Стандартное вероятностное пространство

В теории вероятностей , стандартное вероятностное пространство , также называемый Лебегу Рохлин вероятностное пространство или просто пространство Лебега (последний термин неоднозначен) является вероятностным пространством , удовлетворяющих определенным условиям введено В. Рохлина в 1940 году Неформально, это вероятностное пространство , состоящее из интервал и / или конечное или счетное число атомов .

Теория стандартных вероятностных пространств была начата фон Нейманом в 1932 году и сформирована Владимиром Рохлиным в 1940 году. Рохлин показал, что единичный интервал, наделенный мерой Лебега, имеет важные преимущества перед общими вероятностными пространствами, но может эффективно заменять многие из них в теория вероятности. Размер единичного интервала не является препятствием, что уже было ясно Норберту Винеру . Он построил винеровский процесс (также называемый броуновским движением ) в виде измеримого отображения единичного интервала в пространство непрерывных функций .

Краткая история [ править ]

Теория стандартных вероятностных пространств была начата фон Нейманом в 1932 году ^[1] и сформирована Владимиром Рохлиным в 1940 году. ^[2] Модернизированные представления см. ( Haezendonck 1973 ), ( de la Rue 1993 ), ( Itô 1984 , Sect. 2.4. ) и ( Рудольф 1990 , глава 2) .ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFRudolf1990 ( помощь )

В настоящее время стандартные вероятностные пространства могут рассматриваться (и часто рассматриваются) в рамках дескриптивной теории множеств с помощью стандартных борелевских пространств , см., Например, ( Kechris 1995 , Sect. 17). Этот подход основан на теореме об изоморфизме для стандартных борелевских пространств ( Kechris 1995 , теорема (15.6)). Альтернативный подход Рохлина, основанный на теории меры , не учитывает нулевые множества , в отличие от описательной теории множеств. Стандартные вероятностные пространства обычно используются в эргодической теории , ^{[3] [4]}

Определение [ править ]

Одно из нескольких хорошо известных эквивалентных определений стандартности приводится ниже после некоторой подготовки. Предполагается, что все вероятностные пространства полны .

Изоморфизм [ править ]

Изоморфизм между двумя вероятностными пространствами , является обратимым отображением таким образом, что и оба (измеримый и) сохраняет мера карты .${\ displaystyle \ textstyle (\ Omega _ {1}, {\ mathcal {F}} _ {1}, P_ {1})}$${\ displaystyle \ textstyle (\ Omega _ {2}, {\ mathcal {F}} _ {2}, P_ {2})}$${\ displaystyle \ textstyle f: \ Omega _ {1} \ to \ Omega _ {2}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle f ^ {- 1}}$

Два вероятностных пространства изоморфны, если между ними существует изоморфизм.

Изоморфизм по модулю нуля [ править ]

Две вероятностные пространства , изоморфны , если существуют нулевые множества , таким образом, что вероятностные пространства , изоморфные (естественно, наделенного с сигма-полей и вероятностных мер).${\ displaystyle \ textstyle (\ Omega _ {1}, {\ mathcal {F}} _ {1}, P_ {1})}$${\ displaystyle \ textstyle (\ Omega _ {2}, {\ mathcal {F}} _ {2}, P_ {2})}$${\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {mod} \, 0}$ ${\ displaystyle \ textstyle A_ {1} \ subset \ Omega _ {1}}$${\displaystyle \textstyle A_{2}\subset \Omega _{2}}$${\displaystyle \textstyle \Omega _{1}\setminus A_{1}}$${\displaystyle \textstyle \Omega _{2}\setminus A_{2}}$

Стандартное вероятностное пространство [ править ]

Вероятностное пространство является стандартным , если оно изоморфно интервалу с мерой Лебега, конечному или счетному набору атомов или их комбинации (несвязному объединению).${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$

См. ( Рохлин 1952 , раздел 2.4 (с. 20)), ( Haezendonck 1973 , предложение 6 (с. 249) и замечание 2 (с. 250)) и ( de la Rue 1993 , теорема 4-3). См. Также ( Kechris 1995 , раздел 17.F) и ( Itô 1984 , особенно раздел 2.4 и упражнение 3.1 (v)). В ( Петерсен, 1983 , определение 4.5 на стр. 16) мера предполагается конечной, не обязательно вероятностной. В ( Синай, 1994 , определение 1 на стр. 16) атомы не допускаются.

