В исчислении , то ( ε , δ ) -определение предела ( « эпсилон - дельта - определение предела») является формализация понятия предела . Эта концепция принадлежит Огюстен-Луи Коши , который никогда не давал формального ( ε , δ ) определения предела в своем Cours d'Analyse , но иногда использовал аргументы ε , δ в доказательствах. Впервые это было формальное определение Бернарда Больцано в 1817 году, а окончательное современное утверждение в конечном итоге было дано Карлом Вейерштрассом .[1] [2] Это обеспечивает строгость следующего неформального понятия: зависимое выражение f ( x ) приближается к значению L, поскольку переменная x приближается к значению c, если f ( x ) может быть максимально приближено к L , взяв x достаточно близко к c .
История
Хотя греки изучали ограничивающие процессы, такие как вавилонский метод , у них, вероятно, не было концепции, аналогичной современным пределам. [3] Необходимость в понятии предела возникла в 1600 - х годах, когда Пьер де Ферма попытался найти наклон в касательной линии в точке графику функции, такой как . Используя ненулевое, но почти нулевое количество, Ферма произвел следующий расчет:
Ключ к приведенному выше расчету заключается в том, что, поскольку не равно нулю, можно разделить от , но с тех пор близко к 0, по сути . [4] Такие количества, какназываются бесконечно малыми . Проблема с этим вычислением заключается в том, что математики той эпохи не могли строго определить величину со свойствами, [5] даже несмотря на то, что было обычной практикой «пренебрегать» бесконечно малыми более высокими степенями, и это, казалось, давало правильные результаты.
Эта проблема вновь возникла позже, в 1600-х годах, в центре развития исчисления , где вычисления, такие как вычисления Ферма, важны для вычисления производных . Исаак Ньютон первым разработал исчисление с помощью бесконечно малой величины, называемой потоком . Он развил их в связи с идеей «бесконечно малого момента времени ...» [6]. Однако позже Ньютон отверг флюксии в пользу теории соотношений, близкой к современной.определение лимита. [6] Более того, Ньютон знал, что предел отношения исчезающих величин сам по себе не был отношением, как он писал:
- Эти конечные отношения ... на самом деле не являются отношениями конечных количеств, а являются пределами ... к которым они могут приближаться так близко, что их разница меньше любой заданной величины ...
Кроме того, Ньютон иногда объяснял пределы в терминах, подобных определению эпсилон-дельта. [7] Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал собственное бесконечно малое и попытался дать ему прочную основу, но некоторые математики и философы все же с тревогой встретили его. [6]
Огюстен-Луи Коши дал определение предела в терминах более примитивного понятия, которое он назвал переменной величиной . Он никогда не давал определения предела эпсилон-дельта (Grabiner 1981). Некоторые доказательства Коши содержат указания на эпсилон-дельта-метод. Можно ли считать его основополагающий подход предвестником подхода Вейерштрасса - предмет научных споров. Грабинер считает, что это так, в то время как Шубринг (2005) с этим не согласен. [ сомнительно ] [1] Накане заключает, что Коши и Вейерштрасс дали одно и то же название разным понятиям предела. [8] [ ненадежный источник? ]
В конце концов, Вейерштрассу и Больцано приписывают обеспечение строгой основы для исчисления в форме современного определение лимита. [1] [2] Необходимость ссылки на бесконечно малуюзатем был удален, [6] и вычисление Ферма превратилось в вычисление следующего предела:
Это не означает , что предельное определение было свободно от проблем , как, несмотря на то, что отпала необходимость для инфинитезималей, это действительно требует строительство действительных чисел по Дедекинд . [6] Это также не означает, что бесконечно малым нет места в современной математике, поскольку более поздние математики смогли строго создавать бесконечно малые величины как часть гиперреалистических или сюрреалистических систем счисления. Более того, с этими величинами можно проводить строгое исчисление, и они могут найти другое математическое применение. [9]
Неофициальное заявление
Жизнеспособное неформальное (то есть интуитивное или предварительное) определение состоит в том, что " функция f приближается к пределу L около a (символически,), если можно сделать f ( x ) сколь угодно близким к L , потребовав, чтобы x был достаточно близок к a , но не равен ему » [10]
