Комплексный квадратичный многочлен

Комплекс квадратичный полином является квадратичным полиномом которого коэффициенты и переменная являются комплексными числами .

Свойства [ править ]

Квадратичные многочлены независимо от формы обладают следующими свойствами:

• Это некритический многочлен , т.е. он имеет одну критическую точку ,
• Она может быть посткритической конечной , т. Е. Орбита критической точки может быть конечной, потому что критическая точка является периодической или предпериодической. ^[1]
• Это унимодальная функция ,
• Это рациональная функция ,
• Это целая функция .

Формы [ править ]

Когда квадратный многочлен имеет только одну переменную ( одномерную ), можно выделить четыре его основных формы:

• Общая форма: где${\ Displaystyle е (х) = а_ {2} х ^ {2} + а_ {1} х + а_ {0} \ qquad \,}$${\ displaystyle \ qquad a_ {2} \ neq 0}$
• Факторная форма, используемая для логистической карты ${\ displaystyle f_ {r} (x) = rx (1-x) \,}$
• ${\ Displaystyle е _ {\ тета} (х) = х ^ {2} + \ лямбда х \,}$ который имеет индифферентную фиксированную точку с множителем в начале координат ^[2]${\ Displaystyle \ лямбда = е ^ {2 \ пи \ тета я} \,}$
• Моническая и центрированная форма, ${\ Displaystyle е_ {с} (х) = х ^ {2} + с \,}$

Унитарная и центрируются форма была широко изучена, и обладает следующими свойствами:

• Это простейшая форма нелинейной функции с одним коэффициентом ( параметром ),
• Это центрированный многочлен (сумма его критических точек равна нулю). ^[3]

Лямбда-форма :${\ Displaystyle е _ {\ лямбда} (г) = г ^ {2} + \ лямбда г \,}$

• простейшее нетривиальное возмущение невозмущенной системы ${\ displaystyle z \ mapsto \ lambda z}$
• «первое семейство динамических систем, в которых известны явные необходимые и достаточные условия, когда проблема малых делителей устойчива» ^[4]

Спряжение [ править ]

Между формами [ править ]

Поскольку он аффинно сопряжен с общей формой квадратичного многочлена, он часто используется для изучения сложной динамики и создания образов множеств Мандельброта , Жюлиа и Фату .${\ displaystyle f_ {c} (х) \,}$

Когда кто-то хочет изменить с на : ^[5]${\ displaystyle \ theta \,}$${\ displaystyle c \,}$

${\ displaystyle c = c (\ theta) = {\ frac {e ^ {2 \ pi \ theta i}} {2}} \ left (1 - {\ frac {e ^ {2 \ pi \ theta i}}) {2}} \ right).}$

Если нужно изменить с на преобразование параметра ^[6]${\ Displaystyle г \,}$${\ displaystyle c, \,}$

${\ displaystyle c = c (r) \, = \, {\ frac {1- (r-1) ^ {2}} {4}} = - {\ frac {r} {2}} \ left ({ \ frac {r-2} {2}} \ right)}$

а преобразование между переменными в и есть${\ displaystyle z_ {t + 1} = z_ {t} ^ {2} + c}$${\ displaystyle x_ {t + 1} = rx_ {t} (1-x_ {t})}$

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right).}$

С удвоением карты [ править ]

Существует полусопряженность между диадическим преобразованием (отображением удвоения) и квадратичным полиномиальным случаем c = –2.

Обозначение [ править ]

Итерация [ править ]

Здесь обозначает п -й итерации функции (а не экспоненцирование функции):${\displaystyle f^{n}\,}$${\displaystyle f\,}$

${\displaystyle f_{c}^{n}(z)=f_{c}^{1}(f_{c}^{n-1}(z))\,}$

так

${\displaystyle z_{n}=f_{c}^{n}(z_{0}).\,}$

Из-за возможной путаницы с возведением в степень некоторые авторы пишут для n- й итерации функции${\displaystyle f^{\circ n}\,}$${\displaystyle f.\,}$

Параметр [ править ]

Моническая и центрированная форма могут быть отмечены:${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c\,}$

• параметр ${\displaystyle c}$
• внешний угол падающего луча:${\displaystyle \theta }$
  • в c в M на плоскости параметров
  • при z = c в J (f) на динамической плоскости

так :

${\displaystyle f_{c}=f_{\theta }\,}$

${\displaystyle c=c({\theta })}$

Карта [ править ]

Унитарная и по центру формы, которую иногда называют семейством Дуади-Хуббард квадратичных многочленов , ^[7] , как правило , используются с переменным и параметром :${\displaystyle z\,}$ ${\displaystyle c\,}$

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.\,}$

Когда он используется в качестве эволюции функции от дискретной нелинейной динамической системы

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})\,}$

оно называется квадратичным отображением : ^[8]

${\displaystyle f_{c}:z\to z^{2}+c.\,}$

Набор Мандельброта - это набор значений параметра c, для которого начальное условие z ₀ = 0 не приводит к тому, что итерации расходятся до бесконечности.

