Теория возмущений

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Теория возмущений» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( февраль 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

Дифференциальные уравнения

Объем

Естественные науки Инженерное дело
Астрономия Физика Химия Биология Геология
Прикладная математика
Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы
Социальные науки
Экономика Динамика населения

Классификация

Типы

По типу переменной
Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный
Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный / неоднородный
Функции
Заказ Оператор Обозначение

Решение

Методы решения

Осмотр
Метод характеристик
Эйлер
Формула экспоненциального отклика
Конечная разность ( Кривошип – Николсон )
Заключительный элемент
- Бесконечный элемент
Конечный объем
Галеркин
- Петров – Галеркин
Интегрирующий фактор
Интегральные преобразования
Теория возмущений
Рунге-Кутта

Разделение переменных
Неопределенные коэффициенты
Вариация параметров

В математике и физике , теория возмущений содержит математические методы для нахождения приближенного решения для задачи, исходя из точного решения связанной с ним, более простой задачей. Важной особенностью метода является промежуточный этап, который разбивает проблему на «решаемую» и «пертурбативную» части. ^[1] Теория возмущений широко используется, когда рассматриваемая задача не имеет известного точного решения, но может быть выражена как «небольшое» изменение известной решаемой проблемы. Теория возмущений используется в широком диапазоне областей и достигает своих наиболее сложных и продвинутых форм в квантовой теории поля. Теория возмущений для квантовой механикисообщает первый шаг на этом пути. Эта область в целом остается активно и интенсивно исследуемой во многих дисциплинах.

Терминология [ править ]

Теория возмущений разрабатывает выражение для искомого решения в терминах формального степенного ряда по некоторому «малому» параметру - известному как ряд возмущений - который количественно определяет отклонение от точно решаемой задачи. Главный член в этом степенном ряду - это решение точно решаемой задачи, а дополнительные члены описывают отклонение решения из-за отклонения от исходной задачи. Формально у нас есть для приближения к полному решению $A$ ряд по малому параметру (здесь называется $ε$ ), например следующий:

{\ displaystyle A = A_ {0} + \ varepsilon ^ {1} A_ {1} + \ varepsilon ^ {2} A_ {2} + \ cdots}

В этом примере $A 0$ будет известным решением точно решаемой начальной задачи, а $A 1, A 2, ...$ представляют члены первого , второго и более высокого порядка , которые могут быть найдены итеративно с помощью механического процедура. При малых $ε$ эти члены высшего порядка в ряду обычно (но не всегда!) Становятся все меньше и меньше.

Приближенное «пертурбативное решение» получается путем усечения ряда, часто с сохранением только первых нескольких членов и выражением окончательного решения как суммы начального (точного) решения и пертурбативной поправки «первого порядка».

{\ Displaystyle A \ приблизительно A_ {0} + \ varepsilon A_ {1} ~.}

Прототипный пример [ править ]

Самое раннее использование того, что сейчас называется теорией возмущений, заключалось в решении неразрешимых в противном случае математических проблем небесной механики : например, орбита Луны , которая движется заметно иначе, чем простой кеплеровский эллипс из-за конкурирующей гравитации Земли и Солнце . ^[2]

Методы возмущений начинаются с упрощенной формы исходной задачи, которая достаточно проста для точного решения. В небесной механике это обычно кеплеровский эллипс . В соответствии с ньютоновской гравитацией эллипс является абсолютно правильным, когда есть только два гравитирующих тела (скажем, Земля и Луна ), но не совсем правильным, когда есть три или более объекта (скажем, Земля, Луна , Солнце и остальные солнечная система ) и не совсем правильно , когда гравитационное взаимодействие указано с помощью формулировки из общей теории относительности .

Пертурбативное расширение [ править ]

Имея в виду приведенный выше пример, можно использовать общий рецепт для получения ряда возмущений. Пертурбативное разложение создается путем добавления последовательных поправок к упрощенной задаче. Поправки получены путем обеспечения согласованности между невозмущенным решением и уравнениями, полностью описывающими систему. Напишите для этого набора уравнений; то есть пусть символ будет заменять проблему, которую нужно решить. Нередко это дифференциальные уравнения, отсюда и буква «Д». ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle D}$

Процесс обычно механический, хотя и трудоемкий. Каждый начинает с написания уравнений так, чтобы они разделялись на две части: некоторый набор уравнений, которые можно решить точно, и некоторая дополнительная оставшаяся часть для некоторой небольшой . Решение (для ) известно, и нужно искать общее решение . ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle D_ {0}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon D_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon \ ll 1}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ ${\ displaystyle D_ {0}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle D = D_ {0} + \ varepsilon D_ {1}}$

