Субфактор

В теории алгебр фон Неймана , А подфактор из фактора является подалгеброй , что является фактором , и содержит . Теория субфакторов привела к открытию полинома Джонса в теории узлов .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1}$

Индекс подфактора [ править ]

Обычно считается множителем типа , так что он имеет конечный след. В этом случае каждый модуль гильбертова пространства имеет размерность, которая является неотрицательным действительным числом или . Индекс из подфактору определяется как . Вот изображение, полученное из GNS-конструкции следа .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ rm {II}} _ {1}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ dim _ {M} (H)}$${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle [M: N]}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle \ тусклый _ {N} (L ^ {2} (M))}$${\ Displaystyle L ^ {2} (М)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$

Теорема Джонса об индексе [ править ]

Это утверждает , что если это подфактор (оба типа ) , то индекс либо формы для , или , по крайней мере . Все эти ценности встречаются.${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ rm {II}} _ {1}}$${\ displaystyle [M: N]}$${\ Displaystyle 4cos (\ пи / п) ^ {2}}$${\ displaystyle n = 3,4,5, ...}$${\ displaystyle 4}$

Первые несколько значений : ${\ Displaystyle 4 \ соз (\ пи / п) ^ {2}}$${\ displaystyle 1,2, (3 + {\ sqrt {5}}) / 2 = 2,618 ..., 3,3,247 ..., ...}$

Базовая конструкция [ править ]

Предположим, что это подфактор , и что обе являются конечными алгебрами фон Неймана. Конструкция GNS создает гильбертово пространство , в котором действует циклический вектор . Позвольте быть проекцией на подпространство . Затем и сгенерируйте новую алгебру фон Неймана, действующую на , содержащую в качестве подфактора. Переход от включения in к включению in называется базовой конструкцией .${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle L ^ {2} (М)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle e_ {N}}$${\ Displaystyle N \ Omega}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle e_ {N}}$${\ displaystyle \ langle M, e_ {N} \ rangle}$${\ Displaystyle L ^ {2} (М)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ langle M, e_ {N} \ rangle}$

Если и оба являются факторами типа и имеют конечный индекс в, то также являются факторами типа . Причем включения имеют одинаковый индекс: и .${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ rm {II}} _ {1}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ langle M, e_ {N} \ rangle}$${\ displaystyle {\ rm {II}} _ {1}}$${\ displaystyle [M: N] = [\ langle M, e_ {N} \ rangle: M],}$${\ displaystyle tr _ {\ langle M, e_ {N} \ rangle} (e_ {N}) = [M: N] ^ {- 1}}$

Башня Джонса [ править ]

Предположим, что это включение типовых факторов конечного индекса. Повторяя основную конструкцию, мы получаем башню включений${\ Displaystyle N \ подмножество M}$${\ displaystyle {\ rm {II}} _ {1}}$

${\ displaystyle M _ {- 1} \ subset M_ {0} \ subset M_ {1} \ subset M_ {2} \ subset \ cdots}$

где и , и каждый порожден предыдущей алгеброй и проекцией. Объединение всех этих алгебр имеет следовое состояние , ограничение на каждую из которых является следовым состоянием, и поэтому замыкание объединения - это алгебра фон Неймана другого типа .${\displaystyle M_{-1}=N}$${\displaystyle M_{0}=M}$${\displaystyle M_{n+1}=\langle M_{n},e_{n+1}\rangle }$${\displaystyle tr}$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$${\displaystyle M_{\infty }}$

Алгебра содержит последовательность проекций, удовлетворяющих соотношениям Темперли – Либа по параметру . Более того, алгебра, порожденная с помощью, является -алгеброй, в которой являются самосопряженными, и такая, что когда находится в алгебре, порожденной до . Когда эти дополнительные условия выполняются, алгебра называется алгеброй Темперли – Либа – Джонса с параметром . Можно показать, что он единственен с точностью до -изоморфизма. Он существует только тогда, когда принимает эти специальные значения для или значения больше чем .${\displaystyle M_{\infty }}$${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},...,}$${\displaystyle \lambda =[M:N]^{-1}}$${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle {\rm {C}}^{\star }}$${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle tr(xe_{n})=\lambda tr(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{n-1}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \star }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 4cos(\pi /n)^{2}}$${\displaystyle n=3,4,5,...}$${\displaystyle 4}$

Стандартный инвариант [ править ]

Предположим, что это включение типовых факторов конечного индекса. Пусть старшие относительные коммутанты - это и .${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,+}=N'\cap M_{n-1}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,-}=M'\cap M_{n}}$

