В математике алгебра фон Неймана или W*-алгебра — это *-алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве , замкнутая в слабой операторной топологии и содержащая тождественный оператор . Это особый тип C*-алгебры .
Алгебры фон Неймана были первоначально введены Джоном фон Нейманом , мотивированным его изучением одиночных операторов , групповых представлений , эргодической теории и квантовой механики . Его теорема о двойном коммутанте показывает, что аналитическое определение эквивалентно чисто алгебраическому определению как алгебры симметрий.
Алгебры фон Неймана были впервые изучены фон Нейманом (1930) в 1929 году; он и Фрэнсис Мюррей разработали основную теорию под первоначальным названием колец операторов в серии статей, написанных в 1930-х и 1940-х годах (FJ Murray & J. von Neumann 1936 , 1937 , 1943 ; J. von Neumann 1938 , 1940 ). , 1943 , 1949 ), переизданные в собрании сочинений фон Неймана (1961) .
Вводные описания алгебр фон Неймана даны в онлайн-заметках Джонса (2003) и Вассермана (1991) , а также в книгах Диксмьера (1981) , Шварца (1967) , Блэкадара (2005) и Сакаи (1971) . Трехтомная работа Такесаки (1979) дает энциклопедическое изложение теории. В книге Конна (1994) обсуждаются более сложные темы.
Первый и наиболее распространенный способ — определить их как слабо замкнутые *-алгебры ограниченных операторов (в гильбертовом пространстве), содержащих единицу. В этом определении слабая (операторная) топология может быть заменена многими другими распространенными топологиями , включая сильные , сверхсильные или ультраслабые операторные топологии. *-алгебры ограниченных операторов, замкнутые в топологии нормы, являются C*-алгебрами , поэтому, в частности, любая алгебра фон Неймана является C*-алгеброй.
Второе определение состоит в том, что алгебра фон Неймана — это замкнутая относительно инволюции (*-операция) подалгебра ограниченных операторов, равная своему двойному коммутанту или, что то же самое, коммутанту некоторой подалгебры, замкнутой относительно *. Теорема фон Неймана о двойном коммутанте ( von Neumann 1930 ) говорит, что первые два определения эквивалентны.