В теории алгебр фон Неймана , а подфактор о в фактор подалгебра, которая является факторной и содержит . Теория субфакторов привела к открытию полинома Джонса в теории узлов .
Индекс подфактора
Обычно принимается за фактор типа , так что он имеет конечный след. В этом случае каждый модуль гильбертова пространства имеет размер которое является неотрицательным действительным числом или . индекс субфактора определяется как . Здесь это представление полученный из GNS-конструкции следа.
Теорема Джонса об индексе
Это гласит, что если является субфактором (оба типа ), то индекс имеет форму для , или, по крайней мере, . Все эти ценности встречаются.
Первые несколько значений находятся
Базовая конструкция
Предположим, что является субфактором , и что обе являются конечными алгебрами фон Неймана. Конструкция GNS дает гильбертово пространство действовал с циклическим вектором . Позволять проекция на подпространство . потом а также генерировать новую алгебру фон Неймана действующий на , содержащий как субфактор. Отрывок из включения в к включению в называется базовой конструкцией .
Если а также оба фактора типа а также имеет конечный индекс в тогда также типа . Причем включения имеют одинаковый индекс: а также .
Башня Джонса
Предположим, что является включением типа факторы конечного индекса. Повторяя основную конструкцию, мы получаем башню включений
где а также , и каждый порождается предыдущей алгеброй и проекцией. Объединение всех этих алгебр имеет следовое состояние чье ограничение на каждый это следовое состояние, и поэтому закрытие союза - другой тип алгебра фон Неймана .
Алгебра содержит последовательность проекций которые удовлетворяют соотношениям Темперли – Либа при параметре. Более того, алгебра, порожденная это -алгебра, в которой самосопряжены и такие, что когда находится в алгебре, порожденной вплоть до . Когда эти дополнительные условия выполняются, алгебра называется алгеброй Темперли – Либа – Джонса с параметром. Его уникальность может быть доказана до-изоморфизм. Он существует только тогда, когда принимает эти особые ценности для , или значения больше, чем .
Стандартный инвариант
Предположим, что является включением типа факторы конечного индекса. Пусть высшие относительные коммутанты равны а также .
Стандартный инвариант из подфактору это следующая сетка:
что является полным инвариантом в аменабельном случае. [1] Схематическая аксиоматизация стандартного инварианта дается понятием планарной алгебры .
Основные графы
Субфактор конечного индекса называется неприводимым, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
- неприводима как бимодуль;
- относительная Коммутант является .
В таком случае определяет бимодуль а также его сопряженный бимодуль . Относительное тензорное произведение, описанное в Jones (1983) и часто называемое слиянием по Конну после предыдущего определения общих алгебр фон Неймана Алена Конна , может использоваться для определения новых бимодулей над, , а также путем разложения следующих тензорных произведений на неприводимые компоненты:
Неприводимый а также Возникающие таким образом бимодули образуют вершины главного графа - двудольного графа . Направленные ребра этих графов описывают, как неприводимый бимодуль разлагается при тензорезании с помощью а также справа. Двойной главный граф определяется таким же образом , используя а также бимодули.
Поскольку любой бимодуль соответствует коммутирующим действиям двух факторов, каждый фактор содержится в коммутанте другого и, следовательно, определяет подфактор. Когда бимодуль неприводим, его размерность определяется как квадратный корень из индекса этого подфактора. Размерность аддитивно расширяется до прямых сумм неприводимых бимодулей. Он мультипликативен по отношению к слиянию Конна.
Говорят, что подфактор имеет конечную глубину, если главный граф и двойственный к нему конечны, т. Е. Если только конечное число неприводимых бимодулей встречается в этих разложениях. В этом случае, если а также гиперконечны, Сорин Попа показал, что включение изоморфна модели
где множители получаются из конструкции GNS относительно канонического следа.
Узел многочленов
Алгебра, порожденная элементами с указанными выше соотношениями называется алгеброй Темперли – Либа . Это фактор групповой алгебры группы кос , поэтому представления алгебры Темперли – Либа дают представления группы кос, которые, в свою очередь, часто дают инварианты для узлов.
Рекомендации
- ^ Поп, Сорин (1994), "Классификация аменабельных подфакторов типа II", Acta Mathematica , 172 (2): 163-255, DOI : 10.1007 / BF02392646 , МР 1278111
- Джонс, Vaughan FR (1983), "Индекс для подфакторов" , Inventiones Mathematicae , 72 : 1-25, DOI : 10.1007 / BF01389127
- Венцль, Х.Г. (1988), "Алгебры Гекке типа A n и субфакторы" , Инвент. Математика. , 92 (2): 349-383, DOI : 10.1007 / BF01404457 , МР 0696688
- Джонс, Воан FR ; Сандер, Виакалатур Шанкар (1997). Введение в субфакторы . Серия лекций Лондонского математического общества. 234 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.1017 / CBO9780511566219 . ISBN 0-521-58420-5. Руководство по ремонту 1473221 .
- Теория операторных алгебр III М. Такесаки ISBN 3-540-42913-1
- Вассерманн, Антоний . «Операторы в гильбертовом пространстве» .