Характеристическое уравнение (исчисление)

В математике , то характеристическое уравнение (или вспомогательное уравнение ^[1] ) является алгебраическим уравнением степени $п$ от которой зависит решение данного $п$ th- порядок дифференциального уравнения ^[2] или разностное уравнение . ^[3]^[4] Характеристическое уравнение может быть сформировано только в том случае, если дифференциальное или разностное уравнение является линейным и однородным с постоянными коэффициентами . ^[1] Такое дифференциальное уравнение с $y$ в качествезависимая переменная , верхний индекс $(n),$ обозначающий n- ^{ю производную} , и $a n, a n - 1, ..., a 1, a 0$ как константы ,

{\ displaystyle a_ {n} y ^ {(n)} + a_ {n-1} y ^ {(n-1)} + \ cdots + a_ {1} y '+ a_ {0} y = 0,}

будет иметь характеристическое уравнение вида

{\ displaystyle a_ {n} r ^ {n} + a_ {n-1} r ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} r + a_ {0} = 0}

решения которого $r 1, r 2, ..., r n$ являются корнями, из которых может быть сформировано общее решение . ^[1]^[5]^[6] Аналогично линейное разностное уравнение вида

{\ displaystyle y_ {t + n} = b_ {1} y_ {t + n-1} + \ cdots + b_ {n} y_ {t}}

имеет характеристическое уравнение

{\ displaystyle r ^ {n} -b_ {1} r ^ {n-1} - \ cdots -b_ {n} = 0,}

более подробно обсуждается в разделе Линейное разностное уравнение # Решение однородного случая .

Характеристические корни (корни характеристического уравнения) также предоставляют качественную информацию о поведении переменной, эволюция которой описывается динамическим уравнением. Для дифференциального уравнения, параметризованного по времени, эволюция переменной стабильна тогда и только тогда, когда действительная часть каждого корня отрицательна. Для разностных уравнений существует стабильность тогда и только тогда, когда модуль ( абсолютное значение ) каждого корня меньше 1. Для обоих типов уравнений постоянные флуктуации возникают, если имеется хотя бы одна пара комплексных корней.

Метод интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами был открыт Леонардом Эйлером , который обнаружил, что решения зависят от алгебраического «характеристического» уравнения. ^[2] Свойства характеристического уравнения Эйлера были позже более подробно рассмотрены французскими математиками Огюстен-Луи Коши и Гаспаром Монжем . ^[2]^[6]

Вывод [ править ]

Начиная с линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами $a n, a n - 1, ..., a 1, a 0$ ,

{\ displaystyle a_ {n} y ^ {(n)} + a_ {n-1} y ^ {(n-1)} + \ cdots + a_ {1} y ^ {\ prime} + a_ {0} y = 0}

можно видеть, что если $y (x) = e rx$ , каждый член будет постоянным кратным $e rx$ . Это связано с тем, что производная экспоненциальной функции $e rx$ кратна самой себе. Следовательно, $y'= re rx$ , $y ″ = r 2 e rx$ и $y (n) = r n e rx$ все кратны. Это говорит о том, что при определенных значениях $r$ допускаются значения, кратные $e rx.$ суммировать до нуля, тем самым решая однородное дифференциальное уравнение. ^[5] Чтобы найти $r$ , можно подставить $y = e rx$ и его производные в дифференциальное уравнение, чтобы получить

{\ displaystyle a_ {n} r ^ {n} e ^ {rx} + a_ {n-1} r ^ {n-1} e ^ {rx} + \ cdots + a_ {1} re ^ {rx} + а_ {0} е ^ {rx} = 0}

Поскольку $e rx$ никогда не может быть равным нулю, его можно разделить, дав характеристическое уравнение

{\ displaystyle a_ {n} r ^ {n} + a_ {n-1} r ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} r + a_ {0} = 0}

Решая для корней $r$ в этом характеристическом уравнении, можно найти общее решение дифференциального уравнения. ^[1]^[6] Например, если $г$ имеет корни равно {3, 11, 40}, то общее решение будет , где , и являются произвольными постоянными , которые должны быть определены граничными и / или начальными условиями . ${\ displaystyle y (x) = c_ {1} e ^ {3x} + c_ {2} e ^ {11x} + c_ {3} e ^ {40x}}$ ${\ displaystyle c_ {1}}$ ${\ displaystyle c_ {2}}$ ${\ displaystyle c_ {3}}$

Формирование общего решения [ править ]

Решение характеристического уравнения для его корней, $r 1, ..., r n$ , позволяет найти общее решение дифференциального уравнения. Корни могут быть действительными или сложными , а также отдельными или повторяющимися. Если характеристическое уравнение имеет части с различными действительными корнями, $h$ повторяющихся корней или $k$ комплексных корней, соответствующих общим решениям $y D (x)$ , $y R 1 (x), ..., y R h (x)$ и $y C 1 (x), ..., y C k (x)$ соответственно, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)

Пример [ править ]

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0

имеет характеристическое уравнение

r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0

По факторинговых характеристическое уравнение в

(r-3)\left(r^{2}+2r+2\right)^{2}=0

можно видеть , что решения для $г$ являются отчетливым единственным корнем $г 1 = 3$ , а двойные комплексные корни $г 2,3,4,5 = 1 \pm я$ . Это соответствует действительнозначному общему решению

y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)

с константами $c 1, ..., c 5$ .

