Это хорошая статья. Для получения дополнительной информации нажмите здесь.
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

"The Gherkin", [1] 30 St Mary Axe , London, завершенный в 2003 году, представляет собой параметрически спроектированное тело революции .
Храм Кандария Махадева (ок. 1030 г.), Кхаджурахо , Индия, является примером религиозной архитектуры с фрактальной структурой, состоящей из многих частей, которые напоминают целое. [2]

Математика и архитектура взаимосвязаны, поскольку, как и в случае с другими видами искусства , архитекторы используют математику по нескольким причинам. Помимо математики, необходимой при проектировании зданий , архитекторы используют геометрию : для определения пространственной формы здания; от пифагорейцев шестого века до нашей эры, чтобы создавать формы, считающиеся гармоничными, и таким образом планировать здания и их окрестности в соответствии с математическими, эстетическими, а иногда и религиозными принципами; украсить здания математическими объектами, например мозаикой; и для достижения экологических целей, таких как минимизация скорости ветра вокруг оснований высоких зданий.

В Древнем Египте , Древней Греции , Индии и исламском мире здания, включая пирамиды , храмы, мечети, дворцы и мавзолеи, были построены с определенными пропорциями по религиозным причинам. В исламской архитектуре геометрические формы и геометрические узоры плитки используются для украшения зданий как внутри, так и снаружи. Некоторые индуистские храмы имеют фрактальную структуру, где части напоминают целое, передавая сообщение о бесконечности в индуистской космологии . В китайской архитектуре , то Tulou из провинции Фуцзянькруглые, коммунальные оборонительные сооружения. В двадцать первом веке математический орнамент снова используется для покрытия общественных зданий.

В эпоху Возрождения архитектура , симметрия и пропорции были намеренно подчеркивается архитекторов , таких как Леон Баттиста Альберти , Серлио и Андреа Палладио , под влиянием Витрувия «s De Architectura из древнего Рима и арифметике пифагорейцев из древней Греции. В конце девятнадцатого века Владимир Шухов в России и Антони Гауди в Барселоне первыми начали использовать гиперболоидные структуры ; в Саграда Фамилия Гауди также включилгиперболические параболоиды , мозаики, цепные дуги , катеноиды , геликоиды и линейчатые поверхности . В двадцатом веке такие стили, как современная архитектура и деконструктивизм, исследовали различные геометрические формы для достижения желаемых эффектов. Минимальные поверхности использовались в кровельных покрытиях типа палаток, как в международном аэропорту Денвера , в то время как Ричард Бакминстер Фуллер впервые применил прочную структуру с тонкой оболочкой, известную как геодезические купола .

Связанные поля [ править ]

В эпоху Возрождения от такого архитектора, как Леон Баттиста Альберти, ожидалось, что он будет разбираться во многих дисциплинах, включая арифметику и геометрию .

Архитекторы Майкл Оствальд и Ким Уильямс , рассматривая взаимосвязь между архитектурой и математикой , отмечают, что области, как обычно понимаются, могут показаться только слабо связанными, поскольку архитектура - это профессия, занимающаяся практическим вопросом строительства зданий, а математика - чистым изучение числа и других абстрактных объектов. Но они утверждают, что эти два понятия тесно связаны с древних времен . В Древнем Риме Витрувий описывал архитектора как человека, который достаточно знал целый ряд других дисциплин, в первую очередь геометрию., чтобы дать ему возможность наблюдать за квалифицированными мастерами во всех других необходимых областях, такими как каменщики и плотники. То же самое применялось в средние века , когда выпускники изучали арифметику , геометрию и эстетику наряду с базовыми программами грамматики, логики и риторики ( тривиум ) в элегантных залах, созданных мастерами-строителями, которые руководили многими мастерами. Мастер-строитель на вершине своей профессии получил звание архитектора или инженера. В эпоху Возрождения , то квадривиум арифметического, геометрии, музыки и астрономии стала дополнительная учебная программа ожидается от человека эпохи Возрождения , такие как Леон Баттиста Альберти . Точно так же в Англии, сэрКристофер Рен , известный сегодня как архитектор, вначале был известным астрономом. [3]

Уильямс и Оствальд, продолжая обзор взаимодействия математики и архитектуры с 1500 г. в соответствии с подходом немецкого социолога Теодора Адорно , выделяют три тенденции среди архитекторов, а именно: быть революционным , внедрять совершенно новые идеи; реакционные , неспособные внести изменения; или возрожденец , фактически идущий в обратном направлении. Они утверждают, что архитекторы избегали обращаться к математике за вдохновением во времена возрождения. Это могло бы объяснить, почему в периоды возрождения, такие как готическое возрождение в Англии XIX века, архитектура имела мало связи с математикой. В равной степени они отмечают, что в реакционные времена, такие как итальянский маньеризмПримерно с 1520 по 1580 год, или в эпоху барокко и палладио 17 века , с математикой почти не обращались. Напротив, революционные движения начала 20-го века, такие как футуризм и конструктивизм, активно отвергли старые идеи, охватили математику и привели к модернистской архитектуре. Ближе к концу 20-го века архитекторы быстро ухватились за фрактальную геометрию, как и за апериодическую черепицу , чтобы обеспечить интересные и привлекательные покрытия для зданий. [4]

Архитекторы используют математику по нескольким причинам, не обращая внимания на необходимость использования математики в проектировании зданий . [5] Во-первых, они используют геометрию, потому что она определяет пространственную форму здания. [6] Во-вторых, они используют математику для создания форм, которые считаются красивыми или гармоничными. [7] Со времен пифагорейцев с их религиозной философией числа [8] архитекторы Древней Греции , Древнего Рима , исламского мира и итальянского Возрождения выбрали пропорциипостроенной среды - зданий и их спроектированного окружения - в соответствии с математическими, эстетическими и иногда религиозными принципами. [9] [10] [11] [12] В-третьих, они могут использовать математические объекты, такие как мозаики, для украшения зданий. [13] [14] В-четвертых, они могут использовать математику в форме компьютерного моделирования для достижения экологических целей, таких как минимизация вихревых потоков воздуха у основания высоких зданий. [1]

Светская эстетика [ править ]

Древний Рим [ править ]

План греческого дома Витрувия

Витрувий [ править ]

Дополнительная информация: Витрувий , Витрувианский модуль и Деархитектура.
Интерьер Пантеона . Джованни Паоло Панини , 1758 г.

Влиятельный древнеримский архитектор Витрувий утверждал, что дизайн такого здания, как храм, зависит от двух качеств: пропорции и симметрии . Пропорциональность гарантирует, что каждая часть здания гармонично сочетается со всеми остальными частями. Симметрия в использовании Витрувия означает нечто более близкое к английскому термину «модульность», чем зеркальная симметрия , поскольку опять же она относится к сборке (модульных) частей в целое здание. В своей базилике в Фано он использует отношения малых целых чисел, особенно треугольные числа (1, 3, 6, 10, ...), чтобы разделить структуру на (витрувианские) модули . [а]Таким образом, ширина Базилики к длине составляет 1: 2; проход вокруг него такой же высоты, как и ширины, 1: 1; колонны пять футов толщиной и пятьдесят футов высотой, 1:10. [9]

План этажа Пантеона

Витрувий назвал три качества, требуемых от архитектуры в своей книге «Архитектура» , ок. 15 г. до н. Э .: стойкость, полезность (или «товар» у Генри Уоттона.английский 16 века) и восторг. Их можно использовать в качестве категорий для классификации способов использования математики в архитектуре. Устойчивость включает в себя использование математики для обеспечения устойчивости здания, следовательно, математические инструменты, используемые при проектировании и поддержке строительства, например, для обеспечения устойчивости и моделирования производительности. Частично полезность возникает из-за эффективного применения математики, размышлений и анализа пространственных и других взаимосвязей в дизайне. Восторг - это атрибут получившегося здания, являющийся результатом воплощения математических соотношений в здании; он включает эстетические, чувственные и интеллектуальные качества. [16]

Пантеон [ править ]

Основная статья: Пантеон (Рим)

Пантеон в Риме сохранился, иллюстрирующий классическую римскую структуру, пропорции, и художественное оформление. Основная структура - купол, вершина которого оставлена ​​открытой в виде круглого окулуса, пропускающего свет; перед ним небольшая колоннада с треугольным фронтоном. Высота окулуса и диаметр внутреннего круга одинаковы - 43,3 метра (142 фута), поэтому весь интерьер поместится точно в куб, а внутри может быть сфера такого же диаметра. [17] Эти размеры имеют больше смысла, если выразить их в древнеримских единицах измерения : купол охватывает 150 римских футов [b] ); окулус 30 римских футов в диаметре; высота дверного проема составляет 40 римских футов. [18]Пантеон остается крупнейшим в мире неармированным бетонным куполом. [19]

Ренессанс [ править ]

Дополнительная информация: архитектура эпохи Возрождения
Фасад Санта-Мария-Новелла , Флоренция , 1470 год. Фриз (с квадратами) и выше - Леон Баттиста Альберти .