Примеры нестандартных вероятностных пространств [ править ]

Наивный белый шум [ править ]

Пространство всех функций можно рассматривать как продукт континуума копий реальной линии . Можно наделить вероятностной мерой, скажем, стандартным нормальным распределением , и рассматривать пространство функций как произведение континуума идентичных вероятностных пространств . Мера продукта является вероятностной мерой на . Многие неспециалисты склонны считать, что описывает так называемый белый шум .${\displaystyle \textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \gamma =N(0,1)}$${\displaystyle \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )}$ ${\displaystyle \textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }}$

Однако это не так. Для белого шума его интеграл от 0 до 1 должен быть случайной величиной с распределением N (0, 1). Напротив, интеграл (от 0 до 1) не определен. Еще хуже, ƒ не может быть почти наверняка измеримы. Еще хуже, вероятность ƒ быть измеримыми не определено. И самое худшее: если X - случайная величина, распределенная (скажем) равномерно на (0, 1) и не зависящая от ƒ , то ƒ ( X ) вовсе не случайная величина! (Ему не хватает измеримости.)${\displaystyle \textstyle f\in \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }}$

Перфорированный интервал [ править ]

Пусть быть множество, внутренняя мера Лебега равно 0, но внешняя мера Лебега равно 1 (таким образом, является неизмеримым до крайности). Существует вероятностная мера на такая, что для каждого измерима по Лебегу . (Вот мера Лебега.) События и случайные величины на вероятностном пространстве (обработанном ) находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с событиями и случайными величинами на вероятностном пространстве . Многие неспециалисты склонны заключить, что вероятностное пространство ничем не хуже .${\displaystyle \textstyle Z\subset (0,1)}$${\displaystyle \textstyle Z}$${\displaystyle \textstyle m}$${\displaystyle \textstyle Z}$${\displaystyle \textstyle m(Z\cap A)=\operatorname {mes} (A)}$${\displaystyle \textstyle A\subset (0,1)}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {mes} }$${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$

Однако это не так. Случайная величина, определяемая как, распределяется равномерно по . Условной мерой является всего лишь один атом (at ), при условии, что он является лежащим в основе вероятностным пространством. Однако, если вместо этого используется, тогда условная мера не существует, когда .${\displaystyle \textstyle X}$${\displaystyle \textstyle X(\omega )=\omega }$${\displaystyle \textstyle (0,1)}$${\displaystyle \textstyle X=x}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$${\displaystyle \textstyle x\notin Z}$

Аналогично строится перфорированный круг. Его события и случайные величины такие же, как на обычном круге. Группа вращений действует на них естественным образом. Однако на перфорированный круг он не действует.

См. Также ( Рудольф 1990 , стр. 17).

Избыточный измеримый набор [ править ]

Пусть будет как в предыдущем примере. Множества вида где и - произвольные измеримые по Лебегу множества, являются σ-алгеброй, она содержит σ-алгебру Лебега и формулу${\displaystyle \textstyle Z\subset (0,1)}$${\displaystyle \textstyle (A\cap Z)\cup (B\setminus Z),}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}};}$${\displaystyle \textstyle Z.}$

${\displaystyle \displaystyle m{\big (}(A\cap Z)\cup (B\setminus Z){\big )}=p\,\operatorname {mes} (A)+(1-p)\operatorname {mes} (B)}$

дает общий вид вероятностной меры на , расширяющей меру Лебега; вот параметр. Чтобы быть конкретным, мы выбираем. Многие неспециалисты склонны полагать, что такое расширение меры Лебега по крайней мере безвредно.${\displaystyle \textstyle m}$${\displaystyle \textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}}{\big )}}$${\displaystyle \textstyle p\in [0,1]}$${\displaystyle \textstyle p=0.5.}$

