Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Хенкин в 1990 году

Леон Альберт Хенкин (Бруклин, Нью-Йорк, 19 апреля 1921 г. - Окленд, Калифорния, 1 ноября 2006 г.) был одним из самых важных логиков и математиков 20-го века. Его работы сыграли большую роль в развитии логики, особенно в теории типов . Он был активным ученым в Калифорнийском университете в Беркли, где он внес большой вклад в качестве исследователя, учителя, а также на административных должностях. [1] В этом университете он руководил вместе с Тарский , в группе в логике и методологии науки , [2]из которого вышли многие важные логики и философы. У него было сильное чувство социальной ответственности и он был страстным защитником своих пацифистских и прогрессивных идей. [2] Он принимал участие во многих социальных проектах, направленных на обучение математике, а также в проектах, направленных на поддержку групп женщин и меньшинств в их карьере в математике и смежных областях. Любитель танцев и литературы, он ценил жизнь во всех ее аспектах: искусство, культуру, науку и, прежде всего, теплоту человеческих отношений. [2] Его помнят ученики за его великую доброту, а также за его академические и педагогические успехи. [3]

Хенкин в основном известен своими доказательствами полноты различных формальных систем , таких как теория типов и логика первого порядка (полнота последней в ее слабой версии была доказана Куртом Гёделем в 1929 году). [4] Чтобы доказать полноту теории типов, Хенкин вводит новую семантику, основанную на определенных структурах, называемых общими моделями (также известными как модели Хенкина ). Предложенное им изменение семантики позволяет обеспечить полное дедуктивное исчисление для теории типов и логики второго порядка., среди другой логики. Методы Хенкина помогли доказать различные результаты теории моделей как в классической, так и в неклассической логике. Помимо логики, другой областью, на которой были сосредоточены его исследования, была алгебра; он специализировался на цилиндрических алгебрах , в которых работал вместе с А. Тарским и Д. Монком. [5] Что касается философии математики, хотя работ, в которых он явно подходит к ней, немного, его можно считать занимающим номиналистическую позицию. [6]

Жизнь [ править ]

Детство и первая юность [ править ]

Леон Альберт Хенкин родился 19 апреля 1921 года в Бруклине, штат Нью-Йорк, в еврейской семье, эмигрировавшей из России лишь поколением ранее. Первым из семьи эмигрировал Авраам Хенкин, старший из братьев отца Леона. [2] По словам Леона, [7] его отец очень гордился им, так как он был еще мальчиком. Его высокие ожидания были очевидны во имя он дал ему: он решил назвать своего сына Альберта после серии статей по Эйнштейна «с теорией относительности , что Нью - Йорк Таймсопубликована незадолго до рождения Хенкина. Его семья симпатизировала пацифистским и прогрессивным идеям, и, хотя он не был религиозным, у него были глубоко укоренившиеся еврейские традиции. Леон вырос в окружении крепких семейных уз; он был очень близок со своими двоюродными братьями, с которыми он жил в детстве в Бруклине. [2]

Хенкин учился в основном в государственных школах Нью-Йорка; он учился в средней школе Линкольна, которую окончил в 16 лет и поступил в Колумбийский университет . И в колледже, и в средней школе он был членом шахматных команд; он всегда предпочитал игры с рациональным мышлением азартным играм. [2] В годы учебы в средней школе Хенкин собирался стать учителем математики, а также захотел стать писателем (как он позже выразился в личном письме). [8] Хотя он посвятил себя университетской академической жизни, он никогда не отказывался от своего интереса к преподаванию элементарной математики, чему он позже активно способствовал.

Первый университет учится [ править ]

В 1937 году Леон поступил в Колумбийский университет на математический факультет. Именно во время его пребывания в этом учебном заведении он проявил интерес к логике, которая определит курс его академической карьеры. Его первый контакт с логикой произошел через книгу Б. Рассела « Мистицизм и математика », которая вызвала у него интерес во время посещения библиотеки. [9] Этот интерес был увеличен и культивирован некоторыми курсами. Хотя математический факультет университета не предлагал курсы логики (они предлагались философским факультетом), Леон был одним из немногих студентов-математиков, заинтересованных в этой дисциплине, и он решил посещать их. [7]Осенью 1938 года, на втором курсе Колумбийского университета, он участвовал в первом курсе логики, который преподавал Эрнест Нагель , который двумя годами ранее внес свой вклад в создание Ассоциации символической логики . Этот курс приблизил его к книге Рассела « Принципы математики », где он впервые столкнулся с аксиомой выбора ; Презентация Рассела произвела на него сильное впечатление и побудила его изучить Principia Mathematica, которую Рассел написал вместе с Уайтхедом несколько лет спустя. Его поразили общие идеи теории типов и загадочная аксиома сводимости . [7]И аксиома выбора, и теория типов позже сыграли важную роль в его докторской диссертации.

В следующем году, в осеннем семестре 1939 года Хенкин взял второй курс логики с Nagel, в которой формальные системы из пропозициональной логики были рассмотрены и первым порядок логики. Это было его первым опытом математической обработки дедуктивных систем. Курс не углублялся в металогические результаты, которые устанавливали связь между семантикой и синтаксикой, а вопрос полноты вообще не рассматривался. [7] Однако Нагель предложил Хенкину в качестве независимого проекта прочитать доказательство полноты пропозициональной логики, данное Куайном , которое появилось за несколько месяцев до этого в Журнале символической логики . [10]Это чтение было очень важным для Хенкина не столько из-за самого содержания, сколько потому, что с его помощью он обнаружил, что может понять исследования по логике и математике, которые проводились в то время. [7] По словам Хенкина, хотя ему удалось проследить демонстрацию Куайна, ему не удалось уловить идею доказательства: "Я просто отметил, что цель статьи состояла в том, чтобы показать, что каждая тавтология имеет формальное доказательство в системе представленных аксиом, и я приложил все усилия, чтобы проверить рассуждения Куайна о том, что это так, даже не задумываясь о том, почему автор и читатель были такими. прилагая это усилие. Эта строго ограниченная цель также не позволяла мне задаваться вопросом, как автор задумал собрать вместе этапы доказательства; в результате я не смог получить «идею доказательства», важный ингредиент, необходимый для открытия. " [7]

Незадолго до того, как Хенкин начал свой второй год в Колумбии, разразилась Вторая мировая война. Это имело несколько последствий для его жизни. Один из них положительно повлиял на его образование. За несколько дней до начала войны польский математик и логик Альфред Тарский приехал в Гарвард по приглашению Куайна, чтобы прочитать серию лекций по логике. После вторжения Германии в Польшу Тарский счел невозможным вернуться в Польшу, и ему пришлось остаться в Соединенных Штатах. Тарский посетил несколько городов, читая лекции по логике. [11]Одна из этих лекций была в Колумбийском университете, и Хенкин, как и остальные студенты-логики, посетил ее с большим энтузиазмом. В нем Тарский говорил о работе Гёделя над неразрешимыми предложениями в теории типов и о существовании алгоритмов принятия решений для формальных систем - предмете, который Хенкин нашел чрезвычайно стимулирующим. [7]

В свой последний год в Колумбии, в 1941 году, профессор Ф. Дж. Мюррей, зная, что Хенкин был студентом-математиком, интересующимся логикой, предложил им вместе пересмотреть монографию Геделя, недавно опубликованную в Принстоне, о согласованности аксиомы выбора с обобщенным континуумом. гипотеза . Несмотря на то, что встречи, которые им приходилось обсуждать, были редкими, и Леон в конечном итоге пересмотрел эту монографию практически в одиночку, этот опыт он считал самым полезным в его образовании в Колумбии. [7] По словам Хенкина, тогда начали формироваться некоторые идеи, которые стали отправной точкой его докторской диссертации.