Первым трактатом по архитектуре эпохи Возрождения была книга Леона Баттисты Альберти «1450 De re aedificatoria» («Об искусстве строительства»); она стала первой печатной книги по архитектуре в 1485 году Она была частично основана на Витрувия в De Architectura и через Никомаха, пифагорейской арифметике. Альберти начинает с куба и выводит из него соотношения. Таким образом, диагональ грани дает соотношение 1: √ 2 , а диаметр сферы, описывающей куб, дает 1: √ 3 . [20] [21] Альберти также задокументировал открытие Филиппо Брунеллески линейной перспективы., разработан, чтобы позволить проектировать здания, которые будут выглядеть красиво пропорционально, если смотреть с удобного расстояния. [12]

Архитектурная перспектива сцены Себастьяно Серлио , 1569 г. [22]

Следующий крупный текст был Серлио «s Regole Generali d'Architettura (Общие правила архитектуры); первый том появился в Венеции в 1537 году; том 1545 года (книги  1 и 2) охватывал геометрию и перспективу . Два метода Серлио построения перспектив были неправильными, но это не помешало широко использовать его работы. [23]

План Андреа Палладио и вид на виллу Пизани

В 1570 году Андреа Палладио опубликовал в Венеции влиятельную книгу I quattro libri dell'architettura (Четыре книги архитектуры) . Эта широко печатная книга была в значительной степени ответственна за распространение идей итальянского Возрождения по всей Европе, чему помогали такие сторонники, как английский дипломат Генри Уоттон, написавший в 1624 году «Элементы архитектуры» . [24]Пропорции каждой комнаты на вилле были рассчитаны на основе простых математических соотношений, таких как 3: 4 и 4: 5, и различные комнаты в доме были связаны этими отношениями. Ранее архитекторы использовали эти формулы для уравновешивания единого симметричного фасада; однако проекты Палладио относились к целой, обычно квадратной вилле. [25] Палладио разрешил диапазон соотношений в Quattro libri , заявив: [26] [27]

Есть семь типов комнат, которые являются самыми красивыми, пропорциональными и получаются лучше: их можно сделать круглыми, хотя они встречаются редко; или квадрат; или их длина будет равна диагонали квадрата ширины; или квадрат и третий; или квадрат-полтора; или квадрат и две трети; или два квадрата. [c]

В 1615 году Винченцо Скамоцци опубликовал трактат позднего Возрождения L'idea dell'architettura universalale (Идея универсальной архитектуры). [28] Он попытался связать дизайн городов и зданий с идеями Витрувия и пифагорейцев, а также с более поздними идеями Палладио. [29]

Девятнадцатый век [ править ]

Гиперболоид решетка маяк на Владимира Шухова , Украина , 1911

Гиперболоидные конструкции использовались еще в конце XIX века Владимиром Шуховым для мачт, маяков и градирен. Их поразительная форма эстетически интересна и прочна, а конструкционные материалы используются экономно. Первая гиперболоидальная башня Шухова была выставлена ​​в Нижнем Новгороде в 1896 году. [30] [31] [32]

Двадцатый век [ править ]

Дополнительная информация: Современная архитектура и Современная архитектура.
Скользящие пересекающиеся плоскости Де Стейла : дом Ритвельда Шредера , 1924 г.

В начале двадцатого века движение Современная архитектура , впервые [d] русским конструктивизмом , [33] используется прямолинейная Евклида (также называется декартовой ) геометрии. В движении Де Стиджа горизонталь и вертикаль рассматривались как составляющие универсального. Архитектурная форма состоит из соединения этих двух направленных тенденций с использованием плоскостей крыши, плоскостей стен и балконов, которые либо скользят мимо, либо пересекаются друг с другом, как в доме Ритвельда Шредера 1924 года Геррита Ритвельда . [34]

Рауль Генрих Франс «ы мака и pepperpot ( биомиметика ) изображение из Die Pflanze ALS Erfinder , 1920

Модернистские архитекторы могли свободно использовать не только плоскости, но и кривые. На станции Арнос 1933 года Чарльза Холдена есть круглый билетный зал из кирпича с плоской бетонной крышей. [35] В 1938 году художник Баухауса Ласло Мохоли-Надь использовал семь биотехнических элементов Рауля Генриха Франсе , а именно кристалл, сферу, конус, плоскость, (кубовидную) полосу, (цилиндрический) стержень и спираль, как предполагаемые основные строительные блоки архитектуры, вдохновленной природой. [36] [37]

Ле Корбюзье предложил антропометрическую шкалу пропорций в архитектуре, Модулор , основанную на предполагаемом росте человека. [38] В Chapelle Notre-Dame du Haut 1955 года Ле Корбюзье используются кривые произвольной формы, не описываемые математическими формулами. [e] Эти формы напоминают естественные формы, такие как нос корабля или молящиеся руки. [41] Дизайн только в самом большом масштабе: нет иерархии деталей в меньших масштабах и, следовательно, нет фрактальной размерности; то же самое относится и к другим знаменитым зданиям двадцатого века, таким как Сиднейский оперный театр , международный аэропорт Денвера., и Музей Гуггенхайма, Бильбао . [39]

Современная архитектура , по мнению 90 ведущих архитекторов, принявших участие в опросе World Architecture Survey 2010 , чрезвычайно разнообразна; Лучшим был признан Музей Гуггенхайма Фрэнка Гери в Бильбао. [42]

Эти минимальные поверхности по ткани крыши от международного аэропорта Денвер , завершенные в 1995 году, пробуждают Колорадо «сек заснеженные горы и Типи палатки коренных американцев .

Здание терминала международного аэропорта Денвера, построенное в 1995 году, имеет тканевую крышу, поддерживаемую в качестве минимальной поверхности (т.е. ее средняя кривизна равна нулю) стальными тросами. Он вызывает ассоциации с заснеженными горами Колорадо и типичными палатками коренных американцев . [43] [44]

Архитектор Ричард Бакминстер Фуллер известен проектированием прочных тонкостенных конструкций, известных как геодезические купола . Монреаль биосферных купола составляет 61 метров (200 футов) в высоту; его диаметр составляет 76 метров (249 футов). [45]

У Сиднейского оперного театра есть драматическая крыша, состоящая из высоких белых сводов, напоминающих паруса корабля; Чтобы их можно было построить с использованием стандартизованных компонентов, своды состоят из треугольных секций сферических оболочек с одинаковым радиусом. Они имеют необходимую равномерную кривизну во всех направлениях. [46]

Движение конца двадцатого века Деконструктивизм создает преднамеренный беспорядок с тем, что Никос Салингарос в «Теории архитектуры» называет случайными формами [47] высокой сложности [48] , используя непараллельные стены, наложенные сетки и сложные двухмерные поверхности, как в книге Фрэнка Гери. Концертный зал Диснея и музей Гуггенхайма, Бильбао. [49] [50] До двадцатого века студенты-архитекторы были обязаны иметь основы математики. Салингарос утверждает, что первый «чрезмерно упрощенный, политически мотивированный» модернизма затем «антинаучный» деконструктивизм эффективно отделил архитектуру от математики. Он считает, что этот «переворот математических значений» вреден, поскольку «всепроникающая эстетика» нематематической архитектуры учит людей «отвергать математическую информацию в искусственной среде»; он утверждает, что это отрицательно сказывается на обществе. [39]

  • Новая Объективность : Вальтер Гропиус «S Баухаус , Дессау , 1925

  • Цилиндр : Charles Holden «s станция метро Arnos Grove , 1933

  • Модернизм : Ле Корбюзье «s Часовня Нотр - Дам - дю - Haut , 1955

  • Геодезический купол : Монреальская биосфера , Р. Бакминстер Фуллер , 1967

  • Равномерная кривизна : Сиднейский оперный театр , 1973

  • Деконструктивизм : Концертный зал Диснея , Лос-Анджелес, 2003 г.