Однако это замаскированный перфорированный интервал. Карта

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0.5x&{\text{for }}x\in Z,\\0.5+0.5x&{\text{for }}x\in (0,1)\setminus Z\end{cases}}}$

является изоморфизмом между и перфорированным интервалом, соответствующим множеству${\displaystyle \textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}},m{\big )}}$

${\displaystyle \displaystyle Z_{1}=\{0.5x:x\in Z\}\cup \{0.5+0.5x:x\in (0,1)\setminus Z\}\,,}$

другой набор внутренней меры Лебега 0, но внешней меры Лебега 1.

См. Также ( Рудольф 1990 , упражнение 2.11 на стр. 18).

Критерий стандартности [ править ]

Стандартность данного вероятностного пространства эквивалентна определенному свойству измеримого отображения из в измеримое пространство . Ответ (стандартный или нет) не зависит от выбора и . Этот факт весьма полезен; можно адаптировать выбор и к данному Нет необходимости рассматривать все случаи. Может быть удобно исследовать случайную величину, случайный вектор, случайную последовательность или последовательность событий, рассматриваемую как последовательность двузначных случайных величин,${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P).}$${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty },}$${\displaystyle \textstyle (A_{1},A_{2},\dots )}$${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }.}$

На него будут наложены два условия (быть инъективным и порождающим). Ниже предполагается, что таковое дано. Вопрос о его существовании будет рассмотрен позже.${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle f}$

Предполагается, что вероятностное пространство является полным (в противном случае оно не может быть стандартным).${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

Одна случайная величина [ править ]

Измеримая функция индуцирует прямую меру - вероятностную меру на, определяемую формулой${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{*}P}$${\displaystyle \textstyle \mu }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \displaystyle \mu (B)=(f_{*}P)(B)=P{\big (}f^{-1}(B){\big )}}$    для борелевских множеств ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} .}$

т.е. распределение случайной величины . Образ всегда представляет собой набор полной внешней меры,${\displaystyle f}$${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$

${\displaystyle \displaystyle \mu ^{*}{\big (}f(\Omega ){\big )}=\inf _{B\supset f(\Omega )}\mu (B)=\inf _{B\supset f(\Omega )}P(f^{-1}(B))=P(\Omega )=1,}$

но его внутренний размер может отличаться (см. перфорированный интервал ). Другими словами, не обязательно быть набором полной меры${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$ ${\displaystyle \textstyle \mu .}$

Измеримая функция называется генерация , если это завершение относительно из а-алгебры обратных изображений , где пробегает все наборы борелевских.${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \textstyle f^{-1}(B),}$${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} }$

Осторожность.   Следующего условия недостаточно для того, чтобы быть порождающим: для каждого существует борелевское множество такое, что ( означает симметричную разность ).${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle P(A{\mathbin {\Delta }}f^{-1}(B))=0.}$${\displaystyle \textstyle \Delta }$

Теорема. Пусть измеримая функция инъективна и порождает, тогда следующие два условия эквивалентны:${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \mu (\textstyle f(\Omega ))=1}$(т. е. внутренняя мера также имеет полную меру, а изображение измеримо относительно завершения);${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$
• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,}$ стандартное вероятностное пространство.

См. Также ( Ито 1984 , раздел 3.1).

Случайный вектор [ править ]

Та же теорема верна для любого (вместо ). Измеримая функция может рассматриваться как конечная последовательность случайных величин и является порождающей тогда и только тогда, когда является завершением σ-алгебры, порожденным${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$${\displaystyle \mathbb {R} \,}$${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}\,}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}.\,}$

Случайная последовательность [ править ]

Теорема все еще верна для пространства бесконечных последовательностей. Измеримая функция может рассматриваться как бесконечная последовательность случайных величин и порождает тогда и только тогда, когда является завершением σ-алгебры, порожденной${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }\,}$${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty }\,}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots :\Omega \to \mathbb {R} ,\,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots .\,}$