В 1940 году Хенкин решил подать заявку на поступление в докторантуру, не определив полностью, по какому пути следовать в своих исследованиях. Его приняли в три университета, из которых он выбрал Принстон , поскольку там был известный логик Алонзо Черч , хотя в то время Хенкин не знал о его работе. [7]

Аспирантура [ править ]

Хенкин начал свою аспирантуру в Принстоне в 1941 году, обучаясь под руководством Черча. Доктор философии программа, которую он посещал, состояла из двухлетних курсов математики, после которых он должен был сдать «квалификационный» устный экзамен, чтобы показать, что он имеет хорошее образование по крайней мере в трех областях математики; с этим он получит степень магистра. Затем у него будет еще два года на то, чтобы написать докторскую диссертацию, содержащую оригинальное исследование, после чего он получит степень доктора философии. [7]

Первые два года он прослушал курсы логики, которую преподает Чёрч, анализа и общей топологии. В первом курсе логики с Черчем были изучены несколько формальных систем логики высказываний и логики первого порядка; были пересмотрены некоторые доказательства полноты и обсуждаемая часть теорем Левенхайма-Сколема, а также изложение доказательства Гёделя о полноте логики первого порядка. Во втором они очень подробно рассматривали систему второго порядка для арифметики Пеано , а также неполноту этой аксиоматической теории и вытекающую отсюда неполноту логики второго порядка. [7]

В 1942 году Соединенные Штаты вступили во Вторую мировую войну, изменив планы Хенкина. Ему пришлось срочно сдать устный квалификационный экзамен, на котором он получил степень магистра и покинул Принстон, чтобы принять участие в Манхэттенском проекте . Этот перерыв продлился четыре года, в течение которых он поделился своими математическими знаниями, работая над проблемами радаров и проектированием установки для разделения изотопов урана. [7] Большая часть его работы требовала численного анализа для решения уравнений в частных производных. В этот период все его работы и чтения по логике были полностью приостановлены. [7]

По окончании войны Хенкин вернулся в Принстон в 1946 году, где от него все еще требовалось написать диссертацию, чтобы защитить докторскую диссертацию. исследования. По возвращении он присоединился к логическому курсу, который Черч начал месяцем ранее по теории « смысла и референции » Фреге . В этом курсе он открыл для себя теорию типов Черча, которая показалась ему чрезвычайно интересной. Вопросы, которые он задавал об этом, в конечном итоге привели его к тому, что он дал свое доказательство полноты теории типов, которое он смог адаптировать, чтобы также дать новое доказательство полноты логики первого порядка. [7] Эти результаты, а также другие, которые возникли на основе тех же идей, стали частью докторской диссертации Хенкина, которая была озаглавлена ​​«Полнота формальных систем», которую он закончил в июне 1947 года. Сама диссертация не была опубликована, хотя ее части были переписаны и опубликованы в статьях [12] [13] и [14]. Много лет спустя Хенкин написал статью« Открытие. о моих доказательствах полноты » [7], в которой содержится подробный обзор содержания его диссертации. Используемые в ней процедуры стали частыми методами доказательства в различных областях логики.

После окончания [ править ]

Получив докторскую степень После получения степени Хенкин провел еще два года в Принстоне, работая над постдокторскими исследованиями. В это время, в 1948 году, он встретил Джинетт Потвин во время поездки в Монреаль со своей сестрой Эстель и аспирантом Принстонского математического факультета Гарольдом Кун . Жинетт станет его женой в 1950 году, через полгода после того, как Эстель вышла замуж за Гарольда. После завершения второго года обучения в докторантуре в Принстоне в 1949 году Леон вернулся в Калифорнию, где поступил на математический факультет Университета Южной Калифорнии . Там он занимал должность доцента до 1953 года.

В 1952 году Тарскому удалось получить постоянную должность в Беркли для Хенкина. Однако Хенкин не хотел принимать его, так как он сочувствовал протестам, недавно вызванным спорной присягой на верность, которая требовалась от университетских профессоров с 1950 года. [15]   После того, как требование к присяге было отменено, Хенкин принял предложение Тарского и уладил дело. в Беркли в 1953 году. 

Его жизнь в Беркли [ править ]

С 1953 года большая часть академической деятельности Хенкина вращалась вокруг Беркли, где он сотрудничал с солидной исследовательской группой по логике. Он оставался там почти всю свою академическую жизнь, за исключением некоторых периодов, когда он путешествовал за границу со стипендиями и грантами различных институтов, таких как годичное пребывание в Амстердаме или пребывание в Израиле с получением исследовательских грантов Фулбрайта. (в 1954 и 1979 годах соответственно). [16]

Хенкин всегда был благодарен Тарскому, так как именно благодаря ему он смог обосноваться в Беркли. После смерти Тарского в 1983 году он написал в личном письме: «Я пишу, чтобы сообщить вам, что Альфред Тарский, который приехал в Беркли в 1942 году и основал наш великий Центр изучения логики и основ, скончался в среду вечером в возрасте 82 лет [ ...]. Именно он привез меня в Беркли в 1953 году, поэтому я многим обязан ему лично, а также в научном плане ». [17]

Тарский не только предложил Хенкину работу, но и предоставил ему очень плодотворную междисциплинарную среду для сотрудничества в разработке Logic. Тарский основал Центр по изучению логики и Фондов в Беркли, но с помощью Хенкина он смог собрать вместе группу логиков, математиков и философов , которые основали группу в логике и методологии науки , [2] , который все еще активен сегодня. [18]В рамках этого проекта они создали междисциплинарную аспирантуру, завершившуюся докторской степенью. Тарский и Хенкин поддержали проект, организовав важные конгрессы и конференции по логике, следуя концепции Тарского о «логике как общей основе всего человеческого знания». [19] [18] Интенсивная деятельность, которая имела место в Беркли в 1950-х и 1960-х годах в области металогики, была в значительной степени связана с активностью Тарского и Хенкина, как в области преподавания, так и в области исследований. Многие результаты того, что сегодня имеет решающее значение для теории моделей, явились результатом академической деятельности в Беркли, имевшей место в те годы.

Среди исследовательских поездок, которые Хенкин совершал на протяжении многих лет, - его посещения университетов в Ганновере, Принстоне, Колорадо, а также в несколько европейских университетов, таких как Оксфорд (в Соединенном Королевстве) и другие в Югославии, Испании, Португалии и Франции. . В 1979 году, получив второй грант Фулбрайта, Хенкин провел год в Израиле, в Хайфе, на факультете естественнонаучного образования Университета Технион. [2] По этому случаю он также посетил два университета в Египте. В 1982 году он впервые посетил Испанию. Он проводил конференции в нескольких университетах, в том числе в Барселоне, Мадриде и Севилье. [2]

Хенкин принимал активное участие в исследованиях и преподавании, но его деятельность в университете выходила далеко за рамки этого. В дополнение к самоотверженности, которую он вложил в свое обучение, а также в руководство Группой по логике и методологии науки , он занимал несколько административных должностей; он был директором математического факультета с 1966 по 1968 год, а затем с 1983 по 1985 год. [2] Одним из видов деятельности, которому он уделял больше всего энергии, было преподавание математики, по которому он также провел некоторые исследования. [20]  

Иногда Хенкин посещал школы своих детей, чтобы поговорить с учениками начальной школы о математике, поговорить с ними об « отрицательных числах » или « как вычесть сложением ». Примерно в то же время (около 1960 г.) Хенкин начал чередовать свою исследовательскую работу по математике с исследовательской работой в области преподавания математики; последние становились все более частыми. [2]

В 1991 году ему было присвоено звание почетного профессора Университета Беркли и он вышел на пенсию.