Религиозные принципы [ править ]

Древний Египет [ править ]

Смотрите также: Золотое сечение § египетские пирамиды
Основание: гипотенуза (b: a) отношения для пирамид, таких как Великая пирамида в Гизе, могут быть: 1: φ ( треугольник Кеплера ), 3: 5 ( треугольник 3: 4: 5 ) или 1: 4 / π

В пирамидах из древнего Египта являются гробницами , построенные с математическими пропорциями, но они были, и будет ли теорема Пифагора была использована, обсуждаются. Отношение наклонной высоты к половине длины основания Великой пирамиды в Гизе составляет менее 1% от золотого сечения . [51] Если бы это был метод проектирования, он бы подразумевал использование треугольника Кеплера (угол лица 51 ° 49 '), [51] [52], но, по мнению многих историков науки , золотое сечение не было известно до того времени. из пифагорейцев . [53]Великая пирамида также могла быть основана на треугольнике с отношением основания к гипотенузе 1: 4 / π (угол наклона граней 51 ° 50 '). [54]

Пропорции некоторых пирамид, возможно, также были основаны на треугольнике 3: 4: 5 (угол лица 53 ° 8 '), известном из Математического папируса Райнда (ок. 1650–1550 до н. Э.); Впервые это предположение было высказано историком Морицем Кантором в 1882 году. [55] Известно, что прямые углы были выложены точно в Древнем Египте с использованием узловатых шнуров для измерения [55], что Плутарх записал в Исиде и Осирисе (около 100 г. н.э.), египтяне восхищались треугольником 3: 4: 5 [55] и тем, что свиток, датированный до 1700 г. до н.э., демонстрирует основные квадратные формулы. [56] [f]Историк Роджер Л. Кук замечает, что «трудно представить, чтобы кто-то интересовался такими условиями, не зная теоремы Пифагора», но также отмечает, что ни в одном египетском тексте до 300 г. до н.э. фактически не упоминается использование теоремы для определения длины треугольника. сторон и что есть более простые способы построить прямой угол. Кук заключает, что предположение Кантора остается неопределенным; он предполагает, что древние египтяне, вероятно, знали теорему Пифагора, но «нет никаких доказательств того, что они использовали ее для построения прямых углов». [55]

Древняя Индия [ править ]

Дополнительная информация: Архитектура Индии и Васту Шастра
Gopuram из индуистской Вирупакша Храм имеет фрактальную -like структуру , в которой части напоминают целое.

Васту Шастра , древние индийские каноны архитектуры и градостроительства, используют симметричные рисунки, называемые мандалами . Для определения размеров здания и его компонентов используются сложные расчеты. Дизайн предназначен для объединения архитектуры с природой, относительных функций различных частей структуры и древних верований с использованием геометрических узоров ( янтры ), симметрии и направленного выравнивания. [57] [58] Однако первые строители могли случайно придти к математическим пропорциям. Математик Жорж Ифра отмечает, что простые «трюки» с веревкой и кольями можно использовать для построения геометрических фигур, таких как эллипсы и прямые углы.[12] [59]

План храма Минакши Амман , Мадурай , начиная с 7 века. Четыре ворот (пронумерованные I-IV) - высокие гопурамы .

Математика фракталов была использована, чтобы показать, что причина, по которой существующие здания имеют универсальную привлекательность и визуально удовлетворительны, заключается в том, что они дают зрителю ощущение масштаба на разных расстояниях просмотра. Например, в высоких гопурах gatehouses из индуистских храмов , такие как Вирупакша храм в Хампи , построенном в седьмом веке, и другие , такие как Махадев Храм Кандария в Кхаджурахо , части и все имеют такой же характер, с фрактальной размерностью в диапазон от 1,7 до 1,8. Кластер небольших башен ( шихара, лит. «гора») около самой высокой центральной башни, которая представляет священную гору Кайлас , обитель Господа Шивы , изображает бесконечное повторение вселенных в индуистской космологии . [2] [60] Ученый-религиовед Уильям Дж. Джексон наблюдал за образцом башен, сгруппированных среди меньших башен, которые сами сгруппированы среди еще меньших башен:

Идеальная форма, изящно созданная, предполагает бесконечные восходящие уровни существования и сознания, увеличивающиеся размеры, восходящие к трансцендентности наверху, и в то же время заключающие священное глубоко внутри. [60] [61]

Храм Минакши Амман - это большой комплекс с множеством святынь, улицы Мадурая расположены концентрически вокруг него в соответствии с шастрами. Четыре ворот представляют собой высокие башни ( гопурамы ) с повторяющейся фрактальной структурой, как в Хампи. Ограждения вокруг каждого святилища имеют прямоугольную форму и окружены высокими каменными стенами. [62]

Древняя Греция [ править ]

Дополнительная информация: греческая архитектура , золотое сечение , пифагореизм и евклидова геометрия.
Парфенон был разработан с использованием пифагорейских коэффициентов.

Пифагор (ок. 569 - ок. 475 до н. Э.) И его последователи, пифагорейцы, считали, что «все есть числа». Они наблюдали гармонии, производимые нотами с определенными целочисленными отношениями частоты, и утверждали, что здания также должны быть спроектированы с такими отношениями. Греческое слово « симметрия» первоначально обозначало гармонию архитектурных форм в точных соотношениях от мельчайших деталей здания до всего его дизайна. [12]

Длина Парфенона составляет 69,5 метров (228 футов), ширина - 30,9 метра (101 фут), а высота до карниза - 13,7 метра (45 футов). Это дает соотношение ширины к длине 4: 9 и то же самое для высоты к ширине. Сложив их вместе, получаем высоту: ширину: длину 16:36:81 или к радости [63] пифагорейцев 4 2 : 6 2 : 9 2. Это устанавливает модуль как 0,858 м. Прямоугольник 4: 9 можно построить как три смежных прямоугольника со сторонами в соотношении 3: 4. Каждый полупрямоугольник представляет собой удобный прямоугольный треугольник 3: 4: 5, позволяющий проверять углы и стороны с помощью веревки с соответствующим узлом. Внутренняя часть (naos) также имеет пропорции 4: 9 (21,44 метра (70,3 фута) в ширину и 48,3 метра в длину); соотношение между диаметром внешних колонн, 1,905 метра (6,25 фута), и расстоянием между их центрами, 4,293 метра (14,08 фута), также составляет 4: 9. [12]

План этажа Парфенона

Такие авторы, как Джон Юлий Норвич, считают Парфенон «самым совершенным дорическим храмом из когда-либо построенных». [64] Его сложные архитектурные изыскания включают «тонкое соответствие между кривизной стилобата, конусностью стен наоса и энтазисом колонн». [64] Entasis относится к тонкому уменьшению диаметра колонн по мере их подъема. Стилобат - это площадка, на которой стоят колонны. Как и в других классических греческих храмах, [65]платформа имеет небольшую параболическую кривизну, направленную вверх, чтобы отводить дождевую воду и укреплять здание от землетрясений. Следовательно, можно было бы предположить, что колонны наклонены наружу, но на самом деле они слегка наклонены внутрь, так что, если они продолжат свое движение, они встретятся примерно в полутора километрах над центром здания; поскольку все они имеют одинаковую высоту, кривизна внешнего края стилобата передается на архитрав и крышу наверху: «все они следуют правилу построения изящных изгибов». [66]

Золотое сечение было известно в 300 г. до н.э., когда Евклид описал метод геометрического построения. [67] Утверждалось, что золотое сечение использовалось в дизайне Парфенона и других древнегреческих зданий, а также скульптур, картин и ваз. [68] Однако более поздние авторы, такие как Никос Салингарос, сомневаются во всех этих утверждениях. [69] Эксперименты компьютерного ученого Джорджа Марковски не смогли найти никакого предпочтения золотому прямоугольнику . [70]

Исламская архитектура [ править ]

Дополнительная информация: Исламская архитектура и Золотое сечение § Архитектура
Мечеть Селимие, Эдирне , 1569–1575 гг.

