Радиус устойчивости

Радиус устойчивости объекта (системы, функции, матрицы, параметра) в заданной номинальной точке - это радиус наибольшего шара с центром в номинальной точке, все элементы которого удовлетворяют заранее заданным условиям устойчивости. Картина этого интуитивного понятия такова:

где обозначает номинальную точку, обозначает пространство всех возможных значений объекта , а заштрихованная область , представляет собой набор точек, удовлетворяющих условиям устойчивости. Радиус синего круга, показанного красным, - это радиус устойчивости.${\ displaystyle {\ hat {p}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle P (s)}$

Абстрактное определение [ править ]

Формальное определение этого понятия варьируется в зависимости от области применения. Следующее абстрактное определение весьма полезно ^{[1] [2]}

${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} ({\ hat {p}}): = \ max \ \ {\ rho \ geq 0: p \ in P (s), \ forall p \ in B (\ rho , {\ hat {p}}) \}}$

где обозначает замкнутый шар радиуса с центром в .${\displaystyle B(\rho ,{\hat {p}})}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\hat {p}}}$

История [ править ]

Похоже, концепция была изобретена в начале 1960-х годов. ^{[3] [4]} В 1980-х годах он стал популярным в теории управления ^[5] и оптимизации. ^[6] Он широко используется в качестве модели локальной устойчивости к небольшим отклонениям от заданной номинальной стоимости интересующего объекта.

Связь с моделью максимина Уолда [ править ]

Было показано ^[2], что модель радиуса устойчивости является примером модели максимина Вальда . Это,

${\displaystyle \max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\hat {p}})\}\equiv \max _{\rho \geq 0}\min _{p\in B(\rho ,{\hat {p}})}f(\rho ,p)}$

где

${\displaystyle f(\rho ,p)=\left\{{\begin{array}{cc}\rho &,\ p\in P(s)\\-\infty &,\ p\notin P(s)\end{array}}\right.}$

Большой штраф ( ) - это средство, заставляющее игрока не нарушать номинальное значение за пределами радиуса устойчивости системы. Это показатель того, что модель устойчивости является моделью локальной стабильности / устойчивости, а не глобальной.${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \max }$

Теория принятия решений по информационным пробелам [ править ]

Теория принятия решений по информационному промежутку - это недавняя теория вероятностных решений. Утверждается, что он радикально отличается от всех современных теорий принятия решений в условиях неопределенности. Но было показано ^[2], что его модель устойчивости, а именно

${\displaystyle {\hat {\alpha }}(q,{\tilde {u}}):=\max \ \{\alpha \geq 0:r_{c}\leq R(q,u),\forall u\in U(\alpha ,{\tilde {u}})\}}$

фактически является моделью радиуса устойчивости, характеризующейся простым требованием устойчивости формы где обозначает рассматриваемое решение, обозначает интересующий параметр, обозначает оценку истинного значения и обозначает шар радиуса с центром в .${\displaystyle r_{c}\leq R(q,u)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U(\alpha ,{\tilde {u}})}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\tilde {u}}}$

Поскольку модели радиуса устойчивости предназначены для работы с небольшими отклонениями номинального значения параметра, модель устойчивости информационного зазора измеряет локальную устойчивость решений в окрестности оценки .${\displaystyle {\tilde {u}}}$

Сниедович ^[2] утверждает, что по этой причине теория непригодна для обработки серьезной неопределенности, характеризующейся плохой оценкой и обширным пространством неопределенностей.

Альтернативное определение [ править ]

Бывают случаи, когда удобнее определять радиус устойчивости несколько иначе. Например, во многих приложениях в теории управления радиус устойчивости определяется как величина наименьшего дестабилизирующего возмущения номинального значения интересующего параметра. ^[7] Картина такая:

Более формально

${\displaystyle {\hat {\rho }}(q):=\min _{p\notin P(s)}dist(p,{\hat {p}})}$

где обозначает расстояние от от .${\displaystyle dist(p,{\hat {p}})}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle {\hat {p}}}$

Радиус устойчивости функций [ править ]

Радиус устойчивости из непрерывной функции F (в функциональном пространстве F ) по отношению к открытой области устойчивости D является расстоянием между F и множеством неустойчивых функций (по отношению к D ). Будем говорить , что функция устойчива по отношению к D , если его спектр в D . Здесь понятие спектра определяется в каждом конкретном случае, как объясняется ниже.

Определение [ править ]

Формально, если обозначить множество устойчивых функций через S (D), а радиус устойчивости через r (f, D) , то:

${\displaystyle r(f,D)=\inf _{g\in C}\{\|g\|:f+g\notin S(D)\},}$

где С представляет собой подмножество F .

Обратите внимание, что если f уже нестабильно (относительно D ), то r (f, D) = 0 (пока C содержит ноль).

Приложения [ править ]

Понятие радиуса устойчивости обычно применяется к таким специальным функциям, как полиномы (тогда спектр - это корни) и матрицы (спектр - это собственные значения ). Случай, когда C - собственное подмножество F, позволяет нам рассматривать структурированные возмущения (например, для матрицы нам могут понадобиться возмущения только в последней строке). Это интересный показатель устойчивости, например, в теории управления .

Свойства [ править ]

Пусть f - ( комплексный ) многочлен степени n , C = F - множество многочленов степени меньше (или равной) n (которую мы здесь отождествляем с набором коэффициентов). Мы берем в качестве D открытый единичный круг , что означает, что мы ищем расстояние между многочленом и набором стабильных многочленов Шура . Потом:${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$

${\displaystyle r(f,D)=\inf _{z\in \partial D}{\frac {|f(z)|}{\|q(z)\|}},}$

где q содержит каждый базисный вектор (например, когда q - обычный степенной базис). Этот результат означает, что радиус устойчивости ограничен минимальным значением, которого f достигает на единичной окружности.${\displaystyle q(z)=(1,z,\ldots ,z^{n})}$

Примеры [ править ]

• Многочлен (нули которого являются корнями 8-й степени из 0,9 ) имеет радиус устойчивости 1/80, если q - степенной базис, а норма - бесконечная норма. Таким образом, должен существовать многочлен g с (бесконечной) нормой 1/90, такой, что f + g имеет (по крайней мере) корень на единичной окружности. Такой g есть например . В самом деле, (f + g) (1) = 0 и 1 находится на единичной окружности, что означает, что f + g неустойчиво.${\displaystyle f(z)=z^{8}-9/10}$${\displaystyle g(z)=-1/90\sum _{i=0}^{8}z^{i}}$

См. Также [ править ]

• стабильный многочлен
• Модель максимина Вальда

Ссылки [ править ]