Пенсия и смерть [ править ]

После выхода на пенсию Хенкин продолжил работать над проектами по обучению математике. С 1991 года он принимал участие в программе летних курсов в колледже Миллс, целью которой было дать талантливым женщинам со всей страны образование по математике, чтобы подготовить их к поступлению в колледж. Наконец, Жинетт и Хенкин переехали в Окленд, где Хенкин умер несколько лет спустя, в ноябре 2006 года. [2]

Всегда добр к своим ученикам и коллегам, которых он часто приглашал к себе домой, чтобы проводить вечера с Жинетт, его помнят как блестящего исследователя, учителя, приверженного своей дисциплине, и человека, проявившего солидарность со своим сообществом. [21]

Одна из фраз, лучше всего отражающих чувства, выраженные в различных свидетельствах его учеников, - это фраза Дугласа Хофштадтера : «Мне очень повезло, что я был его аспирантом, поскольку я узнал от него гораздо больше, чем логику. мое сердце. Я всегда желаю, чтобы я был не менее добр к своим аспирантам и не менее охотно следил за их профессиональным ростом после выпуска, чем он был ко мне ». [22]

Наследие [ править ]

Алгебра [ править ]

Работа Хенкина по алгебре была сосредоточена на цилиндрических алгебрах - предмете, который он исследовал вместе с Альфредом Тарским и Дональдом Монком. [23] Цилиндрическая алгебра предоставляет структуры, которые для логики первого порядка являются такими же, как булева алгебра для логики высказываний. [5] [24] Одна из целей Хенкина и Тарского в продвижении алгебраической логики состояла в том, чтобы привлечь интерес математиков к логике, [25] убежденных, что логика может обеспечить объединяющие принципы для математики: [2]  «Фактически, мы зашли бы так далеко, что рискнем предположить, что посредством логических исследований могут появиться важные объединяющие принципы, которые помогут придать согласованность математике, которая иногда кажется опасной стать бесконечно делимой». [26]

Согласно Монку, [5] исследования Хенкина по цилиндрической алгебре можно разделить на следующие части: алгебраическая теория, алгебраическая теория множеств, теоремы представления, непредставимые алгебраические конструкции и приложения к логике. [5]

Теоремы о полноте [ править ]

В 1949 г. была опубликована « Полнота функционального исчисления первого порядка » [12] , а в 1950 г. - « Полнота теории типов » [27] . Оба представили часть результатов, изложенных в диссертации « Полнота формального систем », с которой Хенкин получил докторскую степень. степень в Принстоне в 1947 году. Один из самых известных результатов Хенкина - это результат полноты логики первого порядка, опубликованный в упомянутой выше статье 1949 года, которая появляется как первая теорема диссертации 1947 года. В нем говорится следующее:

Любой набор предложений формально непротиворечивого в дедуктивной системе удовлетворяет числовой структуре .

Эта теорема в настоящее время называется теоремой о полноте, поскольку из нее легко следует следующее:

Если это набор предложений и является семантическим следствием , то выводится из .

Это сильная версия теоремы о полноте, из которой слабая версия получается как следствие. Последняя формулирует результат для частного случая, в котором есть пустое множество, то есть дедуктивное исчисление логики первого порядка способно вывести все допустимые формулы. Слабая версия, известная как теорема Гёделя о полноте , была доказана Гёделем в 1929 году в его собственной докторской диссертации. Доказательство Хенкина более общее, более доступное, чем доказательство Гёделя, и его легче обобщить на языки любой мощности. Он подходит к полноте с новой и плодотворной точки зрения [28]и его величайшее качество, возможно, состоит в том, что его доказательство может быть легко адаптировано для доказательства полноты других дедуктивных систем. Другие центральные для теории моделей результаты получены как следствия сильной полноты логики первого порядка, доказанной Хенкиным. Из этого следует, например, следующий результат для языка первого порядка  :

Каждый набор хорошо сформированных формул , выполнимых в −структуре, выполним в бесконечной числовой структуре.

Этот результат известен как теорема Левенхайма-Сколема «вниз». Еще один результат, полученный из теоремы о полноте:

Набор правильно сформированных формул имеет модель тогда и только тогда, когда каждое его конечное подмножество имеет модель.

Последняя известна как « теорема компактности » логики первого порядка, которую также можно сформулировать как: «Любой набор хорошо сформированных формул, который является конечно выполнимым, выполним». [29] Это означает, что если для каждого из конечных подмножеств существует структура, в которой все его формулы истинны, то существует также структура, в которой все формулы истинны. Она известна как «теорема компактности», потому что соответствует компактности определенного топологического пространства, определенного из семантических понятий. [30]

Среди других теорем о полноте, данных Хенкиным, наиболее актуальной является, пожалуй, теорема о полноте теории типов Черча, которая является первой из теорем полноты, доказанных Хенкиным. Затем он адаптировал метод, разработанный в этом доказательстве, для доказательства полноты других дедуктивных систем. Этот метод продолжает использоваться для доказательства полноты как классической, так и неклассической логики, и он стал обычным доказательством полноты для логики первого порядка в учебниках по логике. Когда Хенкин опубликовал этот результат в 1949 году, полнота даже не входила в канонические темы, охватываемые учебниками; примерно двадцать лет спустя эта теорема, вместе с ее доказательством и следствиями, была частью практически каждого учебника логики. [31]Что касается неклассических логик, метод Хенкина можно использовать, среди прочего, для расширения полноты нечеткой логики от первого порядка до более высокого порядка, создавая полную теорию нечетких типов ; [32] он также предлагает способ получения результатов, связывающих классическую логику с интуиционистской логикой ; [33] и позволяет проверять результаты полноты в других неклассических логиках, как в случаях теории гибридного типа [34] и уравнительной гибридной теории пропозиционального типа. [35]

Открытие теорем о полноте [ править ]

Несмотря на то, что это один из самых известных результатов, Хенкин пришел к доказательству полноты логики первого порядка «случайно», пытаясь доказать совершенно другой результат. [7] Порядок публикации его статей и даже порядок изложения теорем в его диссертации 1947 года не отражают эволюцию, которая следовала за идеями, которые привели его к результатам его полноты. [36] Однако Хенкин упрощает трудную задачу отслеживания развития и формирования своих идей в своей статье « Открытие моих доказательств полноты », [7]опубликовано в 1996 году. В нем он описывает процесс разработки своей диссертации. Он не только объясняет содержание своей работы, но также объясняет идеи, которые привели к ней, от его первых курсов логики в колледже до конца написания диссертации. [37]

В конце войны Хенкин вернулся в Принстон, чтобы закончить докторскую диссертацию, для чего ему все же пришлось написать диссертацию, содержащую оригинальное исследование. По прибытии в Принстон он посетил начатый месяцем ранее курс логики Черча, посвященный теории «смысла и референции» Фреге. Руководствуясь идеями Фреге, Черч хотел применить их на практике с помощью формальной аксиоматической теории. Для этого он взял простую теорию типов, которую он опубликовал несколькими годами ранее, и снабдил ее иерархией типов, вдохновленной идеей «смысла», раскрытой Фреге. Именно на этом курсе Хенкин познакомился с теорией типов Чёрча, которая показалась ему очень интересной. Он тут же предположил об этом,доказательством которой он надеялся стать его докторской диссертацией.

Одним из атрибутов, которые привлекли внимание Хенкина к теории типов Черча, было то, что оператор -оператор позволял именовать многие объекты в иерархии типов. Как он объясняет в « Обнаружении моих доказательств полноты », он намеревался выяснить, какие элементы имеют имена в этой теории. Он начал с изучения элементов, названных в двух доменах, лежащих в основе иерархии типов. Он взял в качестве универсума индивидов и добавил константу для каждого числа и функции-преемника , так что каждый элемент в домене был назван из и повторяющихся вхождений. Поднимаясь по иерархии, он пытался указать, какие функции над этими элементами можно именовать. Множество их было неисчислимым, поэтому должны были быть некоторые без имени, поскольку существует только числовое количество выражений. Как можно было сказать, какие элементы были названы? Чтобы каждое выражение соответствовало обозначенному им элементу, ему нужна была функция выбора., в поиски которого Хенкин вложил много сил. Наконец, он понял, что с помощью дедуктивного исчисления он может формировать классы эквивалентности выражений, равенство которых может быть получено с помощью исчисления, и формировать с этими классами модель, изоморфную новой иерархии типов, образованной названными элементами. Он сосредоточился на интерпретациях формального языка, когда ключ к решению проблемы лежал в дедуктивной системе. Оставалось сделать универсум объектов, названных предложениями, набором из двух элементов: значений истинности. Этого можно достичь, расширив аксиомы до максимально согласованного набора. Как только это будет достигнуто, можно будет доказать, что каждый непротиворечивый набор формул имеет модель, которая в точности удовлетворяет формулам–Элементами такой модели являются классы эквивалентности самих выражений–. То есть ему удалось бы привести доказательство полноты дедуктивного исчисления. [6]

Тот же метод, который использовался для доказательства полноты теории типов Черча, можно легко адаптировать для доказательства (строгой) полноты логики первого порядка и других, которые последовали позже. Идеи именованных элементов в иерархии типов, лежащие в основе открытия доказательств полноты Хенкина, привели к успешному введению новой семантики, называемой общей семантикой , которая основана на общих моделях (или моделях Хенкина).