Историк исламского искусства Антонио Фернандес-Пуэртас предполагает, что Альгамбра , как и Великая мечеть Кордовы , [71] была спроектирована с использованием испано-мусульманской стопы или кодо около 0,62 метра (2,0 фута). Во дворцовом дворе Львов пропорции повторяют серию серых оттенков . Прямоугольник со сторонами 1  и √ 2 имеет (по теореме Пифагора ) диагональ √ 3 , которая описывает прямоугольный треугольник, образованный сторонами площадки; серия продолжается с √ 4 (что дает соотношение 1: 2), √ 5и так далее. Орнаменты имеют аналогичные пропорции: √ 2 образуют квадраты внутри кругов и восьмиконечные звезды, √ 3 образуют шестиконечные звезды. Нет никаких доказательств, подтверждающих более ранние утверждения о том, что в Альгамбре использовалось золотое сечение. [10] [72] суд Львов находится в квадратные скобки в зале Двух сестер и зале Abencerrajes; правильный шестиугольник может быть начерчен из центров этих двух залов и четырех внутренних углов Двор Льва. [73]

Мечеть Селимия в Эдирне , Турция, была построена Мимаром Синана , чтобы обеспечить место , где михраб можно увидеть из любой точки внутри здания. Соответственно, очень большое центральное пространство расположено в форме восьмиугольника, образованного восемью огромными колоннами и увенчанного круглым куполом диаметром 31,25 метра (102,5 фута) и высотой 43 метра (141 фут). Восьмиугольник образован квадратом с четырьмя полукуполами и четырьмя исключительно высокими минаретами высотой 83 метра (272 фута). Таким образом, план здания представляет собой круг внутри восьмиугольника внутри квадрата. [74]

Могольская архитектура [ править ]

Основные статьи: Архитектура Великих Моголов , Фатехпур Сикри и Происхождение и архитектура Тадж-Махала
Тадж - Махал Мавзолей с частью садов комплекса в Агре

Архитектура Великих Моголов , как видно из заброшенного имперского города Фатехпур-Сикри и комплекса Тадж-Махал , имеет характерный математический порядок и сильную эстетику, основанную на симметрии и гармонии. [11] [75]

Тадж-Махал олицетворяет архитектуру Великих Моголов, одновременно представляя рай [76] и демонстрируя могущество императора Великих Моголов Шаха Джахана через его масштаб, симметрию и дорогостоящее украшение. Мавзолей из белого мрамора , украшенный pietra dura , большими воротами ( Darwaza-i rauza ), другими зданиями, садами и дорожками вместе образуют единую иерархическую структуру. Здания включают мечеть из красного песчаника на западе и почти идентичное здание Джаваб или «ответ» на востоке, чтобы сохранить двустороннюю симметрию комплекса. Формальный чарбаг(«четырехчастный сад») состоит из четырех частей, символизирующих четыре райские реки и предлагающих виды и отражения мавзолея. Они разделены на 16 партеров. [77]

План территории комплекса Тадж-Махал . Справа - большие ворота, в центре - мавзолей, окруженный мечетью (внизу) и джавабом. План включает квадраты и восьмиугольники .

Комплекс Тадж-Махал был разбит на сетку, разделенную на более мелкие сетки. Историки архитектуры Коха и Барро согласны с традиционными счетами , которые дают ширину комплекса как 374 ярдов Моголов или ГАЗа , [г] главной площади будучи три 374-Gaz квадратов. Они были разделены на такие области, как базар и караван-сарай, на модули на 17 газов; сад и террасы в модулях по 23 газа, шириной 368 газов (16 x 23). Мавзолей, мечеть и гостевой дом выложены на сетке 7  газ. Кох и Барро замечают, что если восьмиугольнику, многократно используемому в комплексе, даны стороны в 7  единиц, то его ширина будет равна 17 единицам [h], что может помочь объяснить выбор соотношений в комплексе. [78]

Христианская архитектура [ править ]

Дополнительная информация: Церковная архитектура

Христианская патриархальная базилика из Святой Софии в Византии (ныне Стамбул ), первый построенный в 537 (и дважды перестроен), был на тысячу лет [я] самый большой собор когда - либо построенных. Он вдохновил многие более поздние постройки, в том числе мечети Султана Ахмеда и другие мечети города. Византийская архитектура включает в себя ступицу увенчанный круглым куполом и две половины купола, все из того же диаметра (31 метров (102 футов)), а еще пять меньших половин куполов , образующих апсиду и четыре закругленных углов огромной прямоугольной интерьер. [79]Средневековые архитекторы интерпретировали это как изображение приземленного внизу (квадратное основание) и божественного неба наверху (парящий сферический купол). [80] Император Юстиниан использовал в качестве архитекторов двух геометров, Исидора Милетского и Антемия Траллского ; Исидор собрал труды Архимеда по твердой геометрии и находился под его влиянием. [12] [81]

Собор Святой Софии , Стамбул
а) План галереи (верхняя половина)
б) План первого этажа (нижняя половина)

Важность водного крещения в христианстве отразилась на масштабах архитектуры баптистерия . Самый старый, Латеранский баптистерий в Риме, построенный в 440 году [82], положил начало восьмиугольным баптистериям; Купель внутри этих зданий часто восьмиугольные, хотя по величине в Италии баптистерий, в Пизе , построенный между 1152 и 1363, имеет круглую форму , с восьмиугольной шрифтом. Его высота составляет 54,86 метра (180,0 футов), а диаметр - 34,13 метра (112,0 футов) (соотношение 8: 5). [83] Святой Амвросий писал, что купели и баптистеры были восьмиугольными, «потому что на восьмой день [j]воскреснув, Христос ослабляет рабство смерти и принимает мертвых из могил их ». [84] [85] Святой Августин аналогичным образом описал восьмой день как« вечный ... освященный воскресением Христа ». [85] [86 ] ] Восьмиугольный баптистерий Святого Иоанна во Флоренции , построенный между 1059 и 1128 годами, является одним из старейших зданий в этом городе и одним из последних в прямых традициях классической античности; он оказал огромное влияние на последующий флорентийский ренессанс, поскольку крупные архитекторы, включая Франческо Таленти , Альберти и Брунеллески, использовали его как образец классической архитектуры [87].