Сказать, что два объекта близки (например, f ( x ) и L или x и a ), означает, что разница (или расстояние ) между ними мала. При F ( х ) , Ь , х и являются действительными числами , то разница / расстояние между двумя числами является абсолютной величиной от разности двух. Таким образом, утверждение f ( x ) близко к L означает, что | f ( x ) - L | маленький. Сказать, что x и a близки, означает, что | х - а | маленький. [11]
Утверждение, что f ( x ) можно сделать сколь угодно близким к L , означает, что для всех ненулевых расстояний ε расстояние между f ( x ) и L может быть меньше ε . [11]
Утверждение, что f ( x ) может быть сделано сколь угодно близким к L , требуя, чтобы x был достаточно близким к a , но не равным a , означает, что для любого ненулевого расстояния ε существует некоторое ненулевое расстояние δ такое, что если расстояние между x и a меньше δ, тогда расстояние между f ( x ) и L меньше ε . [11]
Неформальный / интуитивный аспект, который следует усвоить, заключается в том, что определение требует следующего внутреннего разговора (который обычно перефразируется таким языком, как «ваш враг / противник атакует вас с помощью ε , а вы защищаете / защищаете себя с помощью δ »): Один из них снабжен любого вызова е > 0 при заданном F , и L . Нужно ответить таким δ > 0 , что 0 <| х - а | < δ влечет | f ( x ) - L | < ε . Если можно дать ответ на любой вызов, значит, предел существует. [12]
Точная инструкция для функций с действительным знаком
В определение предела функции выглядит следующим образом: [11]
Позволять быть вещественной функцией, определенной на подмножествеиз действительных чисел . Позволятьбыть предельной точкой из и разреши быть реальным числом. потом
если для каждого существует такое, что для всех , если , тогда . [13]
Символически:
Если или же , то условие, что является предельной точкой, может быть заменено более простым условием, что c принадлежит D , так как замкнутые вещественные интервалы и вся вещественная прямая являются совершенными множествами .
Точная инструкция для функций между метрическими пространствами
Определение можно обобщить на функции, отображающие метрические пространства . Эти пространства имеют функцию, называемую метрикой, которая берет две точки в пространстве и возвращает действительное число, которое представляет расстояние между двумя точками. [14] Обобщенное определение выглядит следующим образом: [15]
Предполагать определено на подмножестве метрического пространства с метрикой и отображается в метрическое пространство с метрикой . Позволять быть предельной точкой и разреши быть точкой . потом
если для каждого существует такое, что для всех , если , тогда .
С является метрикой действительных чисел, можно показать, что это определение обобщает первое определение для вещественных функций. [16]
Отрицание точного утверждения
Логическое отрицание из определения выглядит следующим образом : [17]
Предполагать определено на подмножестве метрического пространства с метрикой и отображается в метрическое пространство с метрикой . Позволять быть предельной точкой и разреши быть точкой . потом
если существует такое, что для всех существует такой, что а также . потом не существует, если для всех , .
Для отрицания действительной функции, определенной на действительных числах, просто установите .
Точная формулировка пределов на бесконечности
Точная формулировка пределов на бесконечности выглядит следующим образом:
Предполагать является вещественным, что определено на подмножестве действительных чисел, которые содержат сколь угодно большие значения. потом
если для каждого , есть реальное число такое, что для всех , если тогда . [18]
Также возможно дать определение в общих метрических пространствах. [ необходима цитата ]
Односторонние ограничения
Стандарт определение не позволяет определять пределы в точках разрыва. Для этого полезны односторонние ограничения . Предел «справа» формально определяется как
и предел "слева" как
Примеры работ
Пример 1
Будет показано, что
- .
Дано . А необходимо такое, что подразумевает .
Поскольку синус ограничен сверху единицей и снизу −1,
Таким образом, берется, то подразумевает , что завершает доказательство.
Пример 2
Заявление
будет доказано для любого реального числа .
Дано . А будет найден такой, что подразумевает .