Критические предметы [ править ]

Критическая точка [ править ]

Критическая точка из является точкой в динамической плоскости таким образом, что производные обращается в нуль:${\displaystyle f_{c}\,}$${\displaystyle z_{cr}\,}$

${\displaystyle f_{c}'(z_{cr})=0.\,}$

С

${\displaystyle f_{c}'(z)={\frac {d}{dz}}f_{c}(z)=2z}$

подразумевает

${\displaystyle z_{cr}=0\,}$

мы видим, что единственной (конечной) критической точкой является точка .${\displaystyle f_{c}\,}$${\displaystyle z_{cr}=0\,}$

${\displaystyle z_{0}}$- начальная точка для итерации множества Мандельброта . ^[9]

Критическое значение [ править ]

Критическое значение из является изображением критической точки:${\displaystyle z_{cv}\ }$${\displaystyle f_{c}\,}$

${\displaystyle z_{cv}=f_{c}(z_{cr})\,}$

С

${\displaystyle z_{cr}=0\,}$

у нас есть

${\displaystyle z_{cv}=c.\,}$

Таким образом, параметр является критическим значением${\displaystyle c\,}$${\displaystyle f_{c}(z).\,}$

Критическая орбита [ править ]

Вперед орбита критической точки называется критической орбитой . Критические орбиты очень важны, потому что каждая привлекающая периодическая орбита притягивает критическую точку, поэтому изучение критических орбит помогает нам понять динамику в множестве Фату . ^{[10] [11] [12]}

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}=0\,}$

${\displaystyle z_{1}=f_{c}(z_{0})=c\,}$

${\displaystyle z_{2}=f_{c}(z_{1})=c^{2}+c\,}$

${\displaystyle z_{3}=f_{c}(z_{2})=(c^{2}+c)^{2}+c\,}$

${\displaystyle ...\,}$

Эта орбита попадает в периодический цикл притяжения, если таковой существует.

Викискладе есть медиафайлы по теме критических орбит .

Критический сектор [ править ]

Критический сектор является сектором динамической плоскости , содержащей критическую точку.

Критический полином [ править ]

${\displaystyle P_{n}(c)=f_{c}^{n}(z_{cr})=f_{c}^{n}(0)\,}$

так

${\displaystyle P_{0}(c)=0\,}$

${\displaystyle P_{1}(c)=c\,}$

${\displaystyle P_{2}(c)=c^{2}+c\,}$

${\displaystyle P_{3}(c)=(c^{2}+c)^{2}+c\,}$

Эти полиномы используются для:

• нахождение центров этих компонент множества Мандельброта периода n. Центры являются корнями n-го критического многочлена

${\displaystyle centers=\{c:P_{n}(c)=0\}\,}$

• находя корни Мандельброта компоненты периода N ( локальный минимум в )${\displaystyle P_{n}(c)\,}$
• Очки Мисюревича

${\displaystyle M_{n,k}=\{c:P_{k}(c)=P_{k+n}(c)\}\,}$

Критические кривые [ править ]

Диаграммы критических многочленов называются критическими кривыми . ^[13]

Эти кривые образуют каркас (темные линии) бифуркационной диаграммы . ^{[14] [15]}

Пространства, самолеты [ править ]

4D пространство [ править ]

Можно использовать 4- мерное (4D) пространство Жюлиа-Мандельброта для глобального анализа этой динамической системы. ^[16]

В этом пространстве есть 2 основных типа двумерных плоскостей:

• динамическая (динамическая) плоскость, -плоскость или c-плоскость${\displaystyle f_{c}\,}$
• плоскость параметров или плоскость z

Есть еще одна плоскость, используемая для анализа таких динамических систем w-плоскость :

• плоскость сопряжения ^[17]
• модель самолета ^[18]

Плоскость параметров 2D [ править ]

Плоскость гамма-параметров для сложной логистической карты ${\displaystyle z_{n+1}=\gamma z_{n}\left(1-z_{n}\right),}$

Фазовое пространство квадратичной карты называется его плоскость параметров . Здесь:

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}\,}$является постоянным , и является переменной величиной.${\displaystyle c\,}$

Здесь нет динамики. Это всего лишь набор значений параметров. На плоскости параметров нет орбит.