Число пять «обильно» используется [88] в паломнической церкви св. Иоанна Непомуцкого в 1721 году на Зеленой горе, недалеко от Жара-над-Сазавой в Чешской республике, спроектированной Яном Блажей Сантини Айхелем . Неф круглый, окружен пятью парами колонн и пятью овальными куполами, чередующимися с оживальными апсидами. У церкви пять ворот, пять часовен, пять алтарей и пять звезд; легенда гласит, что, когда святой Иоанн Непомуцкий принял мученическую смерть, над его головой появилось пять звезд. [88] [89] Пятичленная архитектура может также символизировать пять ран Христа и пять букв слова «Tacui» (лат. «Я молчал» [о секретахконфессиональный ]). [90]

Антонио Гауди использовал большое разнообразие геометрических структур, некоторые являются минимальные поверхности, в Святого Семейства , Барселона , началось в 1882 году (а не завершен в 2015 году). К ним относятся гиперболические параболоиды и гиперболоиды вращения , [91] мозаики, цепные дуги , катеноиды , геликоиды и линейчатые поверхности.. Это разнообразное сочетание геометрических форм по-разному творчески сочетается в церкви. Например, в Страстном фасаде храма Святого Семейства Гауди собрал каменные «ветви» в форме гиперболических параболоидов, которые перекрываются своими вершинами (директрисами), поэтому не встречаются в одной точке. Напротив, в колоннаде есть гиперболические параболоидальные поверхности, которые плавно соединяются с другими структурами, образуя неограниченные поверхности. Кроме того, Гауди использует естественные модели , которые сами по себе являются математическими, с колоннами, полученными из форм деревьев , и перемычки, сделанные из немодифицированного базальта, естественно растрескавшегося (путем охлаждения из расплавленной породы) в шестиугольные колонны . [92][93] [94]

Собор Святой Марии Успения Пресвятой Богородицы в Сан-Франциско 1971 года имеет двускатную крышу, состоящую из восьми сегментов гиперболических параболоидов, расположенных так, что нижнее горизонтальное поперечное сечение крыши представляет собой квадрат, а верхнее поперечное сечение - христианский крест . Здание представляет собой квадрат со стороной 77,7 метра (255 футов) и высотой 57,9 метра (190 футов). [95] 1970 Собора Brasília от Оскара Нимейера делает различное использование гиперболоида структуры; он построен из 16 идентичных бетонных балок, каждая весом 90 тонн, [k]расположены по кругу, образуя гиперболоид вращения, белые лучи создают форму рук, молящихся небу. Снаружи виден только купол: большая часть здания находится под землей. [96] [97] [98] [99]

Несколько средневековых церквей в Скандинавии имеют круглую форму , в том числе четыре на датском острове Борнхольм . Одна из старейших из них - церковь Остерларс ок. 1160 г., имеет круглый неф вокруг массивной круглой каменной колонны, пронизанной арками и украшенной фреской. Круглое трехэтажное строение, по-видимому, было укрепленным, причем верхний этаж служил для защиты. [100] [101]

  • Свод нефа собора Святой Софии , Стамбул ( аннотации ), 562 г.

  • Восьмиугольный баптистерий Святого Иоанна во Флоренции , завершенный в 1128 году.

  • Пятикратный симметрии: Ян Сантини «s Паломническая церковь Святого Иоанна Непомуцкого на Зелёном хоре, 1721

  • Страсть фасад Антони Гауди «s Собор Святого Семейства , Барселона , начало 1882 г.

  • Оскар Нимейер «s собор Brasília , 1970

  • Собор Святой Марии Успенской, Сан - Франциско , 1971

  • Центральная колонна скандинавской круглой церкви Østerlars в Борнхольме , Дания

Математическое оформление [ править ]

Исламское архитектурное украшение [ править ]

Основная статья: исламские геометрические узоры

Исламские здания часто украшены геометрическими узорами, которые обычно используют несколько математических мозаик , образованных из керамической плитки ( гирих , зеллиге ), которые сами могут быть простыми или украшенными полосами. [12] Симметрии, такие как звезды с шестью, восемью или кратными восьми точкам, используются в исламских узорах. Некоторые из них основаны на мотиве «Хатем Сулемани» или печати Соломона, который представляет собой восьмиконечную звезду, состоящую из двух квадратов, один из которых повернут на 45 градусов относительно другого в том же центре. [102] Исламские узоры используют многие из 17 возможных групп обоев.; еще в 1944 году Эдит Мюллер показал , что Alhambra использовали 11 обоев групп в его украшения, в то время как в 1986 году Грюнбаум утверждал, что нашел 13 обоев группы в Альгамбре, утверждая , спорно , что оставшиеся четыре группы не найдены где - нибудь в исламском орнамент. [102]

  • Комплексная геометрия и разбиения muqarnas сводов в Мечети шейха Лютфуллу , Исфахан , 1603-1619

  • Лувр Абу-Даби строится в 2015 году, его купол состоит из слоев звезд, состоящих из восьмиугольников, треугольников и квадратов.

Современное архитектурное убранство [ править ]

Дополнительная информация: Орнамент (искусство) и Современная архитектура

К концу 20-го века архитекторы начали использовать новые математические конструкции, такие как фрактальная геометрия и апериодическая мозаика, чтобы обеспечить интересные и привлекательные покрытия для зданий. [4] В 1913 году модернистский архитектор Адольф Лоос объявил, что «Орнамент - это преступление» [103], что повлияло на архитектурное мышление до конца 20-го века. В 21 веке архитекторы снова начинают исследовать использование орнамента . Орнамент 21 века чрезвычайно разнообразен. Концертный и конференц-центр Хеннинга Ларсена 2011 года в Рейкьявике выглядит как хрустальная каменная стена, сделанная из больших стеклянных блоков. [103] Архитекторы Министерства иностранных дел '2010Колледж Равенсборн в Лондоне декоративно выложен мозаикой из 28 000 анодированных алюминиевых плиток красного, белого и коричневого цветов, соединяющих круглые окна разных размеров. В тесселяции используются три типа плитки, равносторонний треугольник и два неправильных пятиугольника. [104] [105] [l] Библиотека Канадзава Умимираи Кадзуми Кудо создает декоративную сетку из небольших круглых стеклянных блоков, вставленных в простые бетонные стены. [103]

  • Колледж Равенсборн , Лондон, 2010 г.

  • Концертный и конференц-центр Harpa , Исландия, 2011 г.

  • Библиотека Канадзава Умимираи , Япония, 2011 г.

  • Музей Сумайя , Мексика, 2011 г.

Защита [ править ]

Европа [ править ]

Дополнительная информация: Звездный форт

Архитектура укреплений развивалась от средневековых крепостей с высокими каменными стенами до низких симметричных звездчатых фортов, способных противостоять артиллерийским обстрелам между серединой пятнадцатого и девятнадцатого веков. Геометрия звездных форм была продиктована необходимостью избегать мертвых зон, где атакующая пехота могла укрыться от оборонительного огня; стороны выступающих точек были расположены под углом, чтобы позволить огню охватить землю и обеспечить перекрестный огонь (с обеих сторон) за каждую выступающую точку. Известные архитекторы, разработавшие такие оборонительные сооружения, включают Микеланджело , Бальдассаре Перуцци , Винченцо Скамоцци иСебастьен Ле Престре де Вобан . [106] [107]

Историк архитектуры Зигфрид Гидион утверждал, что укрепление в форме звезды оказало определяющее влияние на формирование идеального города эпохи Возрождения : «Возрождение было загипнотизировано одним типом города, который на протяжении полутора веков - от Филарета до Скамоцци - находил в себе впечатление. все утопические схемы: это звездный город ». [108]

  • План укрепления Куворден . 17-го века

  • Пальманова , Италия , венецианский город в звездном форте . 17-го века

  • Нёф-Бризах , Эльзас , одно из укреплений Вобана

Китай [ править ]

Tulou в Юндин округа , провинции Фуцзянь

В китайской архитектуре , то Tulou из провинции Фуцзянь циркулярные, коммунальные оборонительные сооружения с преимущественно глухими стенами и одной железного покрытием деревянной дверью, некоторые из которых относится к ХVI века. Стены увенчаны крышами, которые плавно наклоняются наружу и внутрь, образуя кольцо. В центре круга находится открытый мощеный двор, часто с колодцем, окруженный деревянными галереями высотой до пяти этажей. [109]

Экологические цели [ править ]

Яхчал в Йезде , Иран

Архитекторы также могут выбрать форму здания для достижения экологических целей. [88] Например, Фостер и партнеры " 30-Мэри Ах , Лондон, известная как„ The Корнишон “для его огурца -подобной формы, является телом вращения разработано с использованием параметрического моделирования . Его геометрия была выбрана не только из эстетических соображений, но и для того, чтобы минимизировать вихревые потоки воздуха в основании. Несмотря на внешне изогнутую поверхность здания, все стеклянные панели, образующие его оболочку, плоские, за исключением линзы наверху. Большинство панелей четырехугольные , так как их можно вырезать из прямоугольного стекла с меньшими потерями, чем треугольные панели. [1]