Стандартный инвариант из подфактора является следующей сеткой:${\displaystyle N\subset M}$

${\displaystyle \mathbb {C} ={\mathcal {P}}_{0,+}\subset {\mathcal {P}}_{1,+}\subset {\mathcal {P}}_{2,+}\subset \cdots \subset {\mathcal {P}}_{n,+}\subset \cdots }$

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup }$

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbb {C} \ ={\mathcal {P}}_{0,-}\subset {\mathcal {P}}_{1,-}\subset \cdots \subset {\mathcal {P}}_{n-1,-}\subset \cdots }$

что является полным инвариантом в аменабельном случае. ^[1] Схематическая аксиоматизация стандартного инварианта дается понятием планарной алгебры .

Основные графики [ править ]

Подфактор конечного индекса называется неприводимым, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:${\displaystyle N\subset M}$

• ${\displaystyle L^{2}(M)}$неприводим как бимодуль;${\displaystyle (N,M)}$
• относительная Коммутант есть .${\displaystyle N'\cap M}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

В этом случае определяет бимодуль, а также его сопряженный бимодуль . Относительно тензорное произведение, описаны в Jones (1983) и часто называется Конным слитыми после предварительного определения для общего фона Нейман алгебры Конн , может быть использовано для более чем определить новые бимодули , , и путем разложения следующих тензорные произведений на неприводимые компоненты:${\displaystyle L^{2}(M)}$${\displaystyle (N,M)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (M,N)}$${\displaystyle X^{\star }}$${\displaystyle (N,M)}$${\displaystyle (M,N)}$${\displaystyle (M,M)}$${\displaystyle (N,N)}$

${\displaystyle X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots \boxtimes X,\,\,X^{\star }\boxtimes X\boxtimes \cdots \boxtimes X^{\star },\,\,X^{\star }\boxtimes X\boxtimes \cdots \boxtimes X,\,\,X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots \boxtimes X^{\star }.}$

Возникающие таким образом неприводимые и бимодули образуют вершины главного графа - двудольного графа . Направленные ребра этих графов описывают способ неприводимый бимодуль разлагающийся при тензорен с и справа. Двойной главный граф определяются аналогичным образом с использованием и бимодулями.${\displaystyle (M,M)}$${\displaystyle (M,N)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\star }}$${\displaystyle (N,N)}$${\displaystyle (N,M)}$

Поскольку любой бимодуль соответствует коммутирующим действиям двух факторов, каждый фактор содержится в коммутанте другого и, следовательно, определяет подфактор. Когда бимодуль неприводим, его размерность определяется как квадратный корень из индекса этого подфактора. Размерность аддитивно расширяется до прямых сумм неприводимых бимодулей. Он мультипликативен по отношению к слиянию Конна.

Говорят, что подфактор имеет конечную глубину, если главный граф и двойственный к нему конечны, т. Е. Если только конечное число неприводимых бимодулей встречается в этих разложениях. В этом случае, если и гиперконечны, Сорин Попа показал, что включение изоморфно модели${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N\subset M}$

${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathrm {End} \,X^{\star }\boxtimes X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots )^{\prime \prime }\subset (\mathrm {End} \,X\boxtimes X^{\star }\boxtimes X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots )^{\prime \prime },}$

где множители получены из конструкции GNS по каноническому следу.${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$

Многочлены узлов [ править ]

Алгебра, порожденная элементами с указанными выше соотношениями, называется алгеброй Темперли – Либа . Это фактор групповой алгебры группы кос , поэтому представления алгебры Темперли – Либа дают представления группы кос, которые, в свою очередь, часто дают инварианты для узлов.${\displaystyle e_{n}}$

Ссылки [ править ]

• Джонс, Vaughan FR (1983), "Индекс для подфакторов" , Inventiones Mathematicae , 72 : 1-25, DOI : 10.1007 / BF01389127
• Венцль, Х.Г. (1988), "Алгебры Гекке типа A n и субфакторы" , Инвент. Математика. , 92 (2): 349-383, DOI : 10.1007 / BF01404457 , МР  0696688
• Джонс, Воан FR ; Сандер, Виакалатур Шанкар (1997). Введение в субфакторы . Серия лекций Лондонского математического общества. 234 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.1017 / CBO9780511566219 . ISBN 0-521-58420-5. Руководство по ремонту  1473221 .
• Теория операторных алгебр III М. Такесаки ISBN 3-540-42913-1 
• Вассерманн, Антоний . «Операторы в гильбертовом пространстве» .