В математике , особенно в теории меры , тривиальная мера на любом измеримом пространстве ( X , Σ) - это мера μ, которая присваивает нулевую меру каждому измеримому множеству: μ ( A ) = 0 для всех A в Σ.
Свойства тривиальной меры
Обозначим через μ тривиальную меру на некотором измеримом пространстве ( X , Σ).
- Мера ν является тривиальной мерой μ тогда и только тогда, когда ν ( X ) = 0.
- μ является инвариантной мерой (и , следовательно, Квазиинвариантная мера ) для любой измеримой функции F : X → X .
Предположим , что X является топологическим пространством , и что Σ является в Бореля сг - алгебра на X .
- μ тривиально удовлетворяет условию регулярности меры .
- μ никогда не является строго положительной мерой , независимо от ( X , Σ), поскольку каждое измеримое множество имеет нулевую меру.
- Поскольку μ ( X ) = 0, μ всегда конечная мера и, следовательно, локально конечная мера .
- Если X - хаусдорфово топологическое пространство со своей борелевской σ- алгеброй, то μ тривиально удовлетворяет условию точной меры . Следовательно, μ также является радоновской мерой . На самом деле, это вершина заостренного конуса всех неотрицательных мер Радона на X .
- Если X является бесконечным - мерное банахово пространство с его Борель σ - алгебра, то μ является единственной мерой на ( X , Σ), локально конечна и инвариантна относительно всех сдвигов X . См. Статью Не существует бесконечномерной меры Лебега .
- Если X - n -мерное евклидово пространство R n с его обычной σ- алгеброй и n -мерной мерой Лебега λ n , μ является сингулярной мерой относительно λ n : просто разложите R n как A = R n \ {0} и B = {0} и заметим, что μ ( A ) = λ n ( B ) = 0.