Внутренний набор

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Внутренний набор»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математической логике , в частности в теории моделей и нестандартном анализе , внутреннее множество - это набор, который является членом модели.

Концепция внутренних множеств - это инструмент для формулирования принципа переноса , который касается логической связи между свойствами действительных чисел R и свойствами большего поля, обозначенного * R, называемого гиперреальными числами . Поле * R включает, в частности, бесконечно малые («бесконечно малые») числа, что дает строгое математическое обоснование их использования. Грубо говоря, идея состоит в том, чтобы выразить анализ над R на подходящем языке математической логики, а затем указать, что этот язык одинаково хорошо применим к * R. Это оказывается возможным, потому что на теоретико-множественном уровне предложения на таком языке интерпретируются как применимые только к внутренним множествам, а не ко всем множествам (обратите внимание, что термин «язык» используется в более широком смысле в приведенном выше ).

Эдвард Нельсон «s внутренняя теория множеств является аксиоматический подход к нестандартному анализу (см также Палмгрен в конструктивном нестандартном анализе ). В обычных инфинитарных счетах нестандартного анализа также используется концепция внутренних множеств.

Внутренние наборы в сверхмощной конструкции [ править ]

Относительно сверхстепенной конструкции гиперреалистических чисел как классов эквивалентности последовательностей внутреннее подмножество [ A _n ] в * R определяется последовательностью вещественных множеств , причем гиперреальное число считается принадлежащим множеству тогда и только тогда, когда множество индексов п таким образом, что , является членом ультрафильтра , используемым в строительстве * R .${\displaystyle \langle u_{n}\rangle }$${\displaystyle \langle A_{n}\rangle }$${\displaystyle [u_{n}]}$${\displaystyle [A_{n}]\subseteq \;^{*}\!{\mathbb {R} }}$${\displaystyle u_{n}\in A_{n}}$

В более общем смысле внутренняя сущность является частью естественного расширения реальной сущности. Таким образом, каждый элемент * R является внутренним; подмножество * R является внутренним тогда и только тогда, когда оно является членом естественного расширения набора степеней R ; и т.п.${\displaystyle {}^{*}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$

Внутренние подмножества реалов [ править ]

Каждое внутреннее подмножество обязательно конечно (например, не имеет бесконечных элементов, но может иметь бесконечно много элементов; см. Теорему 3.9.1 Goldblatt, 1998). Другими словами, каждое внутреннее бесконечное подмножество гиперреалов обязательно содержит нестандартные элементы.${\displaystyle \mathbb {R} }$

См. Также [ править ]

• Стандартная функция детали
• Надстройка (математика)

Ссылки [ править ]

• Гольдблатт, Роберт . Лекции о гиперреалах . Введение в нестандартный анализ. Тексты для выпускников по математике , 188. Springer-Verlag, New York, 1998.
• Абрахам Робинсон (1996), нестандартный анализ , вехи Принстона в математике и физике, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3