Каждый действует путем «поворота рукоятки» или «затыкания и пыхтения»: вставьте приближение в . Это приводит к уравнению для , которое в общем случае может быть записано в замкнутой форме как сумма по интегралам по . Таким образом, получена коррекция первого порядка и, следовательно , это хорошее приближение к . Это хорошее приближение именно потому, что игнорируемые части имели размер . Затем процесс можно повторить, чтобы получить исправления и так далее. ${\ Displaystyle A \ приблизительно A_ {0} + \ varepsilon A_ {1}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon D_ {1}}$ $A_{1}$ $A_{0}$ $A_{1}$ $A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}$ $A$ $\varepsilon ^{2}$ $A_{2}$

На практике этот процесс быстро превращается в изобилие терминов, с которыми становится чрезвычайно трудно справиться вручную. Исаак Ньютон , как сообщается, сказал, что касается задачи о Луне орбиты «s, что „Он возводит мою голову к боли.“ ^[3] Эта неуправляемость вынудила теорию возмущений развиться в высокое искусство управления и записи этих членов более высокого порядка. Одним из фундаментальных достижений в области управления расширением являются диаграммы Фейнмана , которые позволяют схематически записывать ряды возмущений.

Примеры [ править ]

Теория возмущений использовалась в большом количестве различных ситуаций в физике и прикладной математике. Примеры «набора уравнений» включают алгебраические уравнения , ^[4] дифференциальные уравнения (например, уравнения движения ^[5] и обычно волновые уравнения ), термодинамическую свободную энергию в статистической механике , перенос излучения ^[6] и гамильтоновы операторы в квантовая механика . $D$

Примеры видов решений, которые обнаруживаются пертурбативно, включают решение уравнения ( например , траекторию частицы), статистическое среднее некоторой физической величины ( например , средней намагниченности), энергию основного состояния квантовой механики.

Примеры точно решаемых задач, которые можно использовать в качестве отправных точек, включают линейные уравнения , включая линейные уравнения движения ( гармонический осциллятор , линейное волновое уравнение ), статистические или квантово-механические системы невзаимодействующих частиц (или, в общем, гамильтонианы или свободные энергии содержащие только члены, квадратичные по всем степеням свободы).

Примеры систем, которые могут быть решены с помощью возмущений, включают системы с нелинейными вкладами в уравнения движения, взаимодействия между частицами, члены более высоких степеней в гамильтониане / свободной энергии.

Для физических задач, связанных с взаимодействием между частицами, члены ряда возмущений могут отображаться (и управляться) с помощью диаграмм Фейнмана .

История [ править ]

Теория возмущений была впервые разработана для решения трудноразрешимых проблем при вычислении движения планет Солнечной системы. Например, закон всемирного тяготения Ньютона объясняет гравитацию между двумя астрономическими телами, но когда добавляется третье тело, проблема заключалась в следующем: «Как каждое тело притягивает каждое?» Уравнение Ньютона позволяло анализировать массу только двух тел. Постепенно повышающаяся точность астрономических наблюдений привела к возрастающим требованиям к точности решений уравнений гравитации Ньютона, что привело к появлению нескольких известных математиков 18 и 19 веков, таких как Лагранж и Лаплас., чтобы расширить и обобщить методы теории возмущений.

Эти хорошо разработанные методы возмущений были приняты и адаптированы для решения новых проблем, возникающих в ходе развития квантовой механики в атомной и субатомной физике 20 века. Поль Дирак разработал квантовую теорию возмущений в 1927 году, чтобы оценить, когда частица будет испускаться в радиоактивных элементах. Позже это было названо золотым правилом Ферми . ^[7]^[8] Теория возмущений в квантовой механике довольно доступна, так как квантовая система обозначений позволяет записывать выражения в довольно компактной форме, что облегчает их понимание. В результате появилось множество приложений, от эффекта Зеемана до сверхтонкого расщепления ватом водорода .

Несмотря на более простые обозначения, теория возмущений в применении к квантовой теории поля все еще легко выходит из-под контроля. Ричард Фейнман разработал знаменитые диаграммы Фейнмананаблюдая, что многие термины повторяются регулярно. Эти термины могут быть заменены точками, линиями, волнистыми линиями и подобными знаками, каждый из которых обозначает член, знаменатель, интеграл и так далее; таким образом, сложные интегралы могут быть записаны в виде простых диаграмм, без какой-либо двусмысленности в том, что они означают. Однозначное соответствие между диаграммами и конкретными интегралами - вот что придает им силу. Хотя первоначально диаграмма была разработана для квантовой теории поля, оказывается, что диаграммная техника широко применима ко всем пертурбативным рядам (хотя, возможно, не всегда так полезна).