Отчетливые настоящие корни [ править ]

Принцип суперпозиции для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами гласит, что если $u 1, ..., u n$ являются $n$ линейно независимыми решениями определенного дифференциального уравнения, то $c 1 u 1 + \dots + c n u n$ также является решением для всех значений $c 1, ..., c n$ . ^[1]^[7] Следовательно, если характеристическое уравнение имеет различные вещественные корни $r 1, ..., r n$ , то общее решение будет иметь вид

y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}

Повторяющиеся настоящие корни [ править ]

Если характеристическое уравнение имеет корень $r 1,$ который повторяется $k$ раз, то ясно, что $y p (x) = c 1 e r 1 x$ является по крайней мере одним решением. ^[1] Однако в этом решении отсутствуют линейно независимые решения от других $k - 1$ корней. Поскольку $r 1$ имеет кратность $k$ , дифференциальное уравнение можно разложить на ^[1]

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0.

Тот факт, что $y p (x) = c 1 e r 1 x$ является одним решением, позволяет предположить, что общее решение может иметь вид $y (x) = u (x) e r 1 x$ , где $u (x)$ - функция, которую предстоит определить. Подстановка $ue r 1 x$ дает

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}

когда $k = 1$ . Применяя этот факт $k$ раз, получаем, что

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0

Разделив $e r 1 x$ , можно увидеть, что

{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0

Следовательно, общий случай для $u (x)$ является многочленом степени $k -1$ , так что $u (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + \dots + c k x k - 1$ . ^[6] Поскольку $y (x) = ue r 1 x$ , часть общего решения, соответствующая $r 1,$ равна

y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right)

Сложные корни [ править ]

Если дифференциальное уравнение второго порядка имеет характеристическое уравнение с комплексно сопряженными корнями вида $r 1 = a + bi$ и $r 2 = a - bi$ , то общее решение, соответственно, $y (x) = c 1 e (a + bi) х + с 2 е (а - би) х$ . По формуле Эйлера , которая гласит, что $e iθ = cos θ + i sin θ$ , это решение можно переписать следующим образом:

{\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}

где $c 1$ и $c 2$ - константы, которые могут быть нереальными и зависят от начальных условий. ^[6] (Действительно, поскольку $y (x)$ вещественно, $c 1 - c 2$ должно быть мнимым или нулевым, а $c 1 + c 2$ должно быть вещественным, чтобы оба члена после последнего знака равенства были действительными.)

Например, если $c 1 = c 2 = 1 / 2$ , то формируется частное решение $y 1 (x) = e ax cos bx$ . Аналогично, если $c 1 = 1 / 2 я$ и $c 2 = - 1 / 2 я$ , то формируется независимое решение $y 2 (x) = e ax sin bx$ . Таким образом, по принципу суперпозиции для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее комплексные корни $r = a \pm bi,$ приведет к следующему общему решению:

y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}\left(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx\right)

Этот анализ также применяется к частям решений дифференциального уравнения высшего порядка, характеристическое уравнение которого включает невещественные комплексно сопряженные корни.

См. Также [ править ]

Характеристический полином

Ссылки [ править ]

^ Б с д е е г Edwards, C. Генри; Пенни, Дэвид Э. «Глава 3». Дифференциальные уравнения: вычисления и моделирование . Дэвид Калвис. Река Аппер Сэдл , Нью-Джерси : Образование Пирсона. С. 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7.
^ a b c Смит, Дэвид Юджин. «История современной математики: дифференциальные уравнения» . Университет Южной Флориды .
^ Баумоль, Уильям Дж. (1970). Экономическая динамика (3-е изд.). п. 172 .
Перейти ↑ Chiang, Alpha (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). С. 578 , 600.
^ а б Чу, Герман; Шах, Гаурав; Macall, Том. «Линейные однородные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами» . eFunda . Проверено 1 марта 2011 года .
^ a b c d e Коэн, Авраам (1906). Элементарный трактат о дифференциальных уравнениях . Округ Колумбия Хит и компания .
^ Докинз, Пол. «Терминология дифференциальных уравнений» . Онлайн-математические заметки Пола . Проверено 2 марта 2011 года .

[edwards-1] Б с д е е г Edwards, C. Генри; Пенни, Дэвид Э. «Глава 3». Дифференциальные уравнения: вычисления и моделирование . Дэвид Калвис. Река Аппер Сэдл , Нью-Джерси : Образование Пирсона. С. 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7.

[smith-2] Смит, Дэвид Юджин. «История современной математики: дифференциальные уравнения» . Университет Южной Флориды .

[3] Баумоль, Уильям Дж. (1970). Экономическая динамика (3-е изд.). п. 172 .

[4] Перейти ↑ Chiang, Alpha (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). С. 578 , 600.

[eFunda-5] а б Чу, Герман; Шах, Гаурав; Macall, Том. «Линейные однородные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами» . eFunda . Проверено 1 марта 2011 года .

[cohen-6] Коэн, Авраам (1906). Элементарный трактат о дифференциальных уравнениях . Округ Колумбия Хит и компания .

[dawkins-7] Докинз, Пол. «Терминология дифференциальных уравнений» . Онлайн-математические заметки Пола . Проверено 2 марта 2011 года .

[1]