Начиная с факторинга
термин ограничен поэтому можно предположить, что оценка равна 1, а позже можно выбрать что-то меньшее, чем это, для . [19]
Итак, предполагается, что . С в целом справедливо для действительных чисел а также ,
Таким образом
Таким образом , с помощью неравенства треугольника ,
Таким образом, если в дальнейшем предположить, что
тогда
В итоге, установлен.
Так что если , тогда
Таким образом, найден такой, что подразумевает . Таким образом, показано, что
для любого реального числа .
Пример 3
Заявление
будет доказано.
Это легко показать с помощью графического понимания предела, и как таковое служит прочной основой для введения в доказательство. Согласно формальному определению, приведенному выше, предельное выражение является правильным тогда и только тогда, когда ограничение к единицы неизбежно ограничит к единицы . В данном конкретном случае это означает, что утверждение истинно тогда и только тогда, когда ограничение к единицы из 5 неизбежно ограничат
к единиц из 12. Общий ключ к демонстрации этого вывода - продемонстрировать, как а также должны быть связаны друг с другом таким образом, чтобы иметь место импликация. Математически будет показано, что
Упрощение, факторинг и деление 3 в правой части импликации дает
что сразу дает требуемый результат, если
выбран.
На этом доказательство завершено. Ключ к доказательству заключается в способности человека выбирать границы в, а затем заключить соответствующие границы в , которые в данном случае связаны с коэффициентом 3, что полностью связано с наклоном 3 в строке
Непрерывность
Функция f называется непрерывной в c, если она определена в c и ее значение в c равно пределу f, когда x приближается к c :
В определение непрерывной функции может быть получено из определения предела заменой с участием , чтобы гарантировать, что f определено в c и равно пределу.
Функция F называется непрерывной на интервале I , если она непрерывна в каждой точке с из I .
Сравнение с бесконечно малым определением
Кейслер доказал, что гиперреальное определение предела снижает сложность логического квантора на два квантора. [20] А именно,сходится к пределу L какстремится к a тогда и только тогда, когда значениебесконечно близка к L для любого бесконечно малого e . (См микронепрерывность для соответствующего определения непрерывности, по существу , из - за Коши .)
Учебники по исчислению бесконечно малых, основанные на подходе Робинсона , дают определения непрерывности, производной и интеграла в стандартных точках в терминах бесконечно малых. После того, как такие понятия, как непрерывность, были подробно объяснены с помощью подхода, использующего микропрерывность, также представлен эпсилон-дельта-подход. Карел Хрбачек утверждает, что определения непрерывности, производной и интеграции в нестандартном анализе в стиле Робинсона должны быть основаны на методе ε - δ , чтобы охватить также нестандартные значения входных данных. [21] Błaszczyk et al. утверждают, что микропрерывность полезна для разработки прозрачного определения однородной непрерывности, и охарактеризовать критику Хрбачека как «сомнительное сетование». [22] Хрбачек предлагает альтернативный нестандартный анализ, который (в отличие от Робинсона) имеет много «уровней» бесконечно малых, так что пределы на одном уровне могут быть определены в терминах бесконечно малых на следующем уровне. [23]
Семейство формальных определений пределов
Нет единого определения лимита - есть целая семья определений. Это связано с наличием бесконечности и концепцией границ «справа» и «слева». Сам предел может быть конечным значением,, или же . Ценность, к которой приблизился также может быть конечным значением, , или же , а если это конечное значение, к нему можно подойти слева или справа. Обычно каждой комбинации дается собственное определение, например:
Обозначение | Def. | Пример | |||||||||||||
Смотрите также
- Непрерывная функция
- Предел последовательности
- Список тем по исчислению
- Теорема сжатия
Рекомендации
- ^ a b c Грабинер, Джудит В. (март 1983 г.), «Кто дал вам эпсилон? Коши и истоки строгого исчисления» (PDF) , The American Mathematical Monthly , 90 (3): 185–194, DOI : 10.2307 / 2975545 , JSTOR 2975545 , архивируются (PDF) с оригинала на 2009-05-04 , извлекаться 2009-05-01
- ^ а б Коши, А.-Л. (1823), "Septième Leçon - Valeurs de quelques выражения qui se présentent sous les formes indéterminées". ∞ ∞ , ∞ 0 , … {\ displaystyle {\ frac {\ infty} {\ infty}}, \ infty ^ {0}, \ ldots} Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée " , Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le Calcul infinitésimal , Париж, заархивировано из оригинала 04.05.2009 , получено 01.05.2009 , С. 44 .CS1 maint: postscript ( ссылка ). Проверено 1 мая 2009 г.
