Рациональная функция

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , A рациональная функции является любой функцией , которая может быть определена с помощью рациональной дроби , которая является алгебраической фракцией , такой , что как числитель и знаменатель полиномы . В коэффициенты полиномов не должны быть рациональными числами ; они могут быть приняты в любом поле К . В этом случае говорят о рациональной функции и рациональной дроби над К . Значения переменных могут быть приняты в любом поле L , содержащего K . Тогда доменфункции является множество значений переменных , для которых знаменатель не равен нулю , а кообласть является л .

Множество рациональных функций над полем K является полем, то поле дробей в кольце из полиномиальных функций над K .

Определения [ править ]

Функция называется рациональной тогда и только тогда, когда ее можно записать в виде${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

где и являются полиномиальными функциями от и не нулевой функции . Домен в это совокупность всех значений , для которых знаменатель не равен нулю.${\displaystyle P\,}$${\displaystyle Q\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle Q\,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle Q(x)\,}$

Однако, если и имеют непостоянный полиномиальный наибольший общий делитель , то установка и производит рациональную функцию${\displaystyle \textstyle P}$${\displaystyle \textstyle Q}$ ${\displaystyle \textstyle R}$${\displaystyle \textstyle P=P_{1}R}$${\displaystyle \textstyle Q=Q_{1}R}$

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},}$

который может иметь большую область, чем , и равен в области. Это обычное использование для идентификации и , то есть для расширения "по непрерывности" области до области Действительно, можно определить рациональную дробь как эквивалентность класс дробей многочленов, где две дроби и считаются эквивалентными, если . В этом случае эквивалентно .${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f_{1}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f_{1}(x).}$${\displaystyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}$${\displaystyle {\frac {C(x)}{D(x)}}}$${\displaystyle A(x)D(x)=B(x)C(x)}$${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$${\displaystyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}}$

Правильная рациональная функция является рациональной функцией , в которой степень из не больше , чем степень и оба вещественные многочлены . ^[1]${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle Q(x)}$

Степень [ править ]

Существует несколько неэквивалентных определений степени рациональной функции.

Чаще всего степень рациональной функции является максимальной из степеней составляющих ее многочленов P и Q , когда дробь сокращается до наименьших членов . Если степень f равна d , то уравнение

${\displaystyle f(z)=w\,}$

имеет d различных решений по z, за исключением определенных значений w , называемых критическими значениями , когда два или более решений совпадают или когда какое-то решение отклоняется на бесконечности (то есть, когда степень уравнения уменьшается после очистки знаменателя ).

В случае комплексных коэффициентов рациональная функция со степенью один является преобразованием Мёбиуса .

Степень графика рациональной функции не степени , как определено выше: это максимум степени числителя и один плюс степень знаменателя.

В некоторых контекстах, например в асимптотическом анализе , степень рациональной функции - это разница между степенями числителя и знаменателя.

В сетевом синтезе и сетевом анализе рациональную функцию второй степени (то есть отношение двух многочленов степени не выше двух) часто называют биквадратичной функцией . ^[2]

Примеры [ править ]

Примеры рациональных функций

Рациональная функция степени 2, с графиком степени 3:${\displaystyle y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}}$

Рациональная функция

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

не определен в

${\displaystyle x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.}$

Асимптотика при${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$${\displaystyle x\to \infty .}$

Рациональная функция

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

is defined for all real numbers, but not for all complex numbers, since if x were a square root of ${\displaystyle -1}$ (i.e. the imaginary unit or its negative), then formal evaluation would lead to division by zero:

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},}$

which is undefined.

A constant function such as f(x) = π is a rational function since constants are polynomials. The function itself is rational, even though the value of f(x) is irrational for all x.

Каждая полиномиальная функция является рациональной функцией с функцией, которая не может быть записана в этой форме, например, не является рациональной функцией. Прилагательное «иррациональное» обычно не используется для обозначения функций.${\displaystyle f(x)=P(x)}$${\displaystyle Q(x)=1.}$${\displaystyle f(x)=\sin(x),}$

Рациональная функция равна 1 для всех x, кроме 0, где есть устранимая особенность . Сумма, произведение или частное (за исключением деления на нулевой многочлен) двух рациональных функций сами по себе являются рациональной функцией. Однако процесс приведения к стандартной форме может непреднамеренно привести к удалению таких особенностей, если не будут приняты меры. Использование определения рациональных функций как классов эквивалентности позволяет обойти это, поскольку x / x эквивалентно 1/1.${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{x}}}$

Taylor series[edit]

The coefficients of a Taylor series of any rational function satisfy a linear recurrence relation, which can be found by equating the rational function to a Taylor series with indeterminate coefficients, and collecting like terms after clearing the denominator.