Метод Хенкина [ править ]

Метод Хенкина для доказательства полноты состоит в построении определенной модели: она начинается с набора формул , согласованность которых предполагается. Затем строится модель, которая в точности удовлетворяет формулам . Идея Хенкина построить подходящую модель основана на получении достаточно подробного описания такой модели с использованием предложений формального языка и установлении того, какие объекты могут быть элементами такой модели. Если бы это было известно, для каждой формулы языка , должна ли она удовлетворять или нет модель, у нас было бы исчерпывающее описание модели, которое позволило бы ее построить. Это именно то, что ищут: набор предложений, содержащихдля которого он считает, что каждое предложение языка или его отрицание принадлежит гамме. В случае логики первого порядка требуется еще одна вещь: чтобы набор был проиллюстрирован, то есть для всех экзистенциальных формул существует константа, которая действует как свидетельство этого. С другой стороны, поскольку природа объектов, составляющих вселенную модели, не имеет значения, не возникает возражений против принятия в качестве индивидов самих терминов языка или их классов эквивалентности.

Первый шаг, который необходимо сделать, - это расширить язык, добавив бесконечный набор новых индивидуальных констант, а затем упорядочить формулы языка (которые бесконечны). Как только это будет сделано, цель состоит в том, чтобы индуктивно построить бесконечную цепочку согласованных и иллюстрированных множеств: мы начинаем с , систематически добавляя к этому множеству каждую формулу, которая не делает результирующий набор противоречивым, добавляя также примеры экзистенциальных формул. Таким образом, строится бесконечная цепочка непротиворечивых и иллюстративных множеств, объединение которых является максимально непротиворечивым и иллюстративным множеством; это будет необходимый набор .

Достигнув построения этого максимально последовательного и иллюстративного множества, можно построить описываемую им модель. Какие люди составляют вселенную модели? В случае логики первого порядка без равенства элементы предметной области будут терминами формального языка. Чтобы построить функции и отношения модели, мы тщательно следуем тому, что диктует: если язык содержит -связь , его интерпретация в модели будет отношениями, образованными всеми -кортежами терминов во вселенной модели, так что формула, которая говорит они связаны, принадлежит. Если язык включает равенство, предметной областью модели являются классы эквивалентности терминов языка. Отношение эквивалентности устанавливается по формулам максимально согласованного множества: два члена равны, если в формуле указано, что они равны.

Подводя итог, демонстрация в случае числового языка состоит из двух частей: [6]

  1. Расширение набора до максимально последовательного и иллюстративного набора.
  2. Построение модели, описываемой формулами этого набора, с использованием терминов языка - или его классов эквивалентности - как объектов вселенной модели.

Общие модели [ править ]

Простая теория типов с -исчислением и стандартной семантикой достаточно богата, чтобы выразить арифметику категорически, откуда, согласно теореме Гёделя о неполноте, следует , что она неполна. Следуя идее идентификации именуемых элементов в иерархии типов, Хенкин предложил изменить интерпретацию языка, приняв в качестве иерархий типов некоторые, которые ранее не допускались. Если с каждого уровня иерархии спрашивали не о том, что должны быть все соответствующие функции, а только те, которые можно определить, то получается новая семантика, а вместе с ней и новая логика. [38] Результирующая семантика известна как общая семантика. В нем структуры, которые допустимы в качестве моделей, называются «общими моделями».[39] Их можно использовать не только в теории типов, но также, например, для получения полных (и компактных) логик высшего порядка .

Получение полной логики высшего порядка с помощью общей семантики соответствует ожидаемому балансу между выразительной силой логики и мощностью ее дедуктивного исчисления. В логике второго порядка со стандартной семантикой известно, что количественная оценка предикативных переменных дает языку огромную выразительную силу, взамен которой теряется сила дедуктивного исчисления: последнего недостаточно для создания обширного набора действительных формул эта логика (со стандартной семантикой). Изменение исчисления ничего не решает, поскольку теорема Гёделя о неполноте гарантирует, что никакое дедуктивное исчисление не сможет достичь полноты. Напротив, изменяя семантику, то есть изменяя наборы, которые образуют вселенные, в которых интерпретируются предикативные переменные и константы, логика оказывается полной,ценой потери выразительной способности.[40]

В логике второго порядка набор действительных формул настолько велик, потому что концепция стандартной структуры слишком ограничительна и их недостаточно, чтобы найти модели, опровергающие формулы. [41] Ослабляя условия, которые мы задаем структурам, на которых интерпретируется язык, появляется больше моделей, в которых формулы должны быть истинными, чтобы быть действительными, и, следовательно, набор действительных формул сокращается; он делает это таким образом, что он совпадает с множеством, произведенным дедуктивным исчислением, что приводит к полноте. [42]

К переводу между логиками [ править ]

Одна из областей, в которой основы, заложенные в работе Хенкина, оказались плодотворными, - это поиск логики, работающей в качестве общей основы для перевода между логиками. Эта структура предназначена для использования в качестве металогического инструмента; его цель не в том, чтобы выбрать «одну логику» над другими, которая подавила бы богатство, обеспечиваемое их разнообразием, а в том, чтобы предоставить адекватный контекст, чтобы противопоставить их, понять их и, таким образом, наилучшим образом использовать качества каждой из них. . [42]

Исследование, которое развивает идеи Хенкина в этом направлении, принадлежит Марии Мансано, одной из его учениц, чье предложение состоит в том, чтобы использовать многоуровневую логику в качестве общей основы для перевода логик. [42] Цели этого предложения можно объединить в две: 1) использовать единое дедуктивное исчисление для всех из них; и 2) использовать метасвойства многосортной логики для более простого доказательства метасвойств других логик. Кроме того, наличие логической основы полезно для сравнения различных логик путем сравнения теорий, которые их представляют. [42] Хотя Хенкин не говорит ни о переводе формул, ни о многомерном языке или исчислении, идеи, которые он использует в двух своих статьях, служат основой для подхода к переводу:[43] « Полнота теории типов » [44] и « Отказ от правила подстановки функциональных переменных ». [45]

Математическая индукция [ править ]

Тема математической индукции часто затрагивалась в педагогической деятельности Хенкина. Вероятно, его опыт в этой области был результатом его статьи « О математической индукции ». [46] Это была его любимая статья Хенкина, о которой он даже написал, что считает ее своей лучшей пояснительной статьей. [47] В нем он определил модели Пеано как те, которые удовлетворяют трем аксиомам второго порядка Пеано, а модели индукции как те, которые удовлетворяют третьей из них: аксиоме индукции.. Он продемонстрировал, что, хотя в моделях Пеано можно ввести все рекурсивные операции, в моделях индукции это не так. Конкретно, существуют модели индукции, в которых операция возведения в степень не может быть определена. [46] В этой статье Хенкин также представляет математическую структуру, которую могут иметь индукционные модели, которая довольно проста: они могут быть либо стандартной моделью, то есть изоморфной натуральным числам, либо еще двумя способами; изоморфны циклам - соответствующим модулю целых чисел ; или изоморфно тому, что Хенкин называл «ложками», что представляет собой комбинацию конечного списка, за которым следует цикл. [46] [42]