Плоскость параметров состоит из:

• Множество Мандельброта
  • Место бифуркации = граница множества Мандельброта с
    • корневые точки
  • Ограниченные гиперболические компоненты множества Мандельброта = внутренность множества Мандельброта ^[19] с внутренними лучами
• экстерьер набора Мандельброта с
  • внешние лучи
  • эквипотенциальные линии

Есть много разных подтипов плоскости параметров. ^{[20] [21]}

Смотрите также :

• Карта Бетчера, которая отображает внешность множества Мандельброта на внешность единичного диска
• мультипликаторное отображение, которое отображает внутренность гиперболической компоненты множества Мандельброта во внутренность единичного диска

2D динамическая плоскость [ править ]

«Полином Pc отображает каждый динамический луч в другой луч, удваивая угол (который мы измеряем за полные обороты, т.е. 0 = 1 = 2π rad = 360◦), а динамические лучи любого полинома« выглядят как прямые лучи »вблизи бесконечности. Это позволяет нам изучать множества Мандельброта и Жюлиа комбинаторно, заменяя динамическую плоскость единичной окружностью, лучи - углами, а квадратичный многочлен - удвоением по модулю единицы отображения ». Вирпи Кауко [22]

В динамической плоскости можно найти:

• Набор Юлии
• Набор " Заполненная Джулия"
• Набор Фату
• Орбиты

Динамическая плоскость состоит из:

• Набор Fatou
• Юля набор

Здесь - константа, а - переменная.${\displaystyle c\,}$${\displaystyle z\,}$

Двумерную динамическую плоскость можно рассматривать как сечение Пуанкаре трехмерного пространства непрерывной динамической системы. ^{[23] [24]}

Динамические z-плоскости можно разделить на две группы:

• ${\displaystyle f_{0}}$самолет для (см. сложную карту квадратов )${\displaystyle c=0}$
• ${\displaystyle f_{c}}$самолеты (все остальные самолеты для )${\displaystyle c\neq 0}$

Сфера Римана [ править ]

Расширенная комплексная плоскость плюс бесконечно удаленная точка

• сфера Римана

Производные [ править ]

Первая производная по c [ править ]

На плоскости параметров:

• ${\displaystyle c}$ это переменная
• ${\displaystyle z_{0}=0}$ постоянно

Первая производная от по c равна${\displaystyle f_{c}^{n}(z_{0})}$

${\displaystyle z_{n}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Эту производную можно найти путем итерации, начиная с

${\displaystyle z_{0}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{0}(z_{0})=1}$

а затем заменяя на каждом последующем шаге

${\displaystyle z_{n+1}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n+1}(z_{0})=2\cdot {}f_{c}^{n}(z)\cdot {\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0})+1=2\cdot z_{n}\cdot z_{n}'+1.}$

В этом легко убедиться, используя цепное правило для производной.

Эта производная используется в методе оценки расстояния для построения множества Мандельброта .

Первая производная по z [ править ]

В динамической плоскости:

• ${\displaystyle z}$ это переменная;
• ${\displaystyle c}$ является константой.

В фиксированной точке ${\displaystyle z_{0}\,,}$

${\displaystyle f_{c}'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}(z_{0})=2z_{0}.}$

В периодической точке z ₀ периода p первая производная функции

${\displaystyle (f_{c}^{p})'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}^{p}(z_{0})=\prod _{i=0}^{p-1}f_{c}'(z_{i})=2^{p}\prod _{i=0}^{p-1}z_{i}=\lambda }$

часто обозначается множителем или характеристическим числом Ляпунова. Его логарифм известен как показатель Ляпунова. Он используется для проверки стабильности в периодических (также фиксированных) точек .${\displaystyle \lambda }$

В непериодической точке производную, обозначенную как, можно найти путем итерации, начиная с${\displaystyle z'_{n},\,}$

${\displaystyle z'_{0}=1,\,}$

а затем используя

${\displaystyle z'_{n}=2*z_{n-1}*z'_{n-1}.\,}$

Эта производная используется для вычисления внешнего расстояния до множества Жюлиа.

Производная Шварца [ править ]

Производная Шварца (сокращенно SD) от f равна: ^[25]

${\displaystyle (Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}}$.

См. Также [ править ]

• Точка Мисюревича
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений
• Набор Мандельброта
• Юля набор
• Теория замешивания Милнора-Терстона
• Карта палатки
• Логистическая карта

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Моника Невинс и Томас Д. Роджерс, " Квадратичные отображения как динамические системы на p-адических числах "
• Вольф Юнг: гомеоморфизмы на краях множества Мандельброта. Кандидат наук. дипломная работа 2002 г.

Викискладе есть медиафайлы, связанные со сложной квадратичной картой .