Последовательность событий [ править ]

В частности, если случайные величины принимают только два значения 0 и 1, мы имеем дело с измеримой функцией и последовательностью множеств . Функция является порождающей тогда и только тогда, когда является пополнением σ-алгебры, порожденной${\displaystyle X_{n}\,}$${\displaystyle f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }\,}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.\,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots .\,}$

В пионерской работе ( Рохлин, 1952 ) последовательности , соответствующие инъективным, порождающим , называются базисами вероятностного пространства (см. Рохлин, 1952 , раздел 2.1). Базис называется полным по модулю 0, если он имеет полную меру, см. ( Рохлин, 1952 , разд. 2.2). В том же разделе Рохлин доказал, что если вероятностное пространство полно по модулю 0 относительно некоторого базиса, то оно полно по модулю 0 относительно любого другого базиса, и определяет пространства Лебега этим свойством полноты. См. Также ( Haezendonck 1973 , Prop. 4 и Def. 7) и ( Rudolph 1990 , Sect. 2.3, особенно теорему 2.2).${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,}$${\displaystyle f(\Omega )\,}$${\displaystyle \mu ,\,}$

Дополнительные примечания [ править ]

Четыре случая, рассмотренные выше, эквивалентны друг другу и могут быть объединены, поскольку измеримые пространства и взаимно изоморфны; все они являются стандартными измеримыми пространствами (другими словами, стандартными борелевскими пространствами).${\displaystyle \mathbb {R} ,\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }\,}$${\displaystyle \{0,1\}^{\infty }\,}$

Существование инъективной измеримой функции из стандартного измеримого пространства не зависит от выбора. Принимая, мы получаем свойство, хорошо известное как счетно разделенное (но названное в Ито 1984 сепарабельным ).${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }}$

Существование производящей измеримой функции из стандартного измеримого пространства также не зависит от выбора. Принимая, мы получаем свойство, хорошо известное как счетно порожденное (mod 0), см. ( Durrett 1996 , Exer. I.5).${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }}$

Каждая инъективная измеримая функция из стандартного вероятностного пространства в стандартное измеримое пространство является порождающей. См. ( Рохлин 1952 , раздел 2.5), ( Haezendonck 1973 , следствие 2 на странице 253), ( de la Rue 1993 , теоремы 3-4 и 3-5). Это свойство не выполняется для нестандартного вероятностного пространства, о котором говорилось в подразделе «Избыточное измеримое множество» выше.

Осторожность.   Свойство быть счетно порожденным инвариантно относительно изоморфизмов по модулю 0, но свойство счетного разделения - нет. В самом деле, стандартное вероятностное пространство счетно разделены , если и только если мощность из не превышает континуума (см Ито 1984 , Exer. 3.1 (v)). Стандартное вероятностное пространство может содержать нулевой набор любой мощности, поэтому его не нужно разделять счетным числом. Однако он всегда содержит счетно разделенное подмножество полной меры.${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle \Omega }$

Эквивалентные определения [ править ]

Позвольте быть полным вероятностным пространством, мощность которого не превышает континуум (общий случай сводится к этому частному случаю, см. Предупреждение выше).${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle \Omega }$

Через абсолютную измеримость [ править ]

Определение.   является стандартным, если он разделен счетно, генерируется счетно и абсолютно измерим.${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

См. ( Рохлин 1952 , конец раздела 2.3) и ( Haezendonck 1973 , замечание 2 на странице 248). «Абсолютно измеримый» означает: измеримый в каждом счетно разделенном, счетно генерируемом вероятностном пространстве, содержащем его.

