В математике , А Квазиинвариантная мера μ относительно преобразования Т , из мера пространства X к себе, является мерой , которая, грубо говоря, умножается на числовой функции из T . Важный класс примеров имеет место , когда Х является гладким многообразием М , Т представляет собой диффеоморфизм из М , а μ является любой мерой , которая локально является мерой с основанием мерой Лебега на евклидово пространства. Тогда эффект Т на М локально экспрессируемый как умножение на якобиевом детерминанте производной ( прямым образом ) из T .
Чтобы выразить эту идею более формально в терминах теории меры , идея состоит в том, что производная Радона – Никодима преобразованной меры μ ′ по μ должна существовать везде; или что эти две меры должны быть эквивалентными (т. е. взаимно абсолютно непрерывными ):
Другими словами, это означает, что T сохраняет понятие множества нулевой меры . Рассматривая весь класс эквивалентности мер ν , эквивалентных µ , то же самое можно сказать, что T сохраняет класс в целом, отображая любую такую меру в другую такую. Следовательно, понятие квазиинвариантной меры совпадает с понятием инвариантного класса меры .
В общем, «свобода» перемещения внутри класса меры посредством умножения порождает коциклы при составлении преобразований.
Например, гауссовская мера на евклидовом пространстве R n не инвариантна относительно сдвигов (как мера Лебега), но квазиинвариантна относительно всех сдвигов.
Можно показать, что если E - сепарабельное банахово пространство и μ - локально конечная борелевская мера на E , квазиинвариантная относительно всех сдвигов на элементы E , то либо dim ( E ) <+ ∞, либо μ - тривиальная мера μ ≡ 0.