Исчисление Шуберта

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , Шуберт исчисление является ветвью алгебраической геометрии , введенной в девятнадцатом веке Герман Шуберт , для решения различных задач подсчета проективной геометрии (часть перечислительной геометрии ). Это был предшественник нескольких более современных теорий, например, характеристических классов., и, в частности, ее алгоритмические аспекты по-прежнему актуальны. Фраза «исчисление Шуберта» иногда используется для обозначения перечислительной геометрии линейных подпространств, примерно эквивалентной описанию кольца когомологий грассманианов, а иногда используется для обозначения более общей перечислительной геометрии нелинейных многообразий. В более общем смысле, «исчисление Шуберта» часто понимают как охватывающее изучение аналогичных вопросов в обобщенных теориях когомологий .

Объекты, введенные Шубертом, - это клетки Шуберта , которые представляют собой локально замкнутые множества в грассманиане, определяемые условиями инцидентности линейного подпространства в проективном пространстве с заданным флагом . Подробнее см. Разнообразие Шуберта .

Теория пересечений этих ячеек, которую можно рассматривать как структуру произведения в кольце когомологий грассманиана ассоциированных классов когомологий , в принципе позволяет предсказывать случаи, когда пересечение ячеек приводит к конечному набору точек, которые потенциально являются конкретные ответы на перечислительные вопросы. Подтверждающим теоретическим результатом является то, что клетки Шуберта (или, скорее, их классы) охватывают все кольцо когомологий.

В подробных расчетах комбинаторные аспекты входят, как только ячейки должны быть проиндексированы. Поднятые с грассманиана , который является однородным пространством , на общую линейную группу, которая действует на нем, аналогичные вопросы включены в разложение Брюа и классификацию параболических подгрупп (по блочной матрице ).

Построение строгой основы системы Шуберта - пятнадцатая проблема Гильберта .

Строительство [ править ]

Шуберта исчисление может быть построено с использованием Chow кольца из грассманиана , где циклы генерации представлены в виде геометрический значимыми данными. ^[1] Обозначим грассманиан -плоскостей в фиксированном -мерном векторном пространстве и его кольцо Чжоу; обратите внимание, что иногда грассманиан обозначается так, как будто векторное пространство явно не задано. Связано с произвольным полным флагом${\ Displaystyle G (к, В)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle А ^ {*} (G (к, V))}$${\ Displaystyle G (к, п)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$

${\ displaystyle 0 \ subset V_ {1} \ subset \ cdots \ subset V_ {n-1} \ subset V_ {n} = V}$

и убывающий набор целых чисел, где${\ displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})}$

${\displaystyle n-k\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0}$

существуют циклы Шуберта (которые называются клетками Шуберта при рассмотрении клеточных гомологий вместо кольца Чжоу), определяемые как${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset G(k,V)}$

${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{\Lambda \in G(k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap \Lambda )\geq i{\text{ for all }}i\geq 1\}}$

Поскольку класс не зависит от флага завершения, его можно записать как${\displaystyle [\Sigma _{\mathbb {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{*}(G(k,V))}$

${\displaystyle \sigma _{\mathbb {a} }:=[\Sigma _{\mathbb {a} }]\in A^{*}(G(k,V))}$

которые называются классами Шуберта . Можно показать, что эти классы порождают кольцо Чоу, и соответствующая теория пересечений называется исчислением Шуберта . Обратите внимание, что для данной последовательности класс Шуберта обычно обозначается как just . Кроме того, классы Шуберта, заданные одним целым числом, называются специальными классами . Используя формулу Джамбели ниже, все классы Шуберта могут быть сгенерированы из этих специальных классов.${\displaystyle \mathbb {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}}$${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}}$${\displaystyle \sigma _{a_{1}}}$

Объяснение определения [ править ]

Поначалу определение выглядит немного неудобным. Учитывая общую плоскость, она будет иметь только нулевое пересечение с for и for . Например, в данной плоскости это вырезано системой пяти линейных уравнений. -Плоскость не гарантируется пересекаться в любом месте, кроме начала координат , так как есть пять свободных параметров она может жить. Кроме того, один раз , то они обязательно пересекаются. Это означает, что ожидаемый размер пересечения и должен иметь размер , пересечение и должен иметь размер и так далее. Эти циклы затем определяют специальные подмногообразия в${\displaystyle k}$${\displaystyle \Lambda \subset V}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle i\leq n-k}$${\displaystyle \dim(V_{n-k+i}\cap \Lambda )=i}$${\displaystyle i>n-k}$${\displaystyle G(4,9)}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle \dim(V_{i})+\dim(\Lambda )>n}$${\displaystyle V_{5}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V_{6}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle G(k,n)}$.

Свойства [ править ]

Включение [ править ]

Есть частичное упорядочение для всех кортежей, где если для каждого . Это дает включение циклов Шуберта${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {a} \geq \mathbb {b} }$${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \Sigma _{\mathbb {a} }\subset \Sigma _{\mathbb {b} }\iff a\geq b}$

рост показателей соответствует еще большей специализации подмногообразий.

Формула коразмерности [ править ]

Цикл Шуберта имеет коразмерность${\displaystyle \Sigma _{\mathbb {a} }}$

${\displaystyle \sum a_{i}}$

которое устойчиво относительно включений грассманианов. То есть включение

${\displaystyle i:G(k,n)\hookrightarrow G(k+1,n+1)}$

заданный добавлением дополнительного базового элемента к каждой -плоскости, давая -плоскость, имеет свойство${\displaystyle e_{n+1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k+1)}$

${\displaystyle i^{*}(\sigma _{\mathbb {a} })=\sigma _{\mathbb {a} }}$

Также включение

${\displaystyle j:G(k,n)\hookrightarrow G(k,n+1)}$

заданный включением плоскости имеет такое же свойство отката.${\displaystyle k}$

Продукт пересечения [ править ]

Произведение пересечения было впервые установлено с использованием формул Пиери и Джамбелли.