- ^ Стиллвелл, Джон (1989). Математика и ее история . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 38–39 . ISBN 978-1-4899-0007-4.
- ^ Стиллвелл, Джон (1989). Математика и ее история . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 104 . ISBN 978-1-4899-0007-4.
- ^ Стиллвелл, Джон (1989). Математика и ее история . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 106 . ISBN 978-1-4899-0007-4.
- ^ а б в г д Бакли, Бенджамин Ли (2012). Споры о непрерывности: Дедекинд, Кантор, дю Буа-Реймон и Пирс о непрерывности и бесконечно малых . п. 31-35. ISBN 9780983700487.
- ^ Пошью, В. (2001), "Ньютон и понятие предела", Хистория Mathematica , 28 (1): 18-30, DOI : 10,1006 / hmat.2000.2301
- ^ Накане, Michiyo. Имело ли дифференциальное исчисление Вейерштрасса избегающий пределов характер? Его определение предела встиле ε - δ . БШМ Бык. 29 (2014), нет. 1, 51–59.
- ^ Тао, Теренс (2008). Структура и случайность: страницы первого года математического блога . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 95–110. ISBN 978-0-8218-4695-7.
- ^ Спивак, Михаил (2008). Исчисление (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Опубликовать или погибнуть. п. 90 . ISBN 978-0914098911.
- ^ а б в г Спивак, Михаил (2008). Исчисление (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Опубликовать или погибнуть. п. 96 . ISBN 978-0914098911.
- ^ «Эпсилон-Дельта-определение предела | Великолепная вики по математике и науке» . brilliant.org . Проверено 18 августа 2020 .
- ^ «1.2: Определение предела эпсилон-дельта» . Математика LibreTexts . 2017-04-21 . Проверено 18 августа 2020 .
- ^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. п. 30 . ISBN 978-0070542358.
- ^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. п. 83 . ISBN 978-0070542358.
- ^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. п. 84 . ISBN 978-0070542358.
- ^ Спивак, Михаил (2008). Исчисление (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Опубликовать или погибнуть. п. 97 . ISBN 978-0914098911.
- ^ Стюарт, Джеймс (2016), «Раздел 3.4», Calculus (8-е изд.), Cengage
- ^ Спивак, Михаил (2008). Исчисление (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Опубликовать или погибнуть. п. 95 . ISBN 978-0914098911.
- ^ Кейслер, Х. Джером (2008), «Количественные показатели в пределах» (PDF) , Анджей Мостовски и фундаментальные исследования , IOS, Амстердам, стр. 151–170
- ^ Hrbacek, K. (2007), «Стратифицированный анализ?», В Van Den Berg, I .; Невес В. (ред.), Сила нестандартного анализа , Springer
- ^ Блащик, Петр; Кац, Михаил ; Шерри, Дэвид (2012), «Десять заблуждений из истории анализа и их опровержение», « Основы науки» , 18 : 43–74, arXiv : 1202.4153 , Bibcode : 2012arXiv1202.4153B , doi : 10.1007 / s10699-012-9285- 8 , S2CID 119134151
- ^ Хрбачек, К. (2009). «Теория относительных множеств: внутренний взгляд» . Журнал логики и анализа . 1 .
дальнейшее чтение
- Грабинер, Джудит В. (1982). Истоки строгого исчисления Коши . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-14374-3.
- Шубринг, Герт (2005). Конфликты между обобщением, строгостью и интуицией: числовые концепции, лежащие в основе развития анализа во Франции и Германии 17–19 веков (иллюстрированное изд.). Springer. ISBN 978-0-387-22836-5.