Планарная алгебра

В математике , плоские алгебры впервые появились в работе Vaughan Jones на стандартном инварианте в виде II ₁ подфактора .^[1] Они также обеспечивают подходящую алгебраическую основу для многих инвариантов узлов (в частности, полинома Джонса ) и использовались при описании свойств гомологий Хованова относительно композиции клубков . ^{[2] [3]} Любая подфакторная планарная алгебра обеспечивает семейство унитарных представлений групп Томпсона .^[4]Любую конечную группу (и квантовое обобщение) можно закодировать как плоскую алгебру. ^[1]

Определение [ править ]

Идея плоской алгебры состоит в том, чтобы быть схематической аксиоматизацией стандартного инварианта .^{[1] [5] [6]}

Планарный клубок [ править ]

Планарный клубок (заштрихованный) - это данные конечного числа входных дисков, одного выходного диска, непересекающихся строк, дающих четное число, скажем , интервалов на диск и интервалов с одной меткой на диск. ${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle \ star}$

Здесь метка обозначена буквой. На каждом входном диске он помещается между двумя соседними исходящими строками, а на выходном диске он помещается между двумя соседними входящими строками. Плоский клубок определен с точностью до изотопии .${\ displaystyle \ star}$

Состав [ править ]

Чтобы составить два плоских клубка, поместите выходной диск одного во вход другого, имеющий столько же интервалов, такое же закрашивание отмеченных интервалов и так, чтобы обозначенные -отмеченные интервалы совпадали. Наконец, удаляем совпадающие круги. Обратите внимание, что два плоских клубка могут иметь ноль, один или несколько возможных составов.${\ displaystyle \ star}$

Планарная операда [ править ]

Планарный операд есть множество всех плоских связок ( с точностью до изоморфизма) с такими композициями.

Планарная алгебра [ править ]

Плоская алгебра является представление планарного операде; более точно, это семейство векторных пространств , называемое -Box пространствами, на которых действует плоскую операду, т.е. для любого клубка (с одним выходных дисков и входных дисками с и интервалами соответственно) существует полилинейная карта${\ displaystyle ({\ mathcal {P}} _ {n, \ pm}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 2n_{0}}$${\displaystyle 2n_{1},\dots ,2n_{r}}$

${\displaystyle Z_{T}:{\mathcal {P}}_{n_{1},\epsilon _{1}}\otimes \cdots \otimes {\mathcal {P}}_{n_{r},\epsilon _{r}}\to {\mathcal {P}}_{n_{0},\epsilon _{0}}}$

с в соответствии с затенением -отмеченных интервалов, и эти карты (также называемые статистическими суммами) учитывают состав клубка таким образом, что все диаграммы, как показано ниже, коммутируют.${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{+,-\}}$${\displaystyle \star }$

Примеры [ править ]

Планарные путаницы [ править ]

Семейство векторных пространств, порожденных планарными связками, имеющими интервалы на их выходном диске и интервал с белыми (или черными) отметками, допускает структуру плоской алгебры.${\displaystyle ({\mathcal {T}}_{n,\pm })_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \star }$

Темперли-Либ [ править ]

Плоская алгебра Темперли-Либа порождается планарными связками без входного диска; его пространство -box создается${\displaystyle {\mathcal {TL}}(\delta )}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\mathcal {TL}}_{3,+}(\delta )}$

Более того, замкнутая строка заменяется умножением на .${\displaystyle \delta }$

Обратите внимание, что размер - это каталонское число . Эта плоская алгебра кодирует понятие алгебры Темперли – Либа .${\displaystyle {\mathcal {TL}}_{n,\pm }(\delta )}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$

Алгебра Хопфа [ править ]

Полупростая и косопростая алгебра Хопфа над алгебраически замкнутым полем кодируется в плоской алгебре, определяемой образующими и соотношениями, и «соответствует» (с точностью до изоморфизма) связной, неприводимой сферической невырожденной плоской алгебре с ненулевым модулем и глубина два.^[7]${\displaystyle \delta }$

Обратите внимание, что связанные средние (как для оцениваемых ниже), неприводимые средние , сферические определены ниже, а невырожденные означает, что следы (определенные ниже) невырождены.${\displaystyle \dim({\mathcal {P}}_{0,\pm })=1}$${\displaystyle \dim({\mathcal {P}}_{1,+})=1}$

Подфакторная планарная алгебра [ править ]

Определение [ править ]