Формула Пиери [ править ]

В частном случае существует явная формула произведения с произвольным классом Шуберта, заданная формулой${\displaystyle \mathbb {b} =(b,0,\ldots ,0)}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}}$

${\displaystyle \sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}|c|=|a|+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbb {c} }}$

Примечание . Эта формула называется формулой Пиери и может использоваться для определения произведения пересечений любых двух классов Шуберта в сочетании с формулой Джамбелли. Например${\displaystyle |\mathbb {a} |=a_{1}+\cdots +a_{k}}$

${\displaystyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}}$

и

${\displaystyle \sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}}$

Формула Джамбелли [ править ]

Классы Шуберта с кортежами длины два или более могут быть описаны как детерминированное уравнение, использующее классы только одного кортежа. Формула Джамбелли читается как уравнение

${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}}$

задается определителем a -матрицы. Например,${\displaystyle (k,k)}$

${\displaystyle \sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}}$

и

${\displaystyle \sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}}$

Связь с классами Черна [ править ]

Существует простое описание кольца когомологий, или кольца Чоу, грассманиана с использованием классов Черна двух естественных векторных расслоений над грассманианом . Имеется последовательность векторных расслоений${\displaystyle G(k,n)}$

${\displaystyle 0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0}$

где - тривиальное векторное расслоение ранга , слой over - это подпространство , а - факторное векторное расслоение (которое существует, поскольку ранг постоянен на каждом из слоев). Классы Черна этих двух связанных расслоений равны${\displaystyle {\underline {V}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Lambda \in G(k,n)}$${\displaystyle \Lambda \subset V}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1,\ldots ,1)}}$

где - кортеж и${\displaystyle (1,\ldots ,1)}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle c_{i}(Q)=\sigma _{i}}$

Затем тавтологическая последовательность дает представление о ринге Чау в виде

${\displaystyle A^{*}(G(k,n))={\frac {\mathbb {Z} [c_{1}(T),\ldots ,c_{k}(T),c_{1}(Q),\ldots ,c_{n-k}(Q)]}{(c(T)c(Q)-1)}}}$

G (2,4) [ править ]

Один из классических проанализированных примеров - это грассманиан, поскольку он параметризует линии в . Исчисление Шуберта можно использовать для определения количества линий на кубической поверхности .${\displaystyle G(2,4)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

Чау-ринг [ править ]

У ринга Чау есть презентация

${\displaystyle A^{*}(G(2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}}$

и как градуированная абелева группа дается формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}}$^[2]

Линии на кубической поверхности [ править ]

Это кольцо Чоу можно использовать для вычисления количества линий на кубической поверхности. ^[1] Напомним, что строка в дает подпространство размерности два в , следовательно . Кроме того, уравнение линии может быть задано как сечение . Поскольку кубическая поверхность задается как общий однородный кубический многочлен, она задается как общее сечение . Тогда линия является подмногообразием тогда и только тогда, когда сечение обращается в нуль . Таким образом, класс Эйлера из можно интегрировать по , чтобы получить число точек , в которых общий раздел обращается в нуль на . Чтобы получить класс Эйлера, необходимо вычислить общий класс Черна , который задается как${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)\cong G(2,4)}$${\displaystyle \Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))}$${\displaystyle L\subset \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [L]\in \mathbb {G} (1,3)}$${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$${\displaystyle T^{*}}$

${\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}$

Тогда формула расщепления читается как формальное уравнение

${\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}}}$

где и для формальных линейных пучков . Уравнение расщепления дает соотношения${\displaystyle c({\mathcal {L}})=1+\alpha }$${\displaystyle c({\mathcal {M}})=1+\beta }$${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\alpha +\beta }$и .${\displaystyle \sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta }$

Поскольку может быть прочитана как прямая сумма формальных векторных расслоений${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}}$

чей полный класс Черна

${\displaystyle c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta )}$

следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\end{aligned}}}$

используя факт

${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}}$ и ${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}}$

Тогда интеграл равен

${\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27}$

так как это высший класс. Следовательно, на кубической поверхности есть линии.${\displaystyle \sigma _{2,2}}$${\displaystyle 27}$

См. Также [ править ]

• Перечислительная геометрия
• Кольцо для чау-чау
• Теория пересечения
• Грассманиан
• Формула Джамбелли
• Формула Пиери
• Черн класс
• Квинтик тройной
• Гипотеза зеркальной симметрии

Ссылки [ править ]

• Заметки о летней школе http://homepages.math.uic.edu/~coskun/poland.html
• Филип Гриффитс и Джозеф Харрис (1978), Принципы алгебраической геометрии , глава 1.5
• Клейман, Стивен (1976). «Строгие основы перечислительного исчисления Шуберта». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . XXVIII.2. Американское математическое общество . С. 445–482. ISBN 0-8218-1428-1.
• Стивен Клейман и Дэн Лаксов (1972). «Исчисление Шуберта» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 79 : 1061–1082. DOI : 10.2307 / 2317421 .
• Соттиле, Франк (2001) [1994], "Исчисление Шуберта" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Дэвид Эйзенбуд и Джозеф Харрис (2016), «3264 и все это: второй курс алгебраической геометрии».