Философская позиция [ править ]

Из статей, опубликованных Хенкиным, наиболее философской является « Некоторые заметки о номинализме » [48], которые он написал в ответ на две статьи о номинализме [16], одну Куайна, а другую совместно написанные Куайном и Гудманом. Обсуждения, относящиеся к этой философской доктрине, естественным образом возникают в доказательствах полноты, данных Хенкиным, а также в его предложении об изменении семантики с помощью общих моделей. И по содержанию его работ, и по его собственным высказываниям считается, что его позиция была номиналистической. [6]

Обучение [ править ]

Хенкин как профессор университета вел активную деятельность. Он преподавал на всех уровнях, уделяя каждому из них одинаковую заботу и преданность. Некоторые из преподаваемых им курсов были непосредственно связаны с его областью исследований, например, « Математическая логика », « Метаматематика » или « Цилиндрическая алгебра », но другие распространялись на большое разнообразие областей, включая, среди прочего, « Основы геометрии ». , « Алгебра и тригонометрия », « Конечная математика », « Исчисление с аналитической геометрией » или « Математические концепции для учителей начальной школы ». [16]Его ученики соглашаются, что его объяснения были предельно ясными и привлекли внимание слушателя. [49] По словам одного из его учеников, « частью его магии было его элегантное выражение математики, но он также много работал, чтобы вовлечь аудиторию в предположения и видение следующего шага или на то, чтобы быть им удивленным. Он определенно привлекли внимание его аудитории ». [50]

Одним из аспектов его лекций, которым он уделял особое внимание, был поиск подходящего темпа, стоящего перед постоянной дилеммой, как найти оптимальную скорость для обучения. Он считал важным, чтобы ученики могли следовать ритму урока, даже если это означало, что некоторые сочли его медленным - они могли продолжить чтение в своем собственном темпе. [2] Однако он также считал, что то, что было легко выучить, легко забыть, поэтому он искал баланс между тем, чтобы сделать свои уроки доступными и сложными для учеников, чтобы они приложили усилия для более глубокого изучения. [49] О своем собственном студенческом опыте он так прокомментировал в интервью: "Благодаря тому легкому пути появления идей было слишком легко их забыть. Я, вероятно, изучил более сжатый материал на том, что мы назвали «семинаром для младенцев в конъюнктивной топологии», проводимым Артуром Стоуном. Я узнал больше, потому что это заставляло нас делать всю работу. " [51]

В дополнение к его курсам и руководству аспирантами, роль Хенкина в обучении ученых была значительна. Тарский пригласил его в Беркли с ясной целью. Как математик, Хенкин сыграл ключевую роль в проекте Тарского по превращению Беркли в центр развития логики [52], объединившего математиков, логиков и философов. Хенкин помог ему в реализации проекта, помогая ему в создании междисциплинарной группы по логике и методологии науки , успешная работа которой во многом была обусловлена ​​стремлением Хенкина. [2] Частью этого проекта было создание междисциплинарной университетской программы, в результате которой была получена степень доктора философии. по специальности « Логика, методология и философия науки»Он также сотрудничал в организации важных встреч и конференций, которые способствовали междисциплинарному сотрудничеству, объединенному логикой. [52] Результатом стало то, что в 1950-х и 1960-х годах в Беркли произошло бурное развитие логики, благодаря чему возникло множество достижений в теории моделей.

Хотя Хенкин впервые столкнулся с преподаванием математики в качестве профессора, позже он начал проводить исследования в области преподавания математики. Вот некоторые из его работ в этой области: « Повторное изучение элементарной математики » [53], « Новые направления в математике средней школы » [54] или « Роли действия и мысли в математическом образовании ». [55] Начиная с 1979 г. он уделял особое внимание этому аспекту своих исследований [2], и последние докторские диссертации, которые он возглавлял, касались преподавания математики или интеграции групп меньшинств в исследования. [16]

Хенкин любил писать пояснительные статьи [56], за некоторые из которых он получил такие награды, как премия Шовене (1964) [57] за статью « Идентичны ли логика и математика? » [9] или премию Лестера Р. Форда. , [16] за статью « Математические основы математики ». [58]

Социальные проекты [ править ]

На протяжении всей своей жизни Леон Хенкин проявлял глубокую приверженность обществу, его часто называли общественным деятелем. [16] Многие из его проектов по обучению математике были направлены на то, чтобы приблизить меньшинства или социально незащищенные группы к математике и смежным областям. [59] Он знал, что мы являемся частью истории и окружающего нас контекста, как говорится в одном из его произведений:

" Волны истории омывают нашу нацию, взбудораживая наше общество и наши институты. Вскоре мы видим изменения в том, как все мы делаем что-то, в том числе в нашей математике и нашем обучении. Эти изменения образуют ручейки и ручьи, которые сливаются в различных углы с теми, которые возникают в частях нашего общества, совершенно отличных от образования, математики или науки. Образуются реки, способствующие мощным течениям, которые будут производить будущие волны истории. Великая депрессия и Вторая мировая война сформировали фон моих лет учебы; Холодная война и Движение за гражданские права были фоном, на котором я начал свою карьеру математика-исследователя, а позже начал заниматься математикой ». [60]

Хенкин был убежден, что перемены могут быть достигнуты через образование, и, верный своей идее, он посвятил себя как программам начального математического образования, так и программам, направленным на борьбу с изоляцией. [61] Он проявил политическую приверженность обществу, отстаивая прогрессивные идеи. Он вдохновил многих своих учеников заниматься математикой. [2] Дайан Ресек, одна из его учениц, склонных к преподаванию, описала его следующим образом:

« Леон был привержен делу обеспечения равенства в обществе. Он увидел, что профессиональные математики могут иметь значение, особенно в отношении расового неравенства в Соединенных Штатах. Он был одним из первых, кто сказал, что одна вещь сдерживает расовую принадлежность. меньшинства и бедные люди в Америке их низкий уровень участия в математике / научной работе. Он считал , что существуют способы обучения и новые программы , которые могли бы исправить эту проблему. " [62]

Осознавая тот вклад, который математики могут внести через преподавание, Хенкин защищал, что преподавание должно цениться в академической среде, как он выразился в личном письме: « В эти времена, когда наши традиционно подготовленные доктора наук по математике сталкиваются с трудностями. На рынке мне кажется, что мы, преподаватели, должны особенно искать новые области, в которых обучение математике может внести существенный вклад в основные цели общества » [63].

Вот некоторые из социальных проектов, которые он организовал или в которых участвовал. [2] С 1957 по 1959 год он был частью Летних институтов, предназначенных для учителей математики и посвященных совершенствованию образования в средней школе и колледже. В 1958 году Национальный научный фонд разрешил комитету Американского математического общества, которое в течение нескольких лет интересовалось использованием фильмов и визуальных материалов для математического образования, производить экспериментальные фильмы с этой целью, сопровождаемые печатными руководствами с приложениями, которые углубитесь в содержание и проблемы, которые необходимо решить. Хенкин участвовал в этом проекте с фильмом по математической индукции, дополнительное руководство к которому было напечатано Американским математическим обществом. [64]Фильм транслировался в сериале « Математика сегодня».". В период с 1961 по 1964 год он участвовал в серии курсов для учителей начальной школы, организованных Комитетом по программе бакалавриата по математике. Примерно в то же время он продвигал инициативу" Мероприятия по расширению возможностей ", которые стремились предоставить возможности для многообещающих студентов из групп этнических меньшинств, предлагая им летние курсы и стипендии. Он принял участие в программе SEED (Специальное начальное образование для малоимущих), которая поощряла студентов колледжей к участию в начальном образовании, а также в программе SESAME (Особое превосходство в науке). и математическое образование), междисциплинарная докторская программа, созданная членами различных научных отделов, целью которой было исследование преподавания и изучения естественных наук, инженерии и математики.Между 1960 и 1968 годами он участвовал в серии конференций в математических школах и участвовал в разработке нескольких фильмов, выпущенных Национальным советом учителей математики (NCTM). Эти фильмы касались таких тем, как целочисленная система и рациональная система счисления. Он также участвовал в курсах поддержки для студенток, изучающих математику, и убедил математический факультет разрешить аспирантам получать такую ​​же финансовую поддержку для работы учителями начальной школы, как и для работы помощником учителя в колледже.Он также участвовал в курсах поддержки для студенток, изучающих математику, и убедил математический факультет разрешить аспирантам получать такую ​​же финансовую поддержку для работы учителями начальной школы, как и для работы помощником учителя в колледже.Он также участвовал в курсах поддержки для студенток, изучающих математику, и убедил математический факультет разрешить аспирантам получать такую ​​же финансовую поддержку для работы учителями начальной школы, как и для работы помощником учителя в колледже.[49] « Он не только верил в равенство, но и активно работал над его осуществлением ». [65]