Традиционный яхчал (ледяной карьер) Персии функционировал как испарительный охладитель . Надземное сооружение имело куполообразную форму, но имело подземное хранилище для льда, а иногда и для еды. Подземное пространство и толстая термостойкая конструкция утепляли складские помещения круглый год. Внутреннее пространство часто дополнительно охлаждали с помощью ветроуловителей . Лед был доступен летом для приготовления замороженного десерта фалуде . [110]

См. Также [ править ]

  • Black Rock City
  • Математика и искусство
  • Узоры в природе

Примечания [ править ]

  1. ↑ В книге 4, главе 3 книги « Архитектура» , он непосредственно обсуждает модули. [15]
  2. ^ Римская нога была около 0,296 м (0,97 фута).
  3. ^ В современных алгебраических обозначениях это соотношения соответственно 1: 1, √ 2 : 1, 4: 3, 3: 2, 5: 3, 2: 1.
  4. ^ Конструктивизмвлиянием Баухауза и Ле Корбюзье, например. [33]
  5. ^ Пейс Никос Салингарос, который предполагает обратное, [39] но не совсем ясно, какая математика может быть воплощена в кривых часовни Ле Корбюзье. [40]
  6. ↑ Берлинский папирус 6619 из Среднего царства утверждает, что «площадь квадрата 100 равна площади двух меньших квадратов. Сторона одного равна ½ + стороне другого».
  7. ^ 1 газ составляет около 0,86 метра (2,8 фута).
  8. ^ Квадрат, обведенный вокруг восьмиугольника путем продолжения чередующихся сторон, добавляет четыре прямоугольных треугольника с гипотенузой 7 и двумя другими сторонами √ 49/2 или 4,9497 ..., почти 5. Таким образом, сторона квадрата равна 5 + 7 + 5, то есть 17.
  9. ↑ Дозавершения строительства Севильского собора в 1520 году.
  10. ^ Шестой день Страстной недели был Страстной пятницей ; следующее воскресенье ( воскресения ) было восьмым днем. [84]
  11. ^ Это 90 тонн (89 длинных тонн; 99 коротких тонн).
  12. ^ Рассматривалась апериодическая мозаика, чтобы избежать ритма структурной сетки, но на практике мозаика Пенроуза была слишком сложной, поэтому была выбрана сетка 2,625 м по горизонтали и 4,55 м по вертикали. [105]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c Фрайбергер, Марианна (1 марта 2007 г.). «Идеальные здания: математика современной архитектуры» . Плюс журнал . Дата обращения 5 октября 2015 .
  2. ^ a b Rian, Iasef Md; Пак, Джин-Хо; Ан, Хён Ук; Чанг, Донгкук (2007). «Фрактальная геометрия как синтез индуистской космологии в храме Кандария Махадева, Кхаджурахо» . Строительство и окружающая среда . 42 (12): 4093–4107. DOI : 10.1016 / j.buildenv.2007.01.028 .
  3. ^ Уильямс, Ким; Оствальд, Майкл Дж., Ред. (2015). Архитектура и математика от античности до будущего: Том I: от античности до 1500-х годов . Birkhäuser. С. Глава 1. 1–24. ISBN 978-3-319-00136-4.
  4. ^ a b Уильямс, Ким; Оствальд, Майкл Дж., Ред. (2015). Архитектура и математика от античности до будущего: Том II: 1500-е годы в будущее . Birkhäuser. С. Глава 48. 1–24. ISBN 978-3-319-00142-5.
  5. ^ "Обзор архитектурного проектирования" (PDF) . Центр карьеры Sloan Cornerstone. Архивировано 14 июля 2015 года из оригинального (PDF) . Проверено 11 октября 2015 года .
  6. ^ Лейтон, Майкл (2001). Генеративная теория формы . Springer. ISBN 978-3-540-42717-9.
  7. ^ Стахов Алексей; Олсен, Олсен (2009). Математика гармонии: от Евклида до современной математики и информатики . World Scientific. ISBN 978-981-277-582-5.
  8. ^ Смит, Уильям (1870). Словарь греческой и римской биографии и мифологии . Маленький, Браун. п. 620.
  9. ^ a b Витрувий (2009). Об архитектуре . Книги пингвинов. С. 8–9. ISBN 978-0-14-193195-1.
  10. ^ a b Теннант, Раймонд (июль 2003 г.). "Международная совместная конференция ISAMA, Международного общества искусств, математики и архитектуры и BRIDGES. Математические связи в искусстве, музыке и науке, Гранадский университет, Испания, июль 2003 г. Исламские конструкции: геометрия, необходимая мастерам" (PDF) . Международная совместная конференция ISAMA, Международного общества искусств, математики и архитектуры, и BRIDGES, «Математические связи в искусстве, музыке и науке» .
  11. ^ a b Rai, Jaswant (1993). «Математика и эстетика в исламской архитектуре: ссылка на Фатехпур Сикри» . Журнал Университета Короля Сауда, Архитектура и планирование . 5 (1): 19–48.[ постоянная мертвая ссылка ]
  12. ^ Б с д е е г O'Connor, Дж; Робертсон, EF (февраль 2002 г.). «Математика и архитектура» . Сент-Эндрюсский университет . Дата обращения 4 октября 2015 .
  13. ^ ван ден Хувен, Саския; ван дер Вин, Maartje (2010). «Мукарнас: математика в исламском искусстве» (PDF) . Утрехтский университет. Архивировано 4 марта 2016 года из оригинального (PDF) . Проверено 30 сентября 2015 года .
  14. ^ Cucker, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. С. 103–106. ISBN 978-0-521-72876-8.
  15. ^ Витрувий. "ВИТРУВИУС, КНИГА IV, ГЛАВА 3 О дорическом ордене" . Vitruvius.be . Проверено 6 октября 2015 года .
  16. ^ Уильямс, Ким; Оствальд, Майкл Дж. (9 февраля 2015 г.). Архитектура и математика от античности до будущего: Том I: от древности до 1500-х годов . Birkhäuser. С. 42, 48. ISBN 978-3-319-00137-1.
  17. Перейти ↑ Roth, Leland M. (1992). Понимание архитектуры: ее элементы, история и значение . Боулдер: Westview Press. п. 36 . ISBN 0-06-438493-4.
  18. ^ Кларидж, Аманда (1998). Рим . Оксфордские археологические гиды. Оксфорд, Оксфордшир: Издательство Оксфордского университета. С.  204–5 . ISBN 0-19-288003-9.
  19. ^ Ланкастер, Линн С. (2005). Бетонные сводчатые конструкции в императорском Риме: инновации в контексте . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр.  44 -46. ISBN 0-521-84202-6.
  20. ^ Март, Лайонел (1996). «Математика эпохи Возрождения и архитектурная пропорция в De re aedificatoria Альберти». Ежеквартальные архитектурные исследования . 2 (1): 54–65. DOI : 10.1017 / S135913550000110X .
  21. ^ "Сфера, ограничивающая куб" . Mathalino.com Обзор инженерной математики . Дата обращения 4 октября 2015 .
  22. ^ Тип 525.69.781, Библиотека Хоутона, Гарвардский университет
  23. ^ Андерсен, Кирсти (2008). Геометрия искусства: история математической теории перспективы от Альберти до Монжа . Springer. С. 117–121. ISBN 978-0-387-48946-9.
  24. ^ Рул, Карстен (7 апреля 2011). «Палладианство: от итальянской виллы до международной архитектуры» . Европейская история в Интернете . Дата обращения 3 октября 2015 .
  25. ^ Copplestone, Тревины (1963). Мировая архитектура . Хэмлин. п. 251 .
