Ультрапроизведение является математической конструкцией , которая проявляется главным образом в абстрактной алгебре и математической логике , в частности , в теории моделей и теории множеств . Ультрапродукт - это частное от прямого произведения семейства структур . Все факторы должны иметь одинаковую подпись . Ультрастепень является частным случаем этой конструкции , в которой все факторы равны.
Например, сверхспособности можно использовать для создания новых полей из заданных. В гиперреальном числе , ультрастепени из действительных чисел , являются частным случаем этого.
Некоторые яркие приложения ультрапроизведений включают очень элегантные доказательства своей теоремы компактности и полноту теоремы , Кейслер «s ультрастепень теорему, которая дает алгебраическую характеристику семантического понятия элементарной эквивалентности, и представление Robinson-zákon использования надстроек и их мономорфизмы для построения нестандартных моделей анализа, ведущих к росту области нестандартного анализа , который был впервые предложен (как приложение теоремы компактности) Абрахамом Робинсоном .
Определение [ править ]
Общий метод получения ультрапроизведений использует множество индексов I , в структуру M I для каждого элемента I из I (все той же подписи ), и ультрафильтр U на I . Обычно это рассматривается в случае, когда I бесконечно, а U содержит все кофинитные подмножества I , т. Е. U не является главным ультрафильтром . В основном случае ультрапроизведение изоморфно одному из факторов.
Алгебраические операции над декартовым произведением
определены поточечно (например, для двоичной функции +, ( a + b ) i = a i + b i ), а отношение эквивалентности определяется a ~ b, если
а ультрапроизведение является фактормножеством по ~. Поэтому ультрапродукт иногда обозначают как
Можно определить конечно-аддитивную меру m на индексном множестве I , сказав, что m ( A ) = 1, если A ∈ U, и = 0 в противном случае. Тогда два члена декартового произведения эквивалентны в точности, если они равны почти всюду на множестве индексов. Ультрапродукт - это совокупность сгенерированных таким образом классов эквивалентности.
Таким же образом можно расширить и другие отношения :
где [ а ] обозначает класс эквивалентности а по отношению к ~.
В частности, если каждое M i является упорядоченным полем , то и ультрапроизведение - тоже.
Ультрастепень является ультрапроизведением , для которого всех факторов M я равен:
В более общем смысле приведенное выше построение может быть выполнено всякий раз, когда U является фильтром на I ; получившаяся модель называется сокращенным продуктом .
Примеры [ править ]
В Гипердействительных номерах являются ультрапроизведением одной копии действительных чисел для каждого натурального числа, в отношении ультрафильтра над натуральными числами , содержащих все коконечны наборами. Их порядок является продолжением порядка действительных чисел. Например, последовательность ω, заданная ω i = i, определяет класс эквивалентности, представляющий гиперреалистическое число, которое больше любого действительного числа.
Аналогичным образом можно определить нестандартные целые числа , нестандартные комплексные числа и т. Д., Взяв ультрапроизведение копий соответствующих структур.
В качестве примера переноса отношений в ультрапроизведение рассмотрим последовательность ψ, определенную формулой ψ i = 2 i . Поскольку ψ i > ω i = i для всех i , отсюда следует, что класс эквивалентности ψ i = 2 i больше, чем класс эквивалентности ω i = i , поэтому его можно интерпретировать как бесконечное число, которое больше, чем тот, который изначально был построен. Однако пусть χ i = i для i, не равного 7, нох 7 = 8. Набор индексов, по которым совпадают со и х, является членом любого ультрафильтра (поскольку со и х совпадают почти всюду), поэтому со и х принадлежат одному классу эквивалентности.
В теории больших кардиналов , стандартная конструкция взять ультрапроизведение всей теоретико-множественной вселенной относительно некоторой тщательно выбраны Ультрафильтр U . Свойства этого ультрафильтра U имеют сильное влияние на свойства ультрапродукта (более высокого порядка); например, если U является σ -полным, то ультрапродукт снова будет хорошо обоснованным. (См. Измеримый кардинал в качестве прототипа.)
Теорема Лоса [ править ]
Теорема Лося, также называемая фундаментальной теоремой об ультрапроизведениях , принадлежит Ежи Лосю (фамилия произносится[ˈWɔɕ] , примерно «стирка»). Он утверждаетчто любая первый порядок формула верна в ультрапроизведениях тогда и только тогдакогда множество индексов я такиечто формула верна в М я является членом U . Точнее:
Пусть σ - сигнатура, ультрафильтр над множеством , и пусть для каждого - σ -структура. Позвольте быть ультрапроизведением относительно , то есть, Тогда для каждого , где и для каждой σ- формулы ,
Теорема доказывается индукцией по сложности формулы . Тот факт, что является ультрафильтром (а не просто фильтром), используется в предложении отрицания, а аксиома выбора необходима на этапе квантификатора существования. В качестве приложения получается теорема переноса для гиперреальных полей .
Примеры [ править ]
Пусть R будет унарное отношение в структуре М , и образуют ультрастепень М . Тогда множество имеет аналог * S в ультрастепени и формулы первого порядка с участием S справедливы и для * S . Например, пусть M - действительные числа, и пусть Rx - верное число, если x - рациональное число. Тогда в M мы можем сказать, что для любой пары рациональных чисел x и y существует другое число z такое, что z не рационально и x < z < y. Поскольку это может быть переведено в логическую формулу первого порядка на соответствующем формальном языке, из теоремы Лоса следует, что * S обладает тем же свойством. То есть мы можем определить понятие гиперрациональных чисел, которые являются подмножеством гиперреальных чисел, и они имеют те же свойства первого порядка, что и рациональные числа.
Однако рассмотрим архимедово свойство вещественных чисел, которое гласит, что не существует действительного числа x такого, что x > 1, x > 1 + 1, x > 1 + 1 + 1, ... для каждого неравенства в бесконечном списке. . Теорема Лоса не применима к свойству Архимеда, потому что свойство Архимеда не может быть указано в логике первого порядка. Фактически, свойство архимеда неверно для гиперреалов, как показано построением гиперреального числа ω выше.
Прямые пределы сверхспособностей (ультралиты) [ править ]
- Для ультрапроизведения последовательности метрических пространств см Ultralimit .
В теории моделей и теории множеств , то прямой предел последовательности ультрастепеней часто рассматриваются. В теории моделей эту конструкцию можно назвать сверхпредельной или предельной сверхмощностью .
Начиная со структуры A 0 и ультрафильтра D 0 , они образуют сверхмощность A 1 . Затем повторите процесс, чтобы сформировать A 2 , и так далее. Для каждого n существует каноническое диагональное вложение . На предельных стадиях, таких как A ω , образуют прямой предел более ранних стадий. Можно продолжить трансфинитное.
См. Также [ править ]
- Теорема компактности - Теорема
- Теорема Левенгейма – Сколема
- Принцип переноса - что все утверждения одного языка, которые верны для одной структуры, верны для другой структуры.
Ссылки [ править ]
- Белл, Джон Лейн; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и ультрапродукты: введение (перепечатка изд. 1974 г.). Dover Publications . ISBN 0-486-44979-3.
- Burris, Stanley N .; Санкаппанавар, HP (2000) [1981]. Курс универсальной алгебры (изд. Millennium).