Основные статьи Хенкина [ править ]

  • Хенкин, Л. (1949). Полнота функционального исчисления первого порядка. Журнал символической логики , 14 (3), 159-166.
  • Хенкин, Л. (1950). Полнота теории типов. Журнал символической логики , 15 (2), 81-91.
  • Хенкин, Л. (1953). Отказ от правила подстановки функциональных переменных. Журнал символической логики , 18 (3), 201-208.
  • Хенкин, Л. (1953). Некоторые взаимосвязи между современной алгеброй и математической логикой. Труды Американского математического общества , 74, 410-427.
  • Хенкин, Л. (1953). Некоторые заметки о номинализме, The Journal of Symbolic Logic , 18 (1), 19-29.
  • Хенкин Л. (1954) Обобщение концепции $ \ omega $ -согласованности. Журнал символической логики . 19 (3), 183–196.
  • Хенкин, Л. (1955) Номиналистическая интерпретация математического языка. Бюллетень Бельгийского математического общества . 7, 137-141.
  • Хенкин, Л. (1955) Теорема представления для цилиндрических алгебр. Эн Сколем, Т., Хасенджегер, Г., Крейзель, Г., Робинсон, А. (ред.) Математическая интерпретация формальных систем , стр. 85–97.
  • Хенкин, Л. (1957) Обобщение понятия -полноты. Журнал символической логики . 22 (1), 1-14.
  • Хенкин, Л. (1960). О математической индукции. Американский математический ежемесячник . 67 (4), 323-338.
  • Хенкин, Л. (1961). Математическая индукция. En MAA Film Manual № 1 Математическая ассоциация Америки, Университет Буффало, Нуэва-Йорк.
  • Хенкин, Л., Тарский, А. (1961) Цилиндрические алгебры. Эн Дилворт, Р.П. (ред.) Теория решеток. Труды симпозиумов по чистой математике. Американское математическое общество , 2, 83-113.
  • Хенкин, Л. Смит, В. Н., Варино, В. Дж., Уолш, М. Дж. (1962) Восстановление элементарной математики . Макмиллан, Нью-Йорк.
  • Хенкин, Л. (1962). Идентичны ли логика и математика ?, Наука, том 138, 788-794.
  • Хенкин, Л. (1963). Новые направления в математике средней школы. Эн Ричи, RW (ред.) Новые направления в математике , 1-6. Прентис Холл, Нью-Йорк.
  • Хенкин, Л. (1963). Расширение теоремы Крейга-Линдона об интерполяции. Журнал символической логики . 28 (3), 201-216.
  • Хенкин, Л. (1963). Теория пропозициональных типов. Fundamenta mathematicae . 52, 323-344.
  • Хенкин, Л. (1971). Математические основы математики. Американский математический ежемесячник . 78 (5), 463-487.
  • Хенкин, Л. (1975). Идентичность как логический примитив. Философия 5, 31-45.
  • Хенкин, Л. (1977). Логика равенства. Американский математический ежемесячник . 84 (8), 597-612.
  • Хенкин, Л. (1995). Роли действия и мысли в математическом образовании - отрывок для одного математика. Фишер, Н.Д., Кейнс, HB, Ваграйх, доктор философии. (Ред.), Изменение культуры: математическое образование в исследовательском сообществе , CBMS Issues in Mathematics Education, vol. 5. С. 3–16. Американское математическое общество в сотрудничестве с Математической ассоциацией Америки, Провиденс.
  • Хенкин, Л. (1996). Открытие моих доказательств полноты, Bulletin of Symbolic Logic , vol. 2 (2), 127-158.

Полученные награды [ править ]

  • 1964 - Премия Шовене , присужденная Американской математической ассоциацией автору выдающейся разъяснительной статьи по математической теме, сделанной членом ассоциации. [57]
  • 1972 - Премия Лестера Р. Форда - за математические основы математики , American Mathematical Monthly 78 (1971), 463–487.
  • 1990 г. - первый лауреат премии Гун и Ху за выдающиеся заслуги перед математикой. [66]
  • 1991 - Цитирование Беркли - высшая награда Калифорнийского университета.
  • 2000 - Церемония награждения Леона Хенкина за выдающиеся заслуги, которая вручается преподавателю (UC) за «исключительную приверженность образовательному развитию студентов из групп, недопредставленных в академии».

См. Также [ править ]

  • Квантификатор ветвления

Ссылки [ править ]

