Принцип передачи

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории моделей , принцип переноса утверждает , что все заявления о каком - то языке, которые истинны для некоторой структуры справедливы и для другой структуры. Одним из первых примеров был принцип Lefschetz , в котором говорится , что любое предложение в языке первого порядка на полях , что верно для комплексных чисел также верно для любого алгебраически замкнутого поля на характеристики 0 .

История [ править ]

Зарождающаяся форма принципа переноса была описана Лейбницем под названием « Закон непрерывности ». ^[1] Здесь ожидается, что бесконечно малые числа будут иметь «те же» свойства, что и заметные числа . Подобные тенденции обнаруживаются у Коши , который использовал бесконечно малые величины для определения как непрерывности функций (в Cours d'Analyse ), так и формы дельта-функции Дирака . ^{[1] : 903}

В 1955 году Ежи Лось доказал принцип переноса для любой гиперреалистической системы счисления. Наиболее распространенное использование в Abraham Robinson «s нестандартного анализ из чисел гипердействительных , где принцип передачи гласит , что любое предложение представимо в определенном формальном языке, правда , из действительных чисел также верно гипердействительных чисел.

Принцип переноса для гиперреалов [ править ]

Принцип переноса касается логической связи между свойствами действительных чисел R и свойствами большего поля, обозначенного * R, называемого гиперреальными числами . Поле * R включает, в частности, бесконечно малые («бесконечно малые») числа, обеспечивая строгую математическую реализацию проекта, инициированного Лейбницем.

Идея заключается в том, чтобы выразить анализ над R в подходящем языке математической логики , а затем указать на то , что этот язык в равной степени относится к * R . Это оказывается возможным, потому что на теоретико-множественном уровне предложения на таком языке интерпретируются как применимые только к внутренним множествам, а не ко всем множествам. Как сказал Робинсон , предложения [теории] интерпретируются в * R в смысле Хенкина . ^[2]

Теорема о том, что каждое предложение, действительное над R , также справедливо над * R , называется принципом переноса.

Существует несколько различных версий принципа переноса, в зависимости от того, какая модель нестандартной математики используется. В терминах теории моделей принцип переноса гласит, что отображение стандартной модели в нестандартную модель является элементарным вложением (вложение, сохраняющим истинностные значения всех утверждений языка), или иногда ограниченным элементарным вложением (аналогично, но только для операторов с ограниченными кванторами ).

Принцип переноса, по-видимому, приводит к противоречиям, если с ним не обращаться правильно. Например, поскольку гиперреальные числа образуют неархимедово упорядоченное поле, а действительные числа образуют упорядоченное архимедово поле, свойство быть архимедовым («каждое положительное вещественное число больше 1 / n для некоторого положительного целого числа n ») кажется на первый взгляд не удовлетворять принципу передачи. Утверждение «каждое положительное гиперреальное число больше 1 / n для некоторого положительного целого числа n » неверно; однако правильная интерпретация такова: «каждое положительное гиперреальное число больше 1 / n для некоторого положительного гиперинтегрального числа n.Другими словами, гиперреалы кажутся архимедовыми для внутреннего наблюдателя, живущего в нестандартной вселенной, но кажутся неархимедовыми для внешнего наблюдателя за пределами вселенной.

Доступная для новичков формулировка принципа переноса - это книга Кейслера « Элементарное исчисление: бесконечно малый подход» .

Пример [ править ]

Каждое действительное удовлетворяет неравенству${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle х \ geq \ lfloor x \ rfloor,}$

где - функция целой части . При типичном применении принципа переноса каждое гиперреальное удовлетворяет неравенству${\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x\geq {}^{*}\!\lfloor x\rfloor ,}$

где - естественное расширение функции целой части. Если бесконечно, то и гиперицелое число бесконечно.${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor }$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor x\rfloor }$

Обобщения понятия числа [ править ]

Исторически понятие числа неоднократно обобщалось. Добавление 0 к натуральным числам было большим интеллектуальным достижением в то время. Добавление отрицательных целых чисел в форму уже означало отход от области непосредственного опыта к области математических моделей. Дальнейшее расширение, рациональные числа , более знакомо обычному человеку, чем их завершение , отчасти потому, что действительные числа не соответствуют какой-либо физической реальности (в смысле измерения и вычисления), отличной от той, которая представлена${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Таким образом, понятие иррационального числа бессмысленно даже для самого мощного компьютера с плавающей запятой. Необходимость такого расширения проистекает не из физических наблюдений, а, скорее, из внутренних требований математической согласованности. Бесконечно малые вошли в математический дискурс в то время, когда такое понятие требовалось математическим развитием того времени, а именно появлением того, что стало известно как исчисление бесконечно малых . Как уже упоминалось выше, математическое обоснование этого последнего расширения было отложено на три столетия. Кейслер писал:

«Обсуждая реальную линию, мы заметили, что у нас нет способа узнать, что на самом деле представляет собой линия в физическом пространстве. Это может быть как гиперреальная линия, реальная линия или ни то, ни другое. Однако в приложениях исчисления это полезно представить линию в физическом пространстве как гиперреальную линию ».