Через совершенство [ править ]

Определение.   является стандартным, если он счетно отделен и совершенен.${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

См. ( Ито 1984 , раздел 3.1). «Идеально» означает, что для каждой измеряемой функции от до изображения мера является регулярной . (Здесь мера изображения определена на всех наборах, которым принадлежат прообразы , независимо от борелевской структуры ).${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \mathbb {R} \,}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {R} \,}$

По топологии [ править ]

Определение.   является стандартным, если существует топология на такой, что${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle \tau }$${\displaystyle \textstyle \Omega }$

• топологическое пространство является метризуемым ;${\displaystyle \textstyle (\Omega ,\tau )}$
• ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$является пополнением σ-алгебры, порожденной (то есть всеми открытыми множествами);${\displaystyle \textstyle \tau }$
• для каждого существует компакт в таком, что${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \textstyle K}$${\displaystyle \textstyle (\Omega ,\tau )}$${\displaystyle \textstyle P(K)\geq 1-\varepsilon .}$

См. ( De la Rue 1993 , раздел 1).

Проверка стандартности [ править ]

Каждое распределение вероятностей в пространстве превращает его в стандартное вероятностное пространство. (Здесь вероятностное распределение означает вероятностную меру, первоначально определенную на сигма-алгебре Бореля и завершенную.)${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$

То же самое верно для любого польского пространства , см. ( Rokhlin 1952 , Sect. 2.7 (p. 24)), ( Haezendonck 1973 , Example 1 (p. 248)), ( de la Rue 1993 , теорема 2-3) и ( Itô 1984 , теорема 2.4.1).

Например, мера Винера превращает польское пространство (всех непрерывных функций , наделенное топологией из локальной равномерной сходимости ) в стандартном вероятностном пространстве.${\displaystyle \textstyle C[0,\infty )}$${\displaystyle \textstyle [0,\infty )\to \mathbb {R} ,}$

Другой пример: для каждой последовательности случайных величин их совместное распределение превращает польское пространство (последовательностей; наделенное топологией продукта ) в стандартное вероятностное пространство.${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

(Таким образом, идея размерности , очень естественная для топологических пространств , совершенно не подходит для стандартных вероятностных пространств.)

Продукт из двух стандартных вероятностных пространств является стандартным вероятностным пространством.

То же самое верно и для произведения счетного числа пространств, см. ( Рохлин, 1952 , разд. 3.4), ( Хаезендонк, 1973 , предложение 12) и ( Ито, 1984 , теорема 2.4.3).

Измеримое подмножество стандартного вероятностного пространства - это стандартное вероятностное пространство. Предполагается, что набор не является нулевым набором и снабжен условной мерой. См. ( Рохлин 1952 , раздел 2.3 (с. 14)) и ( Haezendonck 1973 , предложение 5).

Каждая вероятностная мера на стандартном борелевском пространстве превращает его в стандартное вероятностное пространство.

Использование стандартности [ править ]

Обычные условные вероятности [ править ]

В дискретной настройке условная вероятность является другой мерой вероятности, а условное ожидание можно рассматривать как (обычное) ожидание относительно условной меры, см. Условное ожидание . В недискретной настройке кондиционирование часто обрабатывается косвенно, так как условие может иметь вероятность 0, см. Условное ожидание . В результате ряд известных фактов имеет особые «условные» аналоги. Например: линейность ожидания; Неравенство Дженсена (см. Условное ожидание ); Неравенство Гёльдера ; теорема о монотонной сходимости и т. д.

Учитывая случайную величину на вероятностном пространстве , то естественно попытаться построениями условной меры , то есть, условное распределением в данный . Как правило, это невозможно (см. Durrett 1996 , раздел 4.1 (c)). Тем не менее, для стандартного вероятностного пространства это возможно, и хорошо известен как каноническая система мер (см Рохлина 1952 , п. 3.1), который является в основном таким же , как условные вероятностными меры (см ITO 1984 , п. 3.5), распад меры (см. Kechris 1995 , Exercise (17.35)), и${\displaystyle \textstyle Y}$${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle P_{y}}$${\displaystyle \textstyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \textstyle Y(\omega )=y}$${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$регулярные условные вероятности (см. Durrett 1996 , Sect. 4.1 (c)).

Условное неравенство Дженсена - это просто (обычное) неравенство Дженсена, примененное к условной мере. То же самое и со многими другими фактами.

