В математике , локальное поле представляет собой особый тип поля , который является локально компактным топологическим полем относительно недискретной топологии . [1] Для такого поля можно определить абсолютное значение . Есть два основных типа локальных полей: те, в которых абсолютное значение архимедово, и те, в которых его нет. В первом случае локальное поле называется архимедовым локальным полем , во втором - неархимедовым локальным полем . Локальные поля естественным образом возникают в теории чисел как пополненияот глобальных полей .
Хотя архимедовы локальные поля были достаточно хорошо известны в математике по крайней мере 250 лет, первые примеры неархимедовых локальных полей, поля p-адических чисел для положительного простого целого числа p , были введены Куртом Хенселем в конце книги. 19 век.
Каждое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих: [2]
- Архимедовы локальные поля ( характерно ноль): действительные числа Р , а также комплексные числа C .
- Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: конечные расширения по р -адические числа Q р (где р представляет собой любой простое число ).
- Неархимедовы локальные поля характеристики р (для р любого данного простого числа): поле формальных рядов Лорана F д (( T )) над конечным полем Р д , где д представляет собой мощность на р .
Существует эквивалентное определение неархимедова локального поля: это поле, полное относительно дискретной оценки и чье поле вычетов конечно. В частности, что важно в теории чисел, классы локальных полей проявляются как пополнения полей алгебраических чисел относительно их дискретного значения, соответствующего одному из их максимальных идеалов. В исследовательских работах по современной теории чисел часто рассматривается более общее понятие, требующее только того, чтобы поле вычетов было совершенным с положительной характеристикой, не обязательно конечным. [3] В этой статье используется первое определение.
Индуцированное абсолютное значение
Учитывая такое абсолютное значение на поле К , следующая топология может быть определена на K : для положительного вещественного числа м , определяет подмножество B м из K пути
Тогда б + B м составляют окрестности базис Ь в К .
И наоборот, топологическое поле с недискретной локально компактной топологией имеет абсолютное значение, определяющее его топологию. Он может быть построен с использованием меры Хаара из аддитивной группы поля.
Основные характеристики неархимедовых локальных полей
Для неархимедова локального поля F (с абсолютным значением, обозначенным | · |) важны следующие объекты:
- его кольцо целых чисел которая представляет собой кольцо дискретного нормирования , является закрытым единичным шаром из F , и является компактным ;
- эти блоки в своем кольце целых чиселкоторый образует группу и является единичной сферой из F ;
- единственный ненулевой простой идеал в его кольце целых чисел, которое является его открытым единичным шаром ;
- генератор из называется униформизирующим из;
- его поле вычетов которая конечна (поскольку компактна и дискретна ).
Каждый ненулевой элемент a из F может быть записан как a = ϖ n u, где u - единица, а n - единственное целое число. Нормализованное нормирование на F является Сюръекцией v : F → Z ∪ {∞} определяется путем отправки ненулевого к уникальному целому числу п таким , что = π п у с U блока, и путем посылки от 0 до ∞. Если q - мощность поля вычетов, то абсолютное значение на F, индуцированное его структурой как локального поля, определяется формулой [4]
Эквивалентное и очень важное определение неархимедова локального поля состоит в том, что это поле является полным относительно дискретной оценки и чье поле вычетов конечно.
Примеры
- Р -адических чисел : кольцо целых чисел Q р является кольцом р -адических чисел Z р . Его простой идеал р Z р и его поле вычетов Z / р Z . Каждый ненулевой элемент Q p может быть записан как u p n, где u - единица в Z p, а n - целое число, тогда v ( u p n ) = n для нормализованной оценки.
- Формальный ряд Лорана над конечным полем : кольцо целых чисел F q (( T )) - это кольцо формальных степенных рядов F q [[ T ]]. Его максимальный идеал - это ( T ) (т. Е. Степенной ряд, постоянный член которого равен нулю), а его поле вычетов - F q . Его нормализованная оценка связана с (нижней) степенью формального ряда Лорана следующим образом:
- (где a - m не равно нулю).
- Формальный ряд Лорана по комплексным числам не является локальным полем. Например, его поле вычетов C [[ T ]] / ( T ) = C , что не является конечным.
Высшие группы юнитов
П - я высшей единичной группы из неархимедового локального поля F является
при n ≥ 1. Группа U (1) называется группой главных единиц , а любой ее элемент - главной единицей . Полная группа юнитовобозначается U (0) .
Высшие группы единиц образуют убывающую фильтрацию группы единиц.
чьи частные даны
для n ≥ 1. [5] (Здесь ""означает неканонический изоморфизм.)
Структура группы единиц
Мультипликативная группа ненулевых элементов неархимедова локального поля F изоморфна
где q - порядок поля вычетов, а μ q −1 - группа ( q −1) -й корней из единицы (в F ). Его структура как абелевой группы зависит от ее характеристики :
- Если F имеет положительную характеристику p , то
- где N обозначает натуральные числа ;
- Если F имеет нулевую характеристику (т. Е. Является конечным расширением Q p степени d ), то
- где a ≥ 0 определено так, что группа p -степенных корней из единицы в F есть . [6]
Теория локальных полей
Эта теория включает в себя изучение типов локальных полей, расширения локальных полей с помощью леммы Гензеля , расширения Галуа локальных полей, фильтрации групп ветвления групп Галуа локальных полей, поведения отображения нормы на локальных полях, локального гомоморфизма взаимности и теорема существования в локальной теории полей классов , локальное соответствие Ленглендса , теория Ходжа-Тейта (также называемая p-адической теорией Ходжа ), явные формулы для символа Гильберта в локальной теории полей классов, см., например, [7]
Многомерные локальные поля
Локальное поле иногда называют одномерным локальным полем .
Неархимедово локальное поле можно рассматривать как поле частных пополнения локального кольца одномерной арифметической схемы ранга 1 в его неособой точке.
Для неотрицательного целого числа п , п - мерное локальное поле представляет собой полное дискретно нормированное поле , поле вычетов которого является ( п - 1) -мерное локальное поле. [8] В зависимости от определения локального поля, нульмерное локальное поле является либо конечным полем (с определением, используемым в этой статье), либо совершенным полем с положительной характеристикой.
С геометрической точки зрения n -мерные локальные поля с последним конечным полем вычетов естественным образом связаны с полным флагом подсхем n- мерной арифметической схемы.
Смотрите также
- Лемма Гензеля
- Группа ветвления
- Теория поля локальных классов
- Высшее местное поле
Заметки
- ↑ Страница 20 из Weil 1995
- ^ JS Milne. "Алгебраическая теория чисел" (PDF) . С. 125–126.
- ^ См., Например, определение 1.4.6 в Fesenko & Vostokov 2002.
- ^ Weil 1995 , глава I, теорема 6
- Перейти ↑ Neukirch 1999 , p. 122
- ^ Нойкирх 1999 , теорема II.5.7
- ^ Главы 1-4, 7 Фесенко и Востоков 2002
- ^ Определение 1.4.6 Фесенко и Востоков 2002
Рекомендации
- Вейль, Андре (1995), Основная теория чисел , Классика математики, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , ISBN 3-540-58655-5
- Фесенко, Иван Б .; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966
- Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
дальнейшее чтение
- A. Frohlich , "Локальные поля", в JWS Cassels и A. Frohlich (edd), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , 1973. Глава I.
- Милн, Джеймс, Алгебраическая теория чисел .
Внешние ссылки
- "Локальное поле" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]