Самосогласованного развитие hyperreals оказалось возможным , если каждый истинный первого порядка логики утверждение , что использует простые арифметические (на натуральные числа , а также, время, сравнение) и квантифицирует только над вещественными числами предполагалось , чтобы быть правдой в переинтерпретировать форму, если мы предполагаем, что она дает количественную оценку гиперреальным числам. Например, мы можем заявить, что для каждого действительного числа есть другое число больше, чем оно:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exists y\in \mathbb {R} \quad x<y.}$

То же самое будет справедливо и для гиперреалов:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad \exists y\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<y.}$

Другой пример - утверждение, что если вы добавите 1 к числу, вы получите большее число:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad x<x+1}$

что справедливо и для гиперреалов:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<x+1.}$

Правильное общее утверждение, формулирующее эти эквивалентности, называется принципом переноса. Обратите внимание, что во многих формулах анализа количественная оценка проводится по объектам более высокого порядка, таким как функции и множества, что делает принцип переноса несколько более тонким, чем предполагают приведенные выше примеры.

Различия между R и ^* R [ править ]

Однако принцип передачи не означает, что R и * R ведут себя одинаково. Например, в * R существует такой элемент ω , что

${\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots }$

но в R нет такого числа . Это возможно, потому что отсутствие этого числа не может быть выражено как утверждение первого порядка вышеупомянутого типа. Гиперреалистическое число типа ω называется бесконечно большим; обратные бесконечно большие числа являются бесконечно малыми.

Гиперреальные числа * R образуют упорядоченное поле, содержащее действительные числа R в качестве подполя. В отличие от вещественных чисел гиперреалы не образуют стандартного метрического пространства , но в силу своего порядка они несут порядковую топологию .

Конструкции гиперреалов [ править ]

Гиперреалы могут быть разработаны либо аксиоматически, либо более конструктивно ориентированными методами. Суть аксиоматического подхода состоит в утверждении (1) существования хотя бы одного бесконечно малого числа и (2) справедливости принципа переноса. В следующем подразделе мы даем подробную схему более конструктивного подхода. Этот метод позволяет построить гиперреалы, если задан теоретико-множественный объект, называемый ультрафильтром , но сам ультрафильтр не может быть построен явно. Владимир Кановей и Шелах ^[3] дают конструкцию определимого счетно насыщенного элементарного расширения структуры, состоящей из вещественных чисел и всех финитарных отношений на ней.

В самом общем виде перенос - это ограниченное элементарное вложение между структурами.

Заявление [ править ]

Упорядоченное поле ^* R из нестандартных вещественных чисел правильно включает в себя реальное поле R . Как и все упорядоченные поля, которые правильно включают R , это поле неархимедово . Это означает , что некоторые члены х  ≠ 0 из ^* R являются бесконечно малыми , т.е.

${\displaystyle \underbrace {\left|x\right|+\cdots +\left|x\right|} _{n{\text{ terms}}}<1{\text{ for every finite cardinal number }}n.}$

Единственным бесконечно малым в R является 0. Некоторые другие члены ^* R , обратные y ненулевых бесконечно малых чисел, бесконечны, т. Е.

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ terms}}}<\left|y\right|{\text{ for every finite cardinal number }}n.}$

Базовый набор поля ^* R является образом R при отображении A  ↦  ^* из подмножеств А из R к подмножествам ^* R . В любом случае

${\displaystyle A\subseteq {^{*}\!A},}$

с равенством тогда и только тогда, когда A конечно. Множества вида ^* для некоторых называются стандартные подмножества ^* R . Стандартные наборы принадлежат гораздо большему классу подмножеств ^* R, называемых внутренними наборами. Аналогично каждая функция${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$

${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$

распространяется на функцию

${\displaystyle {^{*}\!f}:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} };}$

они называются стандартными функциями и относятся к гораздо большему классу внутренних функций . Наборы и функции, которые не являются внутренними, являются внешними .

Важность этих концепций проистекает из их роли в следующем предложении и иллюстрируется примерами, которые следуют за ним.

