Динамическая система, сохраняющая меру

В математике сохраняющая меру динамическая система является объектом изучения в абстрактной формулировке динамических систем и, в частности , эргодической теории . Системы, сохраняющие меру, подчиняются теореме о возвращении Пуанкаре и являются частным случаем консервативных систем . Они обеспечивают формальную математическую основу для широкого круга физических систем и, в частности, многих систем классической механики (в частности, большинства недиссипативных систем), а также систем, находящихся в термодинамическом равновесии .

Динамическая система, сохраняющая меру, определяется как вероятностное пространство и сохраняющее меру преобразование на нем. Более подробно, это система

Можно спросить, почему сохраняющее меру преобразование определяется в терминах обратного , а не прямого преобразования . Это можно понять довольно просто. Рассмотрим отображение наборов мощности :${\ Displaystyle \ му (Т ^ {- 1} (А)) = \ му (А)}$${\ Displaystyle \ му (Т (А)) = \ му (А)}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Рассмотрим теперь частный случай карт , которые сохраняют пересечения, объединения и дополнения (так что это карта борелевских множеств ), а также отсылает к (потому что мы хотим, чтобы она была консервативной ). Каждая такая консервативная, сохраняющая Бореля карта может быть определена некоторой сюръективной картой , написав . Конечно, можно было бы определить и , но этого недостаточно, чтобы указать все такие возможные карты . То есть консервативные, сохраняющие Бореля карты , вообще говоря, не могут быть записаны в форме, которую можно было бы рассматривать, например, как карту единичного интервала , заданную этим, как карту Бернулли .${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle Т: Х \ к Х}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (A) = T ^ {- 1} (A)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {Т}} (А) = Т (А)}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {Т}} (А) = Т (А);}$${\ Displaystyle Т: [0,1) \ к [0,1)}$${\ Displaystyle х \ mapsto 2x \ мод 1;}$

Пример сохраняющего отображения ( меры Лебега ): T  : [0,1) → [0,1),${\ Displaystyle х \ mapsto 2x \ мод 1.}$