For example,

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Multiplying through by the denominator and distributing,

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

After adjusting the indices of the sums to get the same powers of x, we get

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Combining like terms gives

${\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.}$

Since this holds true for all x in the radius of convergence of the original Taylor series, we can compute as follows. Since the constant term on the left must equal the constant term on the right it follows that

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}$

Then, since there are no powers of x on the left, all of the coefficients on the right must be zero, from which it follows that

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.}$

Conversely, any sequence that satisfies a linear recurrence determines a rational function when used as the coefficients of a Taylor series. This is useful in solving such recurrences, since by using partial fraction decomposition we can write any proper rational function as a sum of factors of the form 1 / (ax + b) and expand these as geometric series, giving an explicit formula for the Taylor coefficients; this is the method of generating functions.

Abstract algebra and geometric notion[edit]

In abstract algebra the concept of a polynomial is extended to include formal expressions in which the coefficients of the polynomial can be taken from any field. In this setting given a field F and some indeterminate X, a rational expression is any element of the field of fractions of the polynomial ring F[X]. Any rational expression can be written as the quotient of two polynomials P/Q with Q ≠ 0, although this representation isn't unique. P/Q is equivalent to R/S, for polynomials P, Q, R, and S, when PS = QR. However, since F[X] is a unique factorization domain, there is a unique representation for any rational expression P/Q with P and Q polynomials of lowest degree and Q chosen to be monic. This is similar to how a fraction of integers can always be written uniquely in lowest terms by canceling out common factors.

The field of rational expressions is denoted F(X). This field is said to be generated (as a field) over F by (a transcendental element) X, because F(X) does not contain any proper subfield containing both F and the element X.

Complex rational functions[edit]

In complex analysis, a rational function

${\displaystyle f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

- это отношение двух многочленов с комплексными коэффициентами, где Q не является нулевым многочленом, а P и Q не имеют общего множителя (это позволяет избежать неопределенного значения 0/0 для f ).

Область определения f - это набор комплексных чисел, таких что, а его диапазон - это набор комплексных чисел w, таких что${\displaystyle Q(z)\neq 0,}$${\displaystyle P(z)\neq wQ(z).}$

Каждую рациональную функцию можно естественным образом продолжить до функции, область определения и область значений которой - вся сфера Римана ( комплексная проективная прямая ).

Рациональные функции являются репрезентативными примерами мероморфных функций .

Notion of a rational function on an algebraic variety[edit]

Like polynomials, rational expressions can also be generalized to n indeterminates X₁,..., X_n, by taking the field of fractions of F[X₁,..., X_n], which is denoted by F(X₁,..., X_n).

An extended version of the abstract idea of rational function is used in algebraic geometry. There the function field of an algebraic variety V is formed as the field of fractions of the coordinate ring of V (more accurately said, of a Zariski-dense affine open set in V). Its elements f are considered as regular functions in the sense of algebraic geometry on non-empty open sets U, and also may be seen as morphisms to the projective line.

Applications[edit]

Rational functions are used in numerical analysis for interpolation and approximation of functions, for example the Padé approximations introduced by Henri Padé. Approximations in terms of rational functions are well suited for computer algebra systems and other numerical software. Like polynomials, they can be evaluated straightforwardly, and at the same time they express more diverse behavior than polynomials.

Rational functions are used to approximate or model more complex equations in science and engineering including fields and forces in physics, spectroscopy in analytical chemistry, enzyme kinetics in biochemistry, electronic circuitry, aerodynamics, medicine concentrations in vivo, wave functions for atoms and molecules, optics and photography to improve image resolution, and acoustics and sound^{[citation needed]}.

In signal processing, the Laplace transform (for continuous systems) or the z-transform (for discrete-time systems) of the impulse response of commonly-used linear time-invariant systems (filters) with infinite impulse response are rational functions over complex numbers.

See also[edit]

• Field of fractions
• Partial fraction decomposition
• Partial fractions in integration
• Function field of an algebraic variety
• Algebraic fractions – a generalization of rational functions that allows taking integer roots

References[edit]

• "Rational function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007), "Section 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

External links[edit]

• Dynamic visualization of rational functions with JSXGraph