  26. ^ Васселл, Стивен Р. "Математика вилл Палладио: семинар '98" . Сетевой журнал Nexus . Дата обращения 3 октября 2015 .
  27. ^ Палладио, Андреа; Тавернор, Роберт; Скофилд, Ричард (пер.) (1997) [1570]. I quattro libri dell'architettura . MIT Press. п. книга I, глава xxi, страница 57.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  28. ^ Скамоцци, Винченцо; Врум, WHM (пер.) (2003) [1615]. Идея универсальной архитектуры . Architectura & Natura.
  29. ↑ Borys, Ann Marie (28 марта 2014 г.). Винченцо Скамоцци и хорография ранней современной архитектуры . Издательство Ashgate. С. 140–148 и пасс. ISBN 978-1-4094-5580-6.
  30. ^ Beckh, Матиас (2015). Гиперболические конструкции: решетчатые башни Шухова - предшественники современной легкой конструкции . Джон Вили и сыновья. с. 75 и пасс. ISBN 978-1-118-93268-1.
  31. ^ «Нижегородская выставка: Водонапорная башня, строящееся помещение, пружина пролета 91 фут». Инженер : 292–294. 19 марта 1897 г.
  32. ^ Грефе, Райнер; и другие. (1990). Сухов Владимир Григорьевич 1853–1939. Die Kunst der sparsamen Konstruktion . Deutsche Verlags-Anstalt. стр.  110 -114. ISBN 3-421-02984-9.
  33. ^ a b Хазерли, Оуэн (4 ноября 2011 г.). «Конструктивисты и русская революция в искусстве и архитектуре» . Хранитель . Проверено 6 июня +2016 .
  34. ^ "Ритвельд Шредерхейс (Дом Ритвельда Шредера)" . Центр всемирного наследия . ЮНЕСКО . Проверено 13 декабря 2012 года .
  35. ^ Историческая Англия . "Подробная информация из базы данных памятников архитектуры (1358981)" . Список национального наследия Англии . Дата обращения 5 октября 2015 .
  36. ^ Мохоли-Надь, Ласло; Хоффман, Дафна М. (пер.) (1938). Новое видение: основы дизайна, живописи, скульптуры, архитектуры . Новые книги Баухауза. п. 46.
  37. ^ Gamwell, Линн (2015). Математика и искусство: история культуры . Издательство Принстонского университета. п. 306. ISBN. 978-0-691-16528-8.
  38. ↑ Ле Корбюзье (2004) [1954 и 1958]. Модулятор: гармоничная мера в человеческом масштабе, универсально применимая к архитектуре и механике . Birkhäuser. ISBN 3-7643-6188-3.
  39. ^ a b c Салингарос, Никос. «Архитектура, шаблоны и математика» . Сетевой журнал Nexus . Дата обращения 9 октября 2015 .Обновленная версия Салингароса, Никос (апрель 1999 г.). «Архитектура, шаблоны и математика» . Сетевой журнал Nexus . 1 (2): 75–86. DOI : 10.1007 / s00004-998-0006-0 . S2CID 120544101 . 
  40. ^ Грин, Херб. «Ле Корбюзье: Нотр-Дам дю О в Роншане» . Архивировано из оригинала 7 сентября 2015 года . Дата обращения 5 октября 2015 .
  41. ↑ Hanser, Дэвид А. (2006). Архитектура Франции . Издательская группа «Гринвуд». п. 211. ISBN. 978-0-313-31902-0.
  42. ^ "Обзор мировой архитектуры Vanity Fair: полные результаты" . Ярмарка тщеславия . 30 июня 2010 . Проверено 22 июля 2010 года .
  43. ^ "Пресс-кит международного аэропорта Денвера" (PDF) . Международный аэропорт Денвера. 2014. Архивировано из оригинального (PDF) 12 апреля 2015 года . Дата обращения 5 октября 2015 .
  44. ^ «Международный аэропорт Денвера» . Fenstress Architects . Дата обращения 5 октября 2015 .
  45. ^ «Биосфера» . Вид на города . Проверено 1 октября 2015 года .
  46. ↑ Хан, Александр Дж. (4 февраля 2013 г.). «Математические экскурсии в архитектуру» . Внутри науки . Дата обращения 5 октября 2015 .
  47. ^ Salingaros, Никос (2006). Теория архитектуры . Умбау. С. 139–141. ISBN 9783937954073.
  48. ^ Salingaros, Никос (2006). Теория архитектуры . Умбау. С. 124–125. ISBN 9783937954073.
  49. ^ Гери, Фрэнк О.; Мадфорд, Грант; Кошалек, Ричард (2009). Симфония: Концертный зал Уолта Диснея Фрэнка Гери . Пять галстуков. ISBN 9780979472749.
  50. ^ Гарсетти, Gil (2004). Утюг: возведение концертного зала Уолта Диснея . Princeton Architectural Press. ISBN 9781890449285.
  51. ^ a b Бартлетт, Кристофер (2014). «Дизайн Великой пирамиды Хуфу» . Сетевой журнал Nexus . 16 (2): 299–311. DOI : 10.1007 / s00004-014-0193-9 .
  52. ^ Марковский, Джордж (январь 1992). «Заблуждения о золотом сечении» (PDF) . Журнал математики колледжа . 23 (1): 2–19. DOI : 10.1080 / 07468342.1992.11973428 . Архивировано из оригинального (PDF) 2008-04-08 . Проверено 1 октября 2015 .
  53. ^ Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире (первое издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Бродвейские книги . п. 61. ISBN 0-7679-0816-3.
  54. ^ Gazale Мидхат (1999). Гномон: от фараонов до фракталов . Издательство Принстонского университета.[ требуется страница ]
  55. ^ а б в г Кук, Роджер Л. (2011). История математики: Краткий курс (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. С. 237–238. ISBN 978-1-118-03024-0.
  56. ^ Гиллингс, Richard J. (1982). Математика во времена фараонов . Дувр. п. 161 .
  57. ^ Крамриш, Стелла (1976), Том 1 и 2 индуистского храма, ISBN 81-208-0223-3 
  58. ^ Вибхути Sachdev, Giles Tillotson (2004). Строительство Джайпура: создание индийского города . С. 155–160. ISBN 978-1-86189-137-2.
  59. ^ Ифра, Жорж (1998). Всеобщая история чисел . Пингвин.
  60. ^ а б «Фракталы в индийской архитектуре» . Йельский университет. Архивировано из оригинала на 6 февраля 2012 года . Проверено 1 октября 2015 года .
  61. ^ Джексон, Уильям Дж. «Для всех фрактальных целей ... введение» . Университет Индианы - Университет Пердью Индианаполис. Архивировано из оригинального 14 сентября 2015 года . Проверено 1 октября 2015 года .
  62. ^ Король, Энтони Д. (2005). Здания и общество: очерки социального развития искусственной среды . Тейлор и Фрэнсис. п. 72. ISBN 0-203-48075-9.
  63. ^ Maor, Eli (2007). Теорема Пифагора: 4000-летняя история . Издательство Принстонского университета. п. 19. ISBN 978-0-691-12526-8.
  64. ^ a b Норвич, Джон Джулиус (2001). Великая архитектура мира . Дом художников. п. 63.
  65. ^ Пенроуз, Фрэнсис (1973) [1851]. Принципы афинской архитектуры . Общество дилетантов. п. гл. II.3, таблица 9.
  66. ^ Стивенс, Горэм П. (июль 1962 г.). «О впечатляющем Парфеноне». Американский журнал археологии . 66 (3): 337–338. DOI : 10.2307 / 501468 . JSTOR 501468 . 
  67. ^ Евклид. Элементы . Книга 6, Предложение 30.
  68. ^ Арчибальд, RC «Заметки о логарифмической спирали, золотом сечении и ряду Фибоначчи» . Проверено 1 октября 2015 года .
  69. ^ Приложения золотой середины к архитектуре
  70. ^ Марковский, Джордж (январь 1992). «Заблуждения о золотом сечении» (PDF) . Журнал математики колледжа . 23 (1): 2–19. DOI : 10.1080 / 07468342.1992.11973428 . Архивировано из оригинального (PDF) 2008-04-08 . Проверено 1 октября 2015 .