  1. ^ Уэллс, Бенджамин (2014). «Леон Хенкин и жизнь служения». В María Manzano et al., Ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина . Издательство Springer International. С. 41-55. ISBN  978-3-319-09718-3 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11.
  2. ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r Мансано, Мария; Алонсо, Энрике (2014). «Леон Хенкин». В Manzano et al., María, ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина . Издательство Springer International. С. 3-22. ISBN 978-3-319-09718-3 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  3. ↑ В компиляции, представленной в Manzano, María et al., Ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина . Издательство Springer International. ISBN 978-3-319-09718-3 . doi: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11 можно найти различные тексты, авторы которых делятся своим опытом в качестве учеников Хенкина. 
  4. Перейти ↑ Gödel, Kurt (1929). «О полноте логического исчисления». В Феферман, С., Доусон, Дж., Клини, С., Мур, Г., Соловей Р., ван Хейеноорт, Дж., Изд. Курт Гёдель: собрание сочинений. Vol. 1: Публикации 1929-1936 гг . С. 60-101. ISBN 0-19-503964-5 . OCLC 12371326. 
  5. ^ a b c d Монах, Дональд (2014). «Леон Хенкин и цилиндрические алгебры.». В Manzano et al., Ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина, очерки о его вкладе (en inglés). Издательство Springer International. С. 59-66. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  6. ^ a b c d Мансано, Мария (2014). «Хенкин о полноте». В Manzano et al., Ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина, очерки о его вкладе . Издательство Springer International. С. 149-173. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  7. ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q Хенкин, Леон (1996-06). «Открытие моих доказательств полноты». Бюллетень символической логики 2 (2): 127-158. ISSN 1079-8986. DOI: 10.2307 / 421107.
  8. ↑ Письмо Марии Манзано, в Манзано, Мария; Алонсо, Энрике (2014). «Леон Хенкин». В Manzano et al., María, ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина (en inglés). Издательство Springer International. С. 3-22. ISBN 978-3-319-09718-3 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  9. ^ a b Хенкин, Леон (1962). «Тождественны ли логика и математика?». Наука 138 (3542): 788-794. ISSN 0036-8075.
  10. ^ Куайн, WV (1938-03). «Полнота исчисления высказываний». Журнал символической логики (английский) 3 (1): 37-40. ISSN 0022-4812. DOI: 10.2307 / 2267505.
  11. ↑ Одна из этих конференций под названием « О полноте и категоричности дедуктивных систем», прочитанная в январе 1940 года для Гарвардской группы логики, опубликована в Mancosu, P. (2014). Приключение разума: взаимодействие между философией математики и математической логикой 1900-1940 гг. Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198701514 . 
  12. ^ a b Хенкин, Леон (1949-09). «Полнота функционального исчисления первого порядка». Журнал символической логики (английский) 14 (3): 159-166. ISSN 0022-4812. DOI: 10.2307 / 2267044.
  13. ^ Хенкин, Леон (1950-06). «Полнота теории типов». Журнал символической логики . 15 (2): 81-91. ISSN 0022-4812. DOI: 10.2307 / 2266967.
  14. ^ Хенкин, Леон (1953). «Некоторые взаимосвязи современной алгебры и математической логики». Труды Американского математического общества . 74 (3): 410-410. ISSN 0002-9947. DOI: 10.1090 / S0002-9947-1953-0055287-X.
  15. ^ См. Feferman, S. (2014). Удачный год с Леоном Хенкиным. В Manzano et al. (Ред.), Жизнь и творчество Леона Хенкина, Очерки его вклада, стр. 135-148. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0 \ _11, и Хенкин, Леон (1996-06). «Открытие моих доказательств полноты». Бюллетень символической логики (английский) 2 (2): 127-158. ISSN 1079-8986. DOI: 10.2307 / 421107. Consultado el 2020-11-10. 
  16. ^ a b c d e f Manzano et al (Eds.) (2014). Жизнь и творчество Леона Хенкина, очерки о его вкладе, издательство Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-09719-0 DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0. 
  17. ^ Письмо Марии Мансано, в Manzano et al (Eds.) (2014). Жизнь и творчество Леона Хенкина, издательство Springer International Publishing. DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0
  18. ^ a b См. Манкосу, Паоло (2018-01). «Происхождение группы в логике и методологии науки». Журнал гуманистической математики 8 (1): 371-413. DOI: 10.5642 / jhummath.201801.19.
  19. ^ С. Феферман, цитируется в Manzano, María; Алонсо, Энрике (2014). «Леон Хенкин». En Manzano et al., Мария, изд. Жизнь и творчество Леона Хенкина . Издательство Springer International. С. 3-22. ISBN 978-3-319-09718-3 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  20. ^ См pp.17-19 из Мансано, Мария; Алонсо, Энрике (2014). «Леон Хенкин». В Manzano et al., María, ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина (en inglés). Издательство Springer International. С. 3-22. ISBN 978-3-319-09718-3 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  21. ^ См. Различные тексты, собранные в Manzano, M., Sain, I., Alonso, E. (Eds.) (2014). Жизнь и творчество Леона Хенкина , издательство Springer International Publishing. DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0
  22. ↑ Цитируется на стр.31 из Movshovitz-Hadar, N. (2014). Прослеживание «логики в стране чудес» к моей работе с Леоном Хенкином. В Manzano et al. (Eds.), The Life and Work of Leon Henkin, Essays on His Contribution , стр. 27-31. Springer International Publishing. ISBN 978 -3-319-09719-0 . DOI : 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11 
  23. ^ См. Хенкин, Л., Монк, Дж., Тарский, А. (1985). Цилиндрические алгебры Часть I и Часть II, Северная Голландия.
  24. ↑ См. Также Monk, D., Bonnet, R. (Eds.) (1989). Справочник по булевым алгебрам. Северная Голландия.
  25. ^ С. Феферман, цитируется в Manzano, María; Алонсо, Энрике (2014). «Леон Хенкин». В Manzano et al., María, ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина (en inglés). Издательство Springer International. С. 3-22. ISBN 978-3-319-09718-3 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  26. ^ Феферман, С. В Феферман, С .: Концепция логики Тарского. Ann.Pure Appl. Бревно. 126, 5–13 (2004), стр. 5–6.
  27. ^ Хенкин, Леон (1950-06). «Полнота теории типов». Журнал символической логики (английский) 15 (2): 81-91. ISSN 0022-4812. DOI: 10.2307 / 2266967.
  28. ^ См. Раздел «Действительное значение теоремы Хенкина о полноте» в Alonso, E. (2014). Теорема Хенкина в учебниках. En Manzano et al. (Ред.), Жизнь и творчество Леона Хенкина, Очерки его вклада, стр. 135-148. Издательство Springer International. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0 \ _11 
  29. ^ Доусон, Джон В. (1993-01). «Компактность логики первого порядка: от Гёделя к Линдстрему». История и философия логики 14 (1): 15-37. ISSN 0144-5340. DOI: 10.1080 / 01445349308837208.
  30. ^ Амор Монтаньо, Хосе Альфредо. (1999). Compacidad en la lógica de primer orden y su relación con el teorema de completetud . UNAM, Facultad de Ciencias. ISBN 968-36-7540-9 . OCLC 48994884. 
  31. ^ Алонсо, Энрике (2014). «Теорема Хенкина в учебниках». En Manzano et al., Ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина, очерки о его вкладе . Издательство Springer International. С. 135-148. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  32. ^ Novák, Вилем (2014). «От классической теории к нечеткой теории типов». В Manzano et al., (Eds.) The Life and Work of Leon Henkin, Essays on His Contribution . Издательство Springer International. С. 225-247. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0 \ _11. 
  33. Перейти ↑ Parlamento, Franco (2014). «Доказательство полноты Хенкина и теорема Гливенко». В Manzano et al., Ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина, очерки о его вкладе . Издательство Springer International. С. 217-224. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  34. ^ Аресес, Карлос; Блэкберн, Патрик; Уэртас, Антония; Манзано, Мария (2014-06). «Полнота в теории гибридных типов». Журнал философской логики (английский) 43 (2-3): 209-238. ISSN 0022-3611. DOI: 10.1007 / s10992-012-9260-4.
  35. ^ Манзано, Мария; Мартинс, Мануэль; Уэртас, Антония (2019-12). «Полнота в уравнительной гибридной теории пропозиционального типа». Studia Logica 107 (6): 1159-1198. ISSN 0039-3215. DOI: 10.1007 / s11225-018-9833-5.
  36. ^ См. Manzano, M. (2014). Хенкин о полноте. В Manzano et al. (Ред.), Жизнь и творчество Леона Хенкина, Очерки о его вкладе , стр. 149-173. Издательство Springer International. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11 
