небесные темы в искусстве и архитектуре» . Дартмутский колледж . Проверено 5 сентября 2015 года .
  194. ^ Мэддокс, Фиона (21 ноября 2014). «10 лучших работ Уильяма Блейка» . Хранитель . Проверено 25 декабря 2019 .
  195. ^ "Уильям Блейк, Ньютон, 1795–1805" . Тейт . Октябрь 2018. Архивировано из оригинала 28 марта 2019 года.
  196. ↑ Ливио, Марио (ноябрь 2002 г.). «Золотое сечение и эстетика» . Проверено 26 июня 2015 года .

Внешние ссылки [ править ]

  • Конференция организации Bridges о связи искусства и математики
  • Преодоление разрыва между математикой и искусством - слайд-шоу от журнала Scientific American
  • Открытие искусства математики
  • Математика и искусство - AMS
  • Математика и искусство - Отрежьте узел
  • Математические образы - Американское математическое общество
  • Математика в искусстве и архитектуре - Национальный университет Сингапура
  • Математическое искусство - Виртуальный математический музей
  • Когда искусство и математика сталкиваются - научные новости
  • Почему история математики - это также история искусства : Линн Гэмвелл в The Guardian