Принцип передачи:

• Предположим, что утверждение, истинное для ^* R, может быть выражено через функции конечного числа переменных (например, ( x ,  y ) ↦  x  +  y ), отношения между конечным числом переменных (например, x  ≤  y ), конечные логические связки, такие как и , или , не , если ... , то ... , и кванторы

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} {\text{ and }}\exists x\in \mathbb {R} .}$

Например, одно из таких предложений:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ \exists y\in \mathbb {R} \ x+y=0.}$

Такое утверждение истинно в R тогда и только тогда, когда оно истинно в ^* R, когда квантор

${\displaystyle \forall x\in {^{*}\!\mathbb {R} }}$

заменяет

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,}$

и аналогично для .${\displaystyle \exists }$

• Предположим, что предложение, которое можно выразить так же просто, как рассмотренные выше, упоминают некоторые частные множества . Такое утверждение верно в R , если и только если оно истинно в ^* R с каждым таким « A » заменен соответствующим ^* A . Вот два примера:${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$

• Набор

${\displaystyle [0,1]^{\ast }=\{\,x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\,\}^{\ast }}$

должно быть

${\displaystyle \{\,x\in {^{*}\mathbb {R} }:0\leq x\leq 1\,\},}$

включая не только члены R от 0 до 1 включительно, но также члены ^* R от 0 до 1, которые отличаются от таковых на бесконечно малые. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что предложение

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ (x\in [0,1]{\text{ if and only if }}0\leq x\leq 1)}$

верно в R , и применим принцип переноса.

• Множество ^* N не должно иметь верхней границы в ^* R (поскольку предложение, выражающее несуществование верхней границы N в R, достаточно простое для применения к нему принципа переноса) и должно содержать n  + 1, если оно содержит n , но не должно содержать ничего между n и n  + 1. Члены группы

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

являются «бесконечными целыми числами».)

• Предположим, что предложение, которое можно выразить так же просто, как рассмотренные выше, содержит квантор

${\displaystyle \forall A\subseteq \mathbb {R} \dots {\text{ or }}\exists A\subseteq \mathbb {R} \dots \ .}$

Такое утверждение истинно в R тогда и только тогда, когда оно истинно в ^* R после изменений, указанных выше, и замены кванторов на

${\displaystyle [\forall {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]}$

и

${\displaystyle [\exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]\ .}$

Три примера [ править ]

Подходящая установка для принципа гиперреального переноса - это мир внутренних сущностей. Таким образом, свойство упорядочивания натуральных чисел путем переноса приводит к тому факту, что каждое внутреннее подмножество имеет наименьший элемент. В этом разделе более подробно обсуждаются внутренние наборы.${\displaystyle \mathbb {N} }$

• Каждое непустое внутреннее подмножество ^* R , который имеет верхнюю грань в ^* R имеет верхнюю грань в ^* R . Следовательно, множество всех бесконечно малых является внешним.
  • Принцип хорошего порядка подразумевает, что каждое непустое внутреннее подмножество ^* N имеет наименьший член. Следовательно, множество

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

всех бесконечных целых чисел является внешним.

• Если n - бесконечное целое число, то набор {1, ...,  n } (который не является стандартным) должен быть внутренним. Чтобы доказать это, сначала заметим, что тривиально верно следующее:

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \ \exists A\subseteq \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb {N} \ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

как следствие

${\displaystyle \forall n\in {^{*}\mathbb {N} }\ \exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {N} }\ \forall x\in {^{*}\mathbb {N} }\ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

• Как с внутренними наборами, так и с внутренними функциями: Заменить

${\displaystyle \forall f:A\rightarrow \mathbb {R} \dots }$

с

${\displaystyle \forall {\text{ internal }}f:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} }\dots }$

при применении принципа передачи и аналогично с вместо .${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \forall }$

Например: если n - бесконечное целое число, то дополнение образа любой внутренней взаимно однозначной функции ƒ из бесконечного множества {1, ...,  n } в {1, ...,  n ,  n  + 1,  n  + 2,  n  + 3} по принципу переноса имеет ровно три члена. Из-за бесконечности области дополнения изображений взаимно однозначных функций из первого набора во второй бывают разных размеров, но большинство этих функций являются внешними.

Этот последний пример мотивирует важное определение: * -конечное (произносится как звездное конечное ) подмножество ^* R - это такое, которое может быть помещено во внутреннее взаимно однозначное соответствие с {1, ...,  n } для некоторого n  ∈  ^* N .

См. Также [ править ]

• Элементарное исчисление: бесконечно малый подход

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Чанг, Чен Чунг; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973], Теория моделей , Исследования в области логики и основ математики (3-е изд.), Elsevier , ISBN 978-0-444-88054-3
• Харди, Майкл: "Масштабированные булевы алгебры". Adv. в Прил. Математика. 29 (2002), нет. 2, 243–292.
• Кановей, Владимир; Шелах, Сахарон (2004), «Определимая нестандартная модель действительных чисел» (PDF) , Journal of Symbolic Logic , 69 : 159–164, arXiv : math / 0311165 , doi : 10.2178 / jsl / 1080938834
• Кейслер, Х. Джером (2000). «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход» .
• Кульман, Ф.-В. (2001) [1994], "Принцип переноса" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Oś, Jerzy (1955) Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d'algèbres. Математическая интерпретация формальных систем, стр. 98–113. Издательство Северной Голландии, Амстердам.
• Робинсон, Абрахам (1996), нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3, Руководство по ремонту  0205854