  37. Перейти ↑ Manzano, M. (2014). Хенкин о полноте. В Manzano et al. (Ред.), Жизнь и творчество Леона Хенкина, Очерки о его вкладе , стр. 149-173. Издательство Springer International. ISBN 978-3-319-09719-0 . doi: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11 В этом тексте можно найти подробное объяснение развития и внедрения идей, которые привели к результатам полноты, после статьи «Открытие моих доказательств полноты» . Также объясняется доказательство полноты логики первого порядка, данное Хенкиным в его лекциях, которое не было его собственным. 
  38. ^ См. Andréka, H., Van Benthem, J., Bezhaishvili, N. y Német, I. (2014). Изменение смантики: оппортунизм или смелость? В Manzano et al. (Ред.), Жизнь и творчество Леона Хенкина, Очерки его вклада, стр. 305-324. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11 
  39. ^ См. Главу « Рамки и общие структуры» Манзано, М., (1996). Расширения логики первого порядка, Cambridge University Press, Кембридж.
  40. ^ Мэнзэно, М., Kurucz А., Саин, I. (1998). Русалочка. В Мартинес, К. и др. (Ред.) Истина в перспективе , стр. 83-111. Компания Ashgate Publishing Limited.
  41. ^ Манзано, Мария; Алонсо, Энрике (2014). «Полнота: от Гёделя до Хенкина». История и философия логики 35 (1): 50-75. ISSN 0144-5340. DOI: 10.1080 / 01445340.2013.816555.
  42. ^ a b c d e Мансано, Мария (1993). Расширения логики первого порядка . Издательство Кембриджского университета.
  43. Перейти ↑ Manzano, María (2014). «19 апреля.». В Manzano et al., Ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина, очерки о его вкладе (en inglés). Издательство Springer International. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  44. ^ Хенкин, Леон (1950). «Полнота теории типов» . Журнал символической логики . 15 (2): 81–91. DOI : 10.2307 / 2266967 . ISSN 0022-4812 . JSTOR 2266967 .  
  45. ^ Хенкин, Леон (1953). «Отказ от правила подстановки функциональных переменных» . Журнал символической логики . 18 (3): 201–208. DOI : 10.2307 / 2267403 . ISSN 0022-4812 . JSTOR 2267403 .  
  46. ^ a b c Хенкин, Леон (1960). «О математической индукции» . Американский математический ежемесячник . 67 (4): 323–338. DOI : 10.2307 / 2308975 . JSTOR 2308975 . 
  47. ^ Письмо Марии Мансано, цитируется в Manzano, M. (2014). 19 апреля. В Manzano et al. (Ред.), Жизнь и творчество Леона Хенкина, Очерки его вклада , стр. 265-278. Международное издательство Springer. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11 
  48. ^ Хенкин, Леон (1953). «Несколько замечаний о номинализме» . Журнал символической логики . 18 (1): 19–29. DOI : 10.2307 / 2266323 . ISSN 0022-4812 . JSTOR 2266323 .  
  49. ^ a b c Ресек, Дайан (2014). «Уроки Леона». В Manzano et al. (Ред.) Жизнь и творчество Леона Хенкина, очерки о его вкладе . Издательство Springer International. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  50. ^ D. Resek, цитируется в Resek, Diane (2014). «Уроки Леона». В Manzano et al., Ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина, очерки о его вкладе . Издательство Springer International. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  51. ^ Л. Хенкин, цитируется по Manzano, M., Alonso, E. (2014). Леон Хенкин, In Manzano et al. (Ред.), Жизнь и творчество Леона Хенкина, Очерки его вклада , стр. 3-22. Издательство Springer International. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  52. ^ a b Манкосу, Паоло (31.01.2018). «Происхождение группы в логике и методологии науки» . Журнал гуманистической математики . 8 (1): 371–413. DOI : 10,5642 / jhummath.201801.19 . ISSN 2159-8118 . 
  53. ^ Хенкин, Л., Смит, WN, Varineau, В.Я., Уолш, МДж (1962). Повторение элементарной математики. Макмиллан, Нью-Йорк.
  54. ^ Хенкин, Л. (1963). Новые направления в математике средней школы. Эн Ричи, Р. У. (ред.) Новые направления в математике, стр. 1-6. Прентис Холл, Нью-Йорк.
  55. ^ Хенкин, Л. (1995). Роли действия и мысли в математическом образовании - отрывок для математика. Фишер, Н.Д., Кейнс, HB, Ваграйх, доктор философии. (Ред.), Изменение культуры: математическое образование в исследовательском сообществе , CBMS Issues in Mathematics Education, vol. 5. С. 3-16. Американское математическое общество в сотрудничестве с Математической ассоциацией Америки, Провиденс.
  56. ^ См. Первый раздел Manzano, M., Movshovitz-Hadar, N., Resek, D. (2017). Леон Хенкин: взгляд логика на математическое образование. В: Pinchinat, S., Schwarzentruber, F. (eds). (2017). Спецвыпуск: Инструменты для обучения логике . Журнал прикладной логики - IfCoLog. 4 (1).
  57. ^ a b Присуждение Премии Шовене 1964 года профессору Леону А. Хенкину . Американский математический ежемесячник, т. 71 (1964), нет. 1, стр. 3
  58. ^ Хенкин, Л. (1971). Математические основы математики. Американский математический ежемесячник . 78 (5), 463-487.
  59. ^ См. Manzano, M., Movshovitz-Hadar, N., Resek, D. (2017). Леон Хенкин: взгляд логика на математическое образование. В: Pinchinat, S., Schwarzentruber, F. (eds). (2017). Спецвыпуск: Инструменты для обучения логике . Журнал прикладной логики - IfCoLog. 4 (1).
  60. ^ Хенкин, Л. 1995, цитируется по Manzano, María; Алонсо, Энрике (2014). «Леон Хенкин». В Manzano et al. (Eds.) The Life and Work of Leon Henkin . Издательство Springer International. С. 3-22. ISBN 978-3-319-09718-3 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  61. ^ Мэнзэно, М., Movshovitz-Адар, Н., Resek, D. (2017). Леон Хенкин: взгляд логика на математическое образование. В: Pinchinat, S., Schwarzentruber, F. (eds). (2017). Спецвыпуск: Инструменты для обучения логике . Журнал прикладной логики - IfCoLog. 4 (1).
  62. ^ D. Resek, цитируется в Resek, D. (2014). Уроки Леона. В Manzano et al. (Ред.), Жизнь и творчество Леона Хенкина, Очерки его вклада , стр.23. Издательство Springer International. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11 
  63. ^ Письмо, цитируемое в Resek, D. (2014). Уроки Леона. В Manzano et al. (Ред.), Жизнь и творчество Леона Хенкина, Очерки его вклада , стр.23. Издательство Springer International. ISBN 978-3-319-09719-0 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11 
  64. ^ Хенкин, Л. (1961). Математическая индукция. В руководстве к фильму MAA № 1 The Mathematical Association of America, University of Buffalo, New York.
  65. ↑ M. Manzano, цит. По: Manzano, María; Алонсо, Энрике (2014). «Леон Хенкин». В Manzano et al., María, ed. Жизнь и творчество Леона Хенкина . Издательство Springer International. С. 3-22. ISBN 978-3-319-09718-3 . DOI: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_11. 
  66. ^ "Премия Юэ-Гин Гунг и доктора Чарльза Ю. Ху за выдающиеся заслуги | Математическая ассоциация Америки" . Maa.org . Проверено 25 октября 2016 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • G. Weaver (2001) [1994], "Конструкция Хенкина" , Энциклопедия математики , EMS Press
  • Джордж Уивер (1997). Модели Хенкина-Кейслера . Springer. ISBN 978-0-7923-4366-0.
  • Хенкин, Леон (1949). "Полнота функционального исчисления первого порядка", Журнал символической логики . 14: 159–166. ‹См. Tfd› doi : 10.2307 / 2267044
  • Хенкин, Леон (1949). «Фрагменты исчисления высказываний», Журнал символической логики 14: 42–48. ‹См. Tfd› doi : 10.2307 / 2268976
  • Хенкин, Леон (1950). «Полнота теории типов» , Journal of Symbolic Logic 15: 81–91.
  • Хенкин, Леон (1996). «Открытие моих доказательств полноты». Бюллетень символической логики 2 (2): 127-158. ISSN 1079-8986 . DOI: 10.2307 / 421107 .
  • Манзано, Мария , Саин, Ильдико, Алонсо, Энрике (ред.). (2014). «Жизнь и творчество Леона Хенкина» , Бирхаузер.

Внешние ссылки [ править ]

  • Леон Хенкин на проекте « Математическая генеалогия»
  • Премия Беркли Цитата
  • Интервью с Хенкиным и другими об их опыте в Принстоне
  • Интервью с Хенкиным о его опыте работы в Принстоне
  • Леон Хенкин, сторонник разнообразия в математике и естественных науках, умер Робертом Сандерсом, пресс-релиз UC Berkeley News, 9 ноября 2006 г.
  • Некрологи: Леон Хенкин, 85 лет: профессор привел представителей меньшинств и женщин к математике Валери Дж. Нельсон, Los Angeles Times, 16 ноября 2006 г., стр. В-6.
  • Леон А. Хенкин - преподаватель математики Калифорнийского университета , Рик Дель Веккио, San Francisco Chronicle, 20 ноября 2006 г., стр. В-3.
  • Памяти Леона Альберта Хенкина, написанные Джоном Аддисоном, Уильямом Крейгом, Кэролайн Кейн и Аланом Шенфельдом (мемориал сената Калифорнийского университета)
  • In Memoriam: Леон Альберт Хенкин, 1921–2006 , Дж. Дональд Монк, Бюллетень символической логики, т. 15, вып. 3 (сентябрь 2009 г.), стр. 326–331.