Прямая мера

В теории меры , дисциплине в математике, мера продвижения вперед (также мера продвижения вперед , продвижения вперед или изображения ) получается путем переноса («продвижения вперед») меры из одного измеримого пространства в другое с использованием измеримой функции .

Определение [ править ]

С учетом измеримых пространств и , измеримое отображение и мера , тем прямым образом из определяются как мера задается${\ displaystyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})}$${\ displaystyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})}$${\ displaystyle f \ двоеточие X_ {1} \ to X_ {2}}$${\ Displaystyle \ му \ двоеточие \ Sigma _ {1} \ to [0, + \ infty]}$${\ displaystyle \ mu}$${\displaystyle f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]}$

${\displaystyle (f_{*}(\mu ))(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)}$ за ${\displaystyle B\in \Sigma _{2}.}$

Это определение применяется mutatis mutandis к подписанной или сложной мере . Мера также прямым образом обозначается как , , , или .${\displaystyle \mu \circ f^{-1}}$${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$${\displaystyle f\sharp \mu }$${\displaystyle f\#\mu }$

Основное свойство: формула замены переменных [ править ]

Теорема: ^[1] Измеримая функция g на X ₂ интегрируема относительно меры прямого распространения f _∗ ( μ ) тогда и только тогда, когда композиция интегрируема относительно меры μ . В этом случае интегралы совпадают, т. Е.${\displaystyle g\circ f}$

${\displaystyle \int _{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f\,d\mu .}$

Обратите внимание, что в предыдущей формуле .${\displaystyle X_{1}=f^{-1}(X_{2})}$

Примеры и приложения [ править ]

• Естественным « мера Лебега » на единичной окружности S ¹ (здесь рассматривать как подмножество комплексной плоскости С ) может быть определена с помощью нажимной вперед конструкцию и мера Лебега Л на вещественной прямой R . Пусть λ также обозначает ограничение меры Лебега на интервал [0, 2 π ), и пусть f  : [0, 2 π ) →  S ¹ - естественная биекция, определяемая формулой f ( t ) = exp ( i  t ). Естественная «мера Лебега» на S ¹тогда является мерой прямого продвижения f _∗ ( λ ). Меру f _∗ ( λ ) можно также назвать « мерой длины дуги » или «мерой угла», поскольку f _∗ ( λ ) -мерой дуги в S ¹ является в точности ее длина дуги (или, что то же самое, угол, он проходит в центре круга.)
• Предыдущий пример хорошо расширяется и дает естественную «меру Лебега» на n -мерном торе T ⁿ . Предыдущий пример - частный случай, поскольку S ¹  =  T ¹ . Эта мера Лебега на Т ^п , с точностью до нормировки, по мере Хаара для компактной , связной группы Ли Т ^п .
• Гауссовские меры на бесконечномерных векторных пространствах определяются с помощью проталкивания вперед и стандартной гауссовской меры на вещественной прямой: борелевская мера γ на сепарабельном банаховом пространстве X называется гауссовой, если проталкивание γ любым ненулевым линейный функционал в непрерывном сопряженном пространстве к X является гауссовской мерой на R .
• Рассмотрим измеримую функцию F  : X → X и композиция из F с самим собой п раз:

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.}$

Эта повторяющаяся функция образует динамическую систему . При изучении таких систем часто представляет интерес найти меру μ на X, которую отображение f оставляет неизменной, так называемую инвариантную меру , то есть такую , для которой f _∗ ( μ ) =  μ .

• Можно также рассмотреть квазиинвариантные меры для такой динамической системы: мера on называется квазиинвариантной относительно, если проталкивание by просто эквивалентно исходной мере μ , не обязательно равняется ей. Пара мер на одном и том же пространстве эквивалентна тогда и только тогда , когда она квазиинвариантна относительно, если${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu ,\nu }$${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0}$

• С помощью этой конструкции можно получить многие естественные распределения вероятностей, такие как распределение хи .

Обобщение [ править ]

В общем, любая измеримая функция может быть продвинута вперед, продвижение вперед становится линейным оператором , известным как оператор переноса или оператор Фробениуса – Перрона . В конечных пространствах этот оператор обычно удовлетворяет требованиям теоремы Фробениуса – Перрона , и максимальное собственное значение оператора соответствует инвариантной мере.

Сопряжение с толчком вперед - это откат ; как оператор пространств функций на измеримых пространствах, это оператор композиции или оператор Купмана .

См. Также [ править ]

• Сохраняющая меру динамическая система

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Богачев, Владимир И. (2007), Теория меры , Берлин: Springer Verlag , ISBN 9783540345138
• Тешл, Джеральд (2015), Темы реального и функционального анализа