Подфактор плоской алгебра является плоской алгеброй , которая является: ${\displaystyle \star }$${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{n,\pm })_{n\in \mathbb {N} }}$

(1) Конечномерные: ${\displaystyle \dim({\mathcal {P}}_{n,\pm })<\infty }$

(2) Оценивается: ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{0,\pm }=\mathbb {C} }$

(3) Сферический: ${\displaystyle tr:=tr_{r}=tr_{l}}$

(4) Положительный: определяет внутренний продукт.${\displaystyle \langle a\vert b\rangle =tr(b^{\star }a)}$

Обратите внимание, что согласно (2) и (3) любая закрытая строка (заштрихованная или нет) считается одной и той же константой .${\displaystyle \delta }$

Действие путаницы имеет дело с сопряженным путем:

${\displaystyle Z_{T}(a_{1}\otimes a_{2}\otimes \cdots \otimes a_{r})^{\star }=Z_{T^{\star }}(a_{1}^{\star }\otimes a_{2}^{\star }\otimes \cdots \otimes a_{r}^{\star })}$

с зеркальным отображением и сопряжением в .${\displaystyle T^{\star }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle a_{i}^{\star }}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n_{i},\epsilon _{i}}}$

Примеры и результаты [ править ]

Теорема об отсутствии призраков : плоская алгебра не имеет призрака (т.е. элемента с ) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {TL}}(\delta )}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \langle a\vert a\rangle <0}$

${\displaystyle \delta \in \{2\cos(\pi /n)|n=3,4,5,...\}\cup [2,+\infty ]}$

Для получения, как указано выше, пусть будет нулевой идеал (порожденный элементами с ). Тогда фактор - это подфакторная планарная алгебра, называемая подфакторной планарной алгеброй Темперли – Либа-Джонса . Любая подфакторная планарная алгебра с константой допускает плоскую подалгебру.${\displaystyle \delta }$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \langle a\vert a\rangle =0}$${\displaystyle {\mathcal {TL}}(\delta )/{\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {TLJ}}(\delta )}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle {\mathcal {TLJ}}(\delta )}$

Плоская алгебра является подфакторной плоской алгеброй тогда и только тогда, когда она является стандартным инвариантом экстремального подфактора индекса , с и . ^{[8] [9] [10]} Конечная глубина или неприводимый субфактор является экстремальным ( on ). ${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{n,\pm })}$ ${\displaystyle N\subseteq M}$${\displaystyle [M:N]=\delta ^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,+}=N'\cap M_{n-1}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,-}=M'\cap M_{n}}$${\displaystyle tr_{N'}=tr_{M}}$${\displaystyle N'\cap M}$

Существует субфакторная планарная алгебра, кодирующая любую конечную группу (и в более общем плане любую конечномерную -алгебру Хопфа C ⋆ {\displaystyle {\rm {C}}^{\star }} , называемую алгеброй Каца), определяемая генераторами и соотношениями. (Конечномерная) алгебра Каца «соответствует» (с точностью до изоморфизма) неприводимой субфакторной планарной алгебре глубины два.^{[11] [12]}

Подфакторная планарная алгебра, связанная с включением конечных групп, ^[13] не всегда запоминает включение (без ядра).^{[14] [15]}

Подфакторная плоская алгебра Биша-Джонса (иногда называемая Fuss-Catalan) определяется как для, но допускает два цвета строки с их собственной константой и , как указано выше. Это плоская подалгебра любой субфакторной планарной алгебры с таким промежуточным звеном, что и . ^{[16] [17]}${\displaystyle {\mathcal {BJ}}(\delta _{1},\delta _{2})}$${\displaystyle {\mathcal {TLJ}}(\delta )}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \delta _{2}}$${\displaystyle \delta _{i}}$${\displaystyle [K:N]=\delta _{1}^{2}}$${\displaystyle [M:K]=\delta _{2}^{2}}$

Первая планарная алгебра индекса конечной глубины подфактора называется плоской алгеброй подфактора Хаагерупа .^[18] Он имеет индекс .${\displaystyle \delta ^{2}>4}$${\displaystyle (5+{\sqrt {13}})/2\sim 4.303}$

Подфакторные планарные алгебры полностью классифицированы по индексу не более ^[19] и немного выше.^[20] Эта классификация была инициирована Уффе Хаагерупом .^[21] Он использует (среди прочего) список возможных главных графов вместе с теоремой вложения ^[22] и алгоритмом медузы.^[23]${\displaystyle 5}$

Подфакторная планарная алгебра запоминает подфактор (т. Е. Его стандартный инвариант завершен), если он поддается.^[24] Сверхконечный субфактор конечной глубины податлив.