  71. ^ Гедал, Наджиб. "Великая мечеть Кордовы: геометрический анализ" . Исламское искусство и архитектура. Архивировано из оригинала 2 октября 2015 года . Проверено 16 октября 2015 года .
  72. ↑ Ирвин, Роберт (26 мая 2011 г.). Альгамбра . Профильные книги. С. 109–112. ISBN 978-1-84765-098-6.
  73. ↑ Робертсон, Энн (2007). «Возвращаясь к геометрии Sala de Dos Hermanas» (PDF) . МОСТЫ . Проверено 11 октября 2015 года .
  74. ^ Блер, Шейла; Блум, Джонатан М. (1995). Искусство и архитектура ислама 1250–1800 гг . Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-06465-9.
  75. ^ Мичелл, Джордж; Пасрича, Амит (2011). Могольская архитектура и сады . Клуб коллекционеров антиквариата. ISBN 978-1-85149-670-9.
  76. ^ Паркер, Филип (2010). Всемирная история . Дорлинг Киндерсли. п. 224. ISBN 978-1-4053-4124-0.
  77. ^ Koch, Ebba (2006). Полный Тадж-Махал: И сады на набережной Агры (1-е изд.). Темза и Гудзон. стр.  24 и пассив . ISBN 0-500-34209-1.
  78. ^ Koch, Ebba (2006). Полный Тадж-Махал: И сады на набережной Агры (1-е изд.). Темза и Гудзон. С.  104–109 . ISBN 0-500-34209-1.
  79. ^ Фацио, Майкл; Моффетт, Мэриан; Вудхаус, Лоуренс (2009). Здания через время (3-е изд.). McGraw-Hill Высшее образование. ISBN 978-0-07-305304-2.
  80. ^ Gamwell, Линн (2015). Математика и искусство: история культуры . Издательство Принстонского университета. п. 48. ISBN 978-0-691-16528-8.
  81. ^ Кляйнер, Фред С .; Мамия, Кристин Дж. (2008). Искусство Гарднера сквозь века: Том I, главы 1–18 (12-е изд.). Уодсворт. п. 329. ISBN. 978-0-495-46740-3.
  82. ^ Менандр, Ханна; Брандт, Олоф; Аппетехия, Агостина; Торен, Хокан (2010). «Латеранский баптистерий в трех измерениях» (PDF) . Шведский совет национального наследия . Проверено 30 октября 2015 года .
  83. ^ "Баптистерий" . Пизанская башня . Проверено 30 октября 2015 года .
  84. ^ a b Хайзер-Кониг, Жанна. «Богословские причины баптистерийских форм» . Институт христианского поклонения Кальвина . Проверено 30 октября 2015 года .
  85. ^ a b Куэн, Регина (1992). Место для крещения . Публикации по обучению литургии. С. 53–60. ISBN 978-0-929650-00-5.
  86. ↑ Августин Гиппопотам (426). Город Бога . п. Книга 22, глава 30.
  87. Перейти ↑ Kleiner, Fred (2012). Искусство Гарднера сквозь века: глобальная история . Cengage Learning. С. 355–356. ISBN 978-1-133-71116-2.
  88. ^ a b c Симитч, Андреа; Варке, Вал (2014). Язык архитектуры: 26 принципов, которые должен знать каждый архитектор . Издательство Rockport. п. 191. ISBN. 978-1-62788-048-0.
  89. ^ "Зеленая гора близ Шар-над-Сазавой" . Чешский туризм . Проверено 10 ноября 2015 года .
  90. ^ "Атрибуты святого Иоанна Непомуцкого" . Святой Иоанн Непомуцкий . Архивировано из оригинала 4 марта 2016 года . Проверено 10 ноября 2015 года .
  91. ^ Burry, MC, JR Burry, GM Данлоп и А. Махер (2001). «Рисуем вместе евклидовы и топологические нити (pdf)» (PDF) . Представлено на SIRC 2001 - Тринадцатом ежегодном коллоквиуме Центра исследований пространственной информации . Данидин, Новая Зеландия: Университет Отаго. Архивировано из оригинального (PDF) 31 октября 2007 года . Проверено 28 ноября 2007 .
  92. ^ "Геометрия Антонио Гауди" . Математика и искусство М.К. Эшера . Математика и информатика Университета Сент-Луиса . Дата обращения 4 октября 2015 .
  93. ^ Покупайте онлайн <br> <br> Лилиана. «Антоний Гауди и математика» . Математический журнал . Дата обращения 4 октября 2015 .
  94. ^ MC Burry; JR Burry; GM Данлоп; А. Махер (2001). «Соединяя евклидовы и топологические нити вместе» (PDF) . 13-й ежегодный коллоквиум Центра исследования пространственной информации, Университет Отаго, Данидин, Новая Зеландия. Архивировано из оригинального (PDF) 25 июня 2008 года . Проверено 5 августа 2008 года . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  95. ^ Нерви, Пьер Луиджи. "Собор Успения Пресвятой Богородицы" . Architectuul . Проверено 12 октября 2015 года .
  96. ^ "Собор Бразилиа" . О Бразилиа . Проверено 13 ноября 2015 года .
  97. ^ Берендс, Эрхард; Крато, Нуно; Родригес, Хосе Франсиско (2012). Повышение осведомленности общественности о математике . Springer Science & Business Media. п. 143. ISBN 978-3-642-25710-0.
  98. ^ Emmer, Мишель (2012). Представьте себе математику: между культурой и математикой . Springer Science & Business Media. п. 111. ISBN 978-88-470-2427-4.
  99. ↑ Мкртчян, Рузанна (2013). "Собор Бразилиа" . Building.AM . Проверено 13 ноября 2015 года .
  100. ^ "Østerlars kirke" (на датском). Nordens kirker . Проверено 2 декабря 2016 .
  101. ^ "Østerlars kirke" (на датском). Natur Bornholm. Архивировано из оригинального 19 июля 2011 года . Проверено 2 декабря 2016 .
  102. ^ a b Реннинг, Фроде. «Исламские узоры и группы симметрии» (PDF) . Эксетерский университет . Проверено 18 апреля 2014 года .
  103. ^ a b c Гибберд, Мэтт; Хилл, Альберт (20 августа 2013 г.). «Возвращение орнамента» . Телеграф . Проверено 12 октября 2015 года .
  104. ^ "Колледж Равенсборн архитекторами министерства иностранных дел" . журнал de zeen. 13 сентября 2010 . Проверено 12 октября 2015 года .
  105. ^ a b Бизли, Грэм. «Образцы полуострова FOA для колледжа Равенсборн» . bdonline.co.uk . Проверено 16 октября 2015 года .
  106. ^ Даффи, С. (1975). Огонь и камень, Наука о войне в крепостях 1660–1860 . Книжные магазины. ISBN 978-0-7858-2109-0.
  107. ^ Чендлер, Дэвид (1990). Искусство войны в эпоху Мальборо . Spellmount. ISBN 978-0-946771-42-4.
  108. ^ Гидион, Зигфрид (1962) [1941]. Пространство, время и архитектура . Издательство Гарвардского университета. п. 43.
  109. ↑ О'Нил, Том (4 января 2015 г.). «Далекие крепости Китая теряют жителей, привлекают туристов» . National Geographic . Проверено 6 января 2017 года .
  110. ^ Mahdavinejad, M .; Джаванруди, Каван (июль 2012 г.). «Оценка древних холодильников: устойчивый метод хранения льда в жарком засушливом климате» . Азиатская культура и история . 4 (2). DOI : 10,5539 / ach.v4n2p133 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Сетевой журнал Nexus: архитектура и математика в Интернете
  • Международное общество искусств, математики и архитектуры
  • Университет Сент-Эндрюс: математика и архитектура
  • Национальный университет Сингапура: математика в искусстве и архитектуре
  • Дартмутский колледж: геометрия в искусстве и архитектуре