Преобразования с сохранением меры [ править ]

Учитывая две вероятностные пространства , и мера сохранения карты , изображение не нужно покрывать все , что может пропустить множество нулевой. Может показаться, что оно должно быть равно 1, но это не так. Внешняя мера равна 1, но внутренняя мера может отличаться. Однако, если вероятностные пространства , являются стандартом , то см ( де ла Рю 1993 , теорема 3.2). Если же это один-к-одному то каждый удовлетворяет , . Следовательно, измеримо (и сохраняет меру). См. ( Рохлин, 1952 , раздел 2.5 (с. 20)) и ( де ла Рю, 1993 , теорема 3-5). Смотрите также (${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$${\displaystyle \textstyle f(\Omega _{1})}$${\displaystyle \textstyle \Omega _{2}}$${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))}$${\displaystyle \textstyle f(\Omega _{1})}$${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))=1}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle A\in {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle \textstyle f(A)\in {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(A))=P_{1}(A)}$${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$Haezendonck 1973 , предложение 9 (и замечание после него)).

«Существует последовательный способ игнорировать наборы меры 0 в пространстве мер» ( Петерсен, 1983 , стр. 15). Стремясь избавиться от нулевых множеств, математики часто используют классы эквивалентности измеримых множеств или функций. Классы эквивалентности измеримых подмножеств вероятностного пространства образуют нормированную полную булеву алгебру, называемую алгеброй меры (или метрической структурой). Каждое сохраняющее меру отображение приводит к гомоморфизму алгебр с мерой; в основном для .${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$${\displaystyle \textstyle F}$${\displaystyle \textstyle F(B)=f^{-1}(B)}$${\displaystyle \textstyle B\in {\mathcal {F}}_{2}}$

Может показаться, что каждый гомоморфизм алгебр меры должен соответствовать некоторому сохраняющему меру отображению, но это не так. Однако для стандартных вероятностных пространств каждое соответствует некоторым . См. ( Рохлин, 1952 , раздел 2.6 (с. 23) и 3.2), ( Кехрис, 1995 , раздел 17.F), ( Петерсен, 1983 , теорема 4.7, на странице 17).${\displaystyle \textstyle F}$${\displaystyle \textstyle f}$

См. Также [ править ]

* (2001) [1994], "Стандартное вероятностное пространство" , Энциклопедия математики , EMS PressCS1 maint: numeric names: authors list (link)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Рохлин В. А. (1952), О фундаментальных идеях теории меры (PDF) , Переводы, 71 , Американское математическое общество, стр. 1–54.. Перевод с русского: Рохлин, В. А. (1949), "Об основных понятиях теории меры", Математический Сборник (Серия) , 25 (67): 107–150.
• фон Нейман, Дж (1932), "Einige Sätze über messbare Abbildungen", Анналы математики , вторая серия, 33 : 574-586, DOI : 10,2307 / 1968536.
• Халмос, PR ; фон Неймана, Дж (1942), "Операторные методы в классической механике, II" Анналы математики , второй серии Annals математики, 43 (2): 332-350, DOI : 10,2307 / 1968872 , JSTOR  1968872.
• Haezendonck, J. (1973), "Абстрактные пространства Лебега – Ролина", Bulletin de la Société Mathématique de Belgique , 25 : 243–258.
• де ла Рю, T. (1993), "Espaces de Lebesgue", Séminaire de Probabilités XXVII , Lecture Notes in Mathematics, 1557 , Springer, Berlin, pp. 15–21.
• Петерсен, К. (1983), Эргодическая теория , Кембриджский унив. Нажмите.
• Ито К. (1984), Введение в теорию вероятностей , Cambridge Univ. Нажмите.
• Рудольф, DJ (1990), Основы измеримой динамики: эргодическая теория на пространствах Лебега , Оксфорд: Clarendon Press.
• Синай, Я. Г. (1994), Вопросы эргодической теории , Princeton Univ. Нажмите.
• Кехрис, А.С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Springer.
• Дарретт Р. (1996), Вероятность: теория и примеры (второе изд.).
• Винер, Н. (1958), Нелинейные задачи в теории случайных чисел , MIT Press.

.