О неаменабельном случае: существует неклассифицируемое множество неприводимых гиперконечных подфакторов индекса 6, которые все имеют один и тот же стандартный инвариант.^[25]

Преобразование Фурье и бипроекции [ править ]

Позвольте быть подфактор конечного индекса, и соответствующий подфактор планарной алгебры. Предположим, что это неприводимо (т.е. ). Позвольте быть промежуточным субфактором. Пусть проекция Джонса . Обратите внимание на это . Пусть и .${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1,+}=N'\cap M_{1}=\mathbb {C} }$${\displaystyle N\subset K\subset M}$${\displaystyle e_{K}^{M}:L^{2}(M)\to L^{2}(K)}$${\displaystyle e_{K}^{M}\in {\mathcal {P}}_{2,+}}$${\displaystyle id:=e_{M}^{M}}$${\displaystyle e_{1}:=e_{N}^{M}}$

Обратите внимание, что и .${\displaystyle tr(e_{1})=\delta ^{-2}=[M:N]^{-1}}$${\displaystyle tr(id)=1}$

Пусть биективное линейное отображение будет преобразованием Фурье , также называемым -клик (внешней звезды) или вращением; и пусть будет совместным произведением и .${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {P}}_{2,\pm }\to {\mathcal {P}}_{2,\mp }}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 90^{\circ }}$${\displaystyle a*b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Обратите внимание, что слово сопродукт является уменьшительным от слова « продукт свертки» . Это бинарная операция.

Копроизведение удовлетворяет равенству ${\displaystyle a*b={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}(a){\mathcal {F}}^{-1}(b)).}$

Для любых положительных операторов копроизведение также положительно; это можно увидеть схематически: ^[26]${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a*b}$

Позвольте быть контрагредиентом (также называемым вращением). Карта соответствует четырем щелчкам внешней звезды, так что это карта идентичности, а затем .${\displaystyle {\overline {a}}:={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(a))}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle 180^{\circ }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\overline {\overline {a}}}=a}$

В случае алгебры Каца контрагредиент - это в точности антипод ^[12], который для конечной группы соответствует обратному.

Biprojection является проекцией с кратной проекции. Обратите внимание, что и являются двойными проекциями; это можно увидеть следующим образом:${\displaystyle b\in {\mathcal {P}}_{2,+}\setminus \{0\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(b)}$${\displaystyle e_{1}=e_{N}^{M}}$${\displaystyle id=e_{M}^{M}}$

Проекция является бипроекцией тогда и только тогда, когда она является проекцией Джонса промежуточного субфактора ^[27] , тогда и только тогда .^{[28] [26]}${\displaystyle b}$${\displaystyle e_{K}^{M}}$${\displaystyle N\subset K\subset M}$${\displaystyle e_{1}\leq b={\overline {b}}=\lambda b*b,{\text{ with }}\lambda ^{-1}=\delta tr(b)}$

Соответствие Галуа : ^[29] в случае алгебры Каца бипроекции равны 1-1 с левыми коидеальными подалгебрами, которые для конечной группы соответствуют подгруппам.

Для любой неприводимой субфакторной планарной алгебры множество бипроекций представляет собой конечную решетку ^[30] вида , как для интервала конечных групп .${\displaystyle [e_{1},id]}$${\displaystyle [H,G]}$

Используя бипроекции, мы можем сделать промежуточные субфакторные плоские алгебры. ^{[31] [32]}

Принцип неопределенности распространяется на любую неприводимую подфакторную планарную алгебру :${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Пусть с дальностью проекции и ненормализованной трассой (т.е. на ).${\displaystyle {\mathcal {S}}(x)=Tr(R(x))}$${\displaystyle R(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Tr}$${\displaystyle Tr=\delta ^{n}tr}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,\pm }}$

Некоммутативный принцип неопределенности : ^[33] Пусть , не ноль. потом${\displaystyle x\in {\mathcal {P}}_{2,\pm }}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(x){\mathcal {S}}({\mathcal {F}}(x))\geq \delta ^{2}}$

Предполагая и положительное, равенство выполняется тогда и только тогда, когда является бипроекцией. В более общем смысле , равенство имеет место тогда и только тогда , когда есть би-сдвиг из biprojection.${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Ссылки [ править ]