Во второй половине 20-го века, по мере развития теории хаоса , стало ясно, что невозмущенные системы в целом являются полностью интегрируемыми системами , а возмущенные системы - нет. Это быстро привело к изучению «почти интегрируемых систем», каноническим примером которых является тор КАМ . В то же время было также обнаружено, что многие (довольно специальные) нелинейные системы , которые ранее были доступны только с помощью теории возмущений, фактически полностью интегрируемы. Это открытие было весьма драматичным, поскольку позволило дать точные решения. Это, в свою очередь, помогло прояснить смысл пертурбативного ряда, поскольку теперь можно было сравнивать результаты ряда с точными решениями.

Улучшение понимания динамических систем, пришедшее из теории хаоса, помогло пролить свет на то, что было названо проблемой малого знаменателя или проблемой малого делителя . В XIX веке было замечено ( Пуанкаре и, возможно, ранее), что иногда члены 2-го и более высокого порядка в пертурбативном ряду имеют «малые знаменатели». То есть они имеют общую форму где , и - некоторые сложные выражения, относящиеся к решаемой проблеме, и - действительные числа; очень часто они являются энергией в нормальных режимах . Проблема малого делителя возникает, когда разность $\psi _{n}V\phi _{m}/(\omega _{n}-\omega _{m})$ $\psi _{n}$ $V$ $\phi _{m}$ $\omega _{n}$ $\omega _{m}$ $\omega _{n}-\omega _{m}$ мала, в результате чего пертурбативная поправка резко возрастает, становясь такой же или, возможно, большей, чем член нулевого порядка. Эта ситуация сигнализирует о крахе теории возмущений: она перестает работать на этом этапе и не может быть расширена или суммирована дальше. Формально пертурбативный ряд представляет собой асимптотический ряд : полезное приближение для нескольких членов, но в конечном итоге неточное. Прорыв в теории хаоса был объяснением того, почему это произошло: малые делители возникают всякий раз, когда теория возмущений применяется к хаотической системе. Один сигнализирует о присутствии другого.

Начало изучения движения планет [ править ]

Поскольку планеты очень удалены друг от друга, и поскольку их масса мала по сравнению с массой Солнца, гравитационными силами между планетами можно пренебречь, и движение планет в первом приближении считается происходящим по орбитам Кеплера, которые определяются уравнениями задачи двух тел, причем два тела - это планета и Солнце. ^[9]

Поскольку астрономические данные стали известны с гораздо большей точностью, возникла необходимость рассмотреть, как движение одной планеты вокруг Солнца зависит от других планет. Отсюда возникла проблема трех тел ; Таким образом, при изучении системы Луна – Земля – Солнце в качестве малого параметра было выбрано отношение масс Луны и Земли. Лагранж и Лаплас были первыми, кто выдвинул точку зрения, согласно которой константы, описывающие движение планеты вокруг Солнца, как бы "возмущаются" движением других планет и изменяются как функция времени; отсюда и название «теория возмущений». ^[9]

Теория возмущений была исследована классиками - Лапласом , Пуассоном , Гауссом , в результате чего вычисления могли быть выполнены с очень высокой точностью. Открытие планеты Нептун в 1848 году Урбеном Леверье , основанное на отклонениях в движении планеты Уран (он отправил координаты Иоганну Готфриду Галле, который успешно наблюдал Нептун в свой телескоп), стало триумфом теории возмущений. ^[9]

Порядок возмущения [ править ]

Стандартное изложение теории возмущений дается в терминах порядка, в котором выполняется возмущение: теория возмущений первого порядка или теория возмущений второго порядка, а также то, являются ли возмущенные состояния вырожденными, что требует сингулярного возмущения . В единственном случае следует проявлять особую осторожность, и теория становится немного более сложной.

По химии [ править ]

Многие методы квантовой химии ab initio используют теорию возмущений напрямую или являются тесно связанными с ними методами. Неявная теория возмущений ^[10] работает с полным гамильтонианом с самого начала и никогда не определяет оператор возмущения как таковой. В теории возмущений Меллера – Плессета в качестве возмущения используется разница между гамильтонианом Хартри – Фока и точным нерелятивистским гамильтонианом. Энергия нулевого порядка - это сумма орбитальных энергий. Энергия первого порядка - это энергия Хартри – Фока, и электронная корреляция включается во втором порядке или выше. Расчеты второго, третьего или четвертого порядка очень распространены, и код включен в большинство программ квантовой химии ab initio.. Связанный, но более точный метод - метод связанных кластеров .

