В математике , и особенно в теории меры , эквивалентность - это понятие, когда две меры качественно подобны. В частности, эти две меры согласуются с тем, какие события имеют нулевую меру.
Определение
Позволять а также - две меры на измеримом пространстве, и разреши
а также
быть наборами - нулевые множества и-null устанавливает соответственно. Тогда мераназывается абсолютно непрерывным по отношению к если только . Это обозначается как.
Эти две меры называются эквивалентными, если и только если а также , [1] который обозначается как. То есть две меры эквивалентны, если они удовлетворяют.
Примеры
На реальной линии
Определите две меры на реальной прямой как
для всех борелевских наборов . потом а также эквивалентны, так как все множества вне имеют а также мера ноль, а набор внутри это -null set или a -null устанавливается точно тогда, когда это нулевое множество по отношению к мере Лебега .
Абстрактное пространство меры
Посмотрите на какое-то измеримое пространство и разреши быть счетной мерой , поэтому
- ,
где - мощность множества a. Таким образом, счетная мера имеет только один нулевой набор, который является пустым набором . Это,. Итак, согласно второму определению, любая другая мера эквивалентен счетной мере, если он также имеет только пустое множество в качестве единственного -Нулевой набор.
Поддерживающие меры
Мера называется опорной мерой меры если является -конечный и эквивалентно . [2]
Рекомендации
- ^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 156. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Шпрингер. п. 21. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.