См. Также [ править ]

Космологическая теория возмущений
Деформация (математика)
Динамическая ядерная поляризация
Возмущение собственных значений
Метод гомотопических возмущений
Интервальный МКЭ
Ляпуновская устойчивость
Порядок приближения
Теория возмущений (квантовая механика)
Структурная устойчивость

Ссылки [ править ]

^ Уильям Э. Визель (2010). Современная астродинамика . Огайо: Aphelion Press. п. 107. ISBN 978-145378-1470.
^ Мартин К. Гуцвиллер, «Луна-Земля-Солнце: старейшая проблема трех тел», Rev. Mod. Phys. 70, 589 - Опубликовано 1 апреля 1998 г.
^ Кроппер, Уильям Х. (2004), Великие физики: жизнь и времена ведущих физиков от Галилея до Хокинга , Oxford University Press , стр. 34, ISBN 978-0-19-517324-6.
^ Л. А. Ромеро, "Теория возмущений для многочленов", Конспект лекций, Университет Нью-Мексико (2013)
^ Сергей Виницкий, "Теория возмущений для ангармонических колебаний", Конспект лекций, LMU (2006)
^ Майкл А. Бокс, "Теория радиационных возмущений: обзор", Environmental Modeling & Software 17 (2002) 95–106
^ Брансден, BH; Иоахайн, CJ (1999). Квантовая механика (2-е изд.). п. 443. ISBN 978-0582356917.
Перейти ↑ Dirac, PAM (1 марта 1927). «Квантовая теория излучения и поглощения излучения» . Труды Королевского общества А . 114 (767): 243–265. Bibcode : 1927RSPSA.114..243D . DOI : 10.1098 / RSPA.1927.0039 . JSTOR 94746 . См. Уравнения (24) и (32).
^ a b c Теория возмущений. Н.Н. Боголюбов-мл. (составитель), Энциклопедия математики. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Perturbation_theory&oldid=11676
^ Король, Матча (1976). «Теория химической связи». JACS . 98 (12): 3415–3420. DOI : 10.1021 / ja00428a004 .

Внешние ссылки [ править ]

ван ден Эйнден, Эрик . «Введение в регулярную теорию возмущений» (PDF) .

«Метод возмущений нескольких масштабов» .

Альтернативный подход к квантовой теории возмущений Martínez-Carranza, J .; Сото-Эгибар, Ф .; Моя-Сесса, Х. (2012). «Альтернативный анализ теории возмущений в квантовой механике». Европейский физический журнал D . 66 : 22. arXiv : 1110.0723 . Bibcode : 2012EPJD ... 66 ... 22M . DOI : 10.1140 / epjd / e2011-20654-5 . S2CID 117362666 .

[General_Perturbations-1] Уильям Э. Визель (2010). Современная астродинамика . Огайо: Aphelion Press. п. 107. ISBN 978-145378-1470.

[2] Мартин К. Гуцвиллер, «Луна-Земля-Солнце: старейшая проблема трех тел», Rev. Mod. Phys. 70, 589 - Опубликовано 1 апреля 1998 г.

[3] Кроппер, Уильям Х. (2004), Великие физики: жизнь и времена ведущих физиков от Галилея до Хокинга , Oxford University Press , стр. 34, ISBN 978-0-19-517324-6.

[4] Л. А. Ромеро, "Теория возмущений для многочленов", Конспект лекций, Университет Нью-Мексико (2013)

[5] Сергей Виницкий, "Теория возмущений для ангармонических колебаний", Конспект лекций, LMU (2006)

[6] Майкл А. Бокс, "Теория радиационных возмущений: обзор", Environmental Modeling & Software 17 (2002) 95–106

[7] Брансден, BH; Иоахайн, CJ (1999). Квантовая механика (2-е изд.). п. 443. ISBN 978-0582356917.

[8] Перейти ↑ Dirac, PAM (1 марта 1927). «Квантовая теория излучения и поглощения излучения» . Труды Королевского общества А . 114 (767): 243–265. Bibcode : 1927RSPSA.114..243D . DOI : 10.1098 / RSPA.1927.0039 . JSTOR 94746 . См. Уравнения (24) и (32).

[EoM-9] Теория возмущений. Н.Н. Боголюбов-мл. (составитель), Энциклопедия математики. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Perturbation_theory&oldid=11676

[10] Король, Матча (1976). «Теория химической связи». JACS . 98 (12): 3415–3420. DOI